Лабораторная работа №2 «Спектры простых сигналов

Министерство образования и науки Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Факультет технической кибернетики
Кафедра измерительных информационных технологий
Лабораторная работа №2
«Спектры простых сигналов»
Выполнила:
студентка гр. 3085/2
Ефремова М.С.
Проверила:
Богач Н.В.
Санкт-Петербург, 2013 год
_____________________________________________________________________________
Цель
Получить представление о тестовых сигналах во временной и частотной областях.
Реализовать операцию свертки сигналов.
Постановка задачи
В командном окне MATLAB и в среде Simulink промоделировать следующие
тестовые сигналы:
 полигармонический сигнал
o y  sin  x   sin 3x 
o y  sin  x   cos  x 
o y  sin  x   3sin 3x   5sin 5x 



треугольный сигнал
меандр
треугольный сигнал путем свертки двух меандров.
Получить их спектры.
Теоретическое обоснование
Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную
группу периодических сигналов непосредственно функцией s(t) = y(t  kTp), k = 1,2,3,...,
где Тр - период одного полного колебания сигнала y(t), заданного на одном периоде.
Значение fp=1/Tp называют фундаментальной частотой колебаний. Полигармонические
сигналы представляют собой сумму определенной постоянной составляющей (fо=0) и
произвольного (в пределе - бесконечного) числа гармонических составляющих с
произвольными значениями амплитуд An и фаз n, с частотами, кратными
фундаментальной частоте fp. Другими словами, на периоде фундаментальной частоты fp,
которая равна или кратно меньше минимальной частоты гармоник, укладывается кратное
число периодов всех гармоник, что и создает периодичность повторения сигнала.
Частотный спектр полигармонических сигналов дискретен, в связи с чем второе
распространенное математическое представление сигналов - в виде спектров (рядов
Фурье). Математическое описание сигнала задается формулой: s(t) = Akcos(2fkt+k),
где: Ak = {5, 3, 4, 7} - амплитуда гармоник; fk = {0, 40, 80, 120} - частота в герцах; k = {0, 0.4, -0.6, -0.8} - начальный фазовый угол колебаний в радианах; k = 0, 1, 2, 3.
Фундаментальная частота сигнала 40 Гц.
Спектр (спектральная плотность) Ф(f) в общем случае представляют собой комплексную
функцию:
Φ(𝑓) = |Φ(𝑓)|𝑒 𝑖𝜓(𝑓) .
Модуль этой функции |Φ(𝑓)| называют спектром амплитуд, а зависимость 𝜓(𝑓) –
спектром фаз.
Спектр произведения двух сигналов равен свертке спектров этих сигналов, а спектр
свертки сигналов равен произведению этих спектров.
Ход Работы
Построим полигармонический сигнал и его спектр в MatLab. Для этого выполним
следующий фрагмент кода:
%полигармонические сигналы
x = 0:0.01:4*pi;
f=100*(0:255)/512;
%сигнал y=sin(x)+sin(3x)
figure
y1 = sin(2*pi*x)+sin(2*pi*3*x);
plot(x(1:200),y1(1:200))
grid
%спектр сигнала y=sin(x)+sin(3x)
figure
s1 = fft(y1,512);
ss1 = s1.*conj(s1)/512;
plot(f,ss1(1:256))
grid
%сигнал y=sin(x)+cos(x)
figure
y2 = sin(2*pi*x)+cos(2*pi*x);
plot(x(1:200),y2(1:200))
grid
%спектр сигнала y=sin(x)+cos(x)
figure
s2 = fft(y2,512);
ss2 = s2.*conj(s2)/512;
plot(f,ss2(1:256))
grid
%сигнал y=sin(x)+3sin(3x)+5sin(5x)
figure
y3 = sin(2*pi*x)+3*sin(2*pi*3*x)+5*sin(2*pi*5*x);
plot(x(1:200),y3(1:200))
grid
%спектр сигнала y=sin(x)+cos(x)
figure
s3 = fft(y3,512);
ss3 = s3.*conj(s3)/512;
plot(f,ss3(1:256))
grid
1.
Результат работы:
Рис 1. Сигнал sin(x)+sin(3*x)
Рис 2 Спектр sin(x)+sin(3*x)
Рис 3 Сигнал sin(x)+cos(x)
Рис 5 Сигнал sin(x)+3*sin(3*x)+5*sin(5*x)
2.
Рис 4 Спектр sin(x)+cos(x)
Рис 6 Спектр sin(x)+3*sin(3*x)+5*sin(5*x)
Построим треугольный сигнал и его спектр в командном окне MATLAB,
выполняя сл. фрагмент кода:
%треугольный сигнал
x = 0:0.01:4*pi;
f=100*(0:255)/512;
%сигнал
figure
y = abs(x-ceil(x)+0.5);
plot(x(1:200),y(1:200))
grid
%спектр
figure
s = fft(y,512);
ss = s.*conj(s)/512;
plot(f,ss(1:256))
axis([-1 max(f) 0 10])
grid
Результат выполнения:
Рис. 7 Треугольный сигнал
3.
Рис 8 Спектр треугольного сигнала
Построим меандр и его спектр в командном окне MATLAB, выполняя сл.
фрагмент кода:
%меандр
figure
y=[ones(1,100) zeros(1,100)];
plot(y)
grid
%спектр
figure
s = fft(y,512);
ss = s.*conj(s)/512;
plot(ss(1:256))
grid
Результат выполнения:
20
1
18
0.9
0.8
16
0.7
14
0.6
12
0.5
10
0.4
8
0.3
6
0.2
4
0.1
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Рис 9 Сигнал меандра
4.
0
0
50
100
150
200
250
300
Рис 10 Спектр меандра
Построим треугольный сигнал, полученный из меандра и его спектр в командном
окне MATLAB, выполняя сл. фрагмент кода:
%треугольный сигнал путем свертки меандров
figure
yy=[ones(1,100) zeros(1,100)]; %меандр
y = conv(yy,yy);
plot(y)
grid
%спектр
figure
s = fft(y,512);
ss = s.*conj(s)/512;
plot(ss)
axis([0 300 0 50])
grid
Результат выполнения:
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Рис 11 Треугольный сигнал, образованный путем свертки
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
50
100
150
200
250
300
Рис 12 Спектр треугольного сигнала
Теперь проделаем всю ту же самую работу, только в среде Simulink
1.
Полигармонический сигнал и его спектр в среде Simulink
Схема simulink для визуализации сигнала
y  sin  x   sin  3x  и его спектра
Рис 13 Осциллограмма сигнала
y  sin  x   sin  3x 
Рис 14 Спектр сигнала
Схема simulink для визуализации сигнала
Рис 15 Осциллограмма
y  sin  x   cos  x 
Схема simulink для визуализации сигнала
y  sin  x   sin  3x 
y  sin  x   cos  x  и его спектра
Рис 16 Спектр сигнала
y  sin  x   cos  x 
y  sin  x   3sin  3x   5sin 5x  и его спектра
Рис 17 Осциллограмма сигнала и спектр сигнала
2.
y  sin  x   3sin  3x   5sin 5x 
Треугольный сигнал и его спектр в среде Simulink
Схема simulink для визуализации треугольного сигнала и его спектра
Рис 18 Осциллограмма треугольного сигнала
Рис 19 Спектр треугольного сигнала
3.
Меандр и его спектр в среде Simulink
Схема simulink для визуализации меандра и его спектра
Рис 20 Осциллограмма меандра
Рис 21 Спектр меандра
4.
Треугольный сигнал, полученный из меандра и его спектр в среде Simulink
Схема simulink для визуализации треугольного сигнала, полученного из меандра, и его спектра
Рис 22 Осциллограмма треугольного сигнала (свертка)
Рис 23 Спектр треугольного сигнала (свертка)
Вывод
Треугольные импульсы длительностью r по основанию с площадью, равной Р,
могут быть получены сверткой двух прямоугольных импульсов длительностью r/2 с
амплитудой 2Р/r, откуда:
s(t) = Пr/2(t) * Пr/2(t) Û S(w) = Пr/2(w)Пr/2(w),
S(w) = P sinc2(wr/4).
Спектр треугольного импульса также имеет лепестковую структуру с шириной
лепестков 4p/r. Соответственно, база треугольного импульса равна 4p. Спектральная
функция за счет квадратирования интегрального синуса имеет только положительные
значения. Данный процесс и обосновывает использование фильтра с прямоугольным
окном.