Документ 4344579

Разделив ломаный провод на три линейных
участка AB, BC, CD, можно убедиться в том,
что участки AB и CD не вносят никакого
вклада в магнитное поле в точке О, так как
эта точка лежит на оси каждого из проводов.
Поэтому магнитное поле в точке
формируется только участком BC.
Рассчитаем поле в точке О по формуле для
прямолинейного проводника ограниченной длины
B
0 I
 cos 1  cos  2  ,
4 R
где 1 

2
;
 2  135o
Расчет
4 107  2  
2 
7
B
 0   
   2  10 Òë
4 1   2  
Магнитное поле в точке О направлено перпендикулярно чертежу от нас.
Разделим указанную конфигурацию провода
на три части AB, BC, CD.
Участки AB и CD формируют в точке О
магнитное поле как полубесконечные
проводники, а участок BC создает магнитное
поле как полукольцо с током. Исходя из этого,
рассчитываем магнитное поле участка AB
B1 
0 I
 cos 1  cos  2  ,
4 R
где 1  0;
 2

2
В итоге B1 
0 I
4 R
Рассчитываем магнитное поле участка BC как поле кругового тока
B2 
0 I
2R
Рассчитываем магнитное поле участка CD как поле полубесконечного
проводника с током
B3 
где
B3 
0 I
 cos  3  cos  4  ,
4 R
3 

2
;
4  
В
итоге
0 I
I
1   1   0

4 R
2 R
Направления векторов B1 , B2 , B3 показаны на
рисунке
и
на
его
основе
определим
результирующее магнитное поле, используя принцип суперпозиции
В векторной форме B  B1  B2  B3
В скалярной форме (применяем теорему Пифагора)
B  B12   B2  B3 
2
Расчет
I
  I   I   I 
B   0   0   0   0
2R
 4 R   2 R   2 R 
2
2
2
4 107  3
B
0,05  1  0,1  2 106 Òë
2
1
2 2
1
1
2
Циркуляция вектора индукции магнитного поля определяется следующим
соотношением
  B, d     I
0
i
i
Знак тока в сумме определяется так – если ток
создает магнитное поле, силовые линии
которого совпадают по направлению с
направлением обхода контура, то ток
считается положительным, а в противном
случае – отрицательным.
В нашем случае
  B, d      I
0
1
 I 2  I3  I 4 
Ток I 5 не участвует в формировании циркуляции, так как не пересекает
контур Г.
  B, d   4 10  2  3  3  4   16 10
7
7
Òëì
Выделим на поперечном сечении проводника
кольцевую зону с внутренним радиусом r и
внешним радиусом r+dr. Площадь кольцо можно
вычислить по формуле
dS    r  dr    r 2   r 2  2 rdr   dr    r 2
2
В этой формуле величиной
2
 dr 
2
2 rdr
можно пренебречь по сравнению с
остальными величинами.
Сила тока в кольцевой зоне может быть представлена из формулы,
определяющей плотность тока в проводнике
dI
, откуда dI  jdS и после суммирования элементарных сил токов
dS
по всем кольцам получим I   jdS
j
S
Подставив в это соотношение данные задачи, и интегрируя по площади
поперечного сечения проводника
2 j0 R 3
2 j0 R 4  j0 R 2
r
I   j0   2 rdr  2  r dr  2

R 0
R 4
2
R
2
Проверка размерности
I  
À
ì
ì 2
Расчет
2
I
À
3,14  4 1
 6, 28 A
2
Найдем
зависимость
энергии
взаимодействия
диполя
и
электрического поля:

W   pe  E
Раскрывая
получаем

скалярное
W   pe E cos    pe E0
произведение,
x
b
 W
W
W 
F   gradW    i
j
k

x
y
z 

Из формулы
найдем проекцию
силы, действующей на диполь
Fx  
W
x

x  x0
pe E0
 3Í
b
Выберем на полукольце два симметрично расположенных участка
элементарной длины каждый. При этом на каждом участке будут
сосредоточены элементарные заряды  dq и dq , которые можно считать
точечными. Каждый из этих зарядов создает в центре полукольца
электрические поля с напряженностями E и E , которые изображены на
рисунке.
Вертикальные составляющие этих напряженностей противоположны друг
другу и взаимно себя нейтрализуют (на рисунке не показаны).
Результирующее поле формируется горизонтальными составляющими,
которые необходимо просуммировать по всем элементарным участкам на
полукольце.
Как видно из рис, проекция на ось х напряженности электрического поля,
созданного элементарным зарядом dq   d в точке О равна
dEx  dE  cos 
Учитывая, что
dl  Rd  , а cos d   d  sin   , получим
k dl
Ex   2 cos  
r
2

0

k 0 sin 6 
k 0 sin 6 
cos Rd   
cos Rd  
2
2
R
R
2
2

7
k 0  sin 7 
k 0
sin   k 0




1


1

    3,5
R  7 0
7  2  7R


Исходя из закона Джоуля-Ленца для элементарно малых промежутков
времени
dQ  dA  I 2 Rdt
Можно получить выражение для вычисления количества теплоты,
выделяющегося в проводнике с током за конкретный интервал времени
t2
Q   I 2 Rdt
t1
Подставляя сюда выражение тока, получим
t1
Q   I R1dt   A2 cos 2 t  R1dt
2
0
Для
вычисления
этого
интеграла
тригонометрическим равенством
cos


2
воспользуемся
следующим
1  cos 
1  cos 2t
2
, на основе которого получим cos t 
2
2
Подставляем это соотношение в подынтегральное выражение
A2 R1 1
1  cos 2t
QA 
 R1dt 
1  cos 2t dt 

2
2 0
0
t1
t
2
t
t
t
A2 R1 1
A2 R1 1
A2 R1
A2 R1 1 1
dt 
cos 2tdt 
t1 
cos 2td  2t  
2 0
2 0
2
2 2 0
A2 R1
A2 R1 sin 2t1
t1 
2
2
2
Проверка размерности
 Q   A2 Î ì
 ñ  À2
Â
ñ  ÀÂñ  Äæ
À
Расчет
Q
42
42 2
2
1 
sin
 1  4 Äæ
2
2 2
2
Сила тока определяется, как заряд, протекающий через поперечное сечение
провода за единицу времени
dq
dt
I
Из этой формулы найдем элементарный заряд, проходящий через
проводник за элементарно малое время
dq  Idt
Полный заряд, проходящий через проводник за какое-то конечное время,
будет определен путем суммирования бесконечно малых зарядов
t2
q   Idt
t1
В нашем случае, подставляя сюда выражение тока, получим
t1
q   A sin tdt 
0
A

t1
 sin td t   
0
Проверка размерности
q 
A
 Ac  Êë
c 1
Расчет
q
3  cos

4
3,14
4
2 Êë
A cos t1

Задача на расчет электрической цепи с
помощью правил Кирхгофа.
Для
этого
расставим
в
схеме
предполагаемые направления токов с учетом
первого правила Кирхгофа
I
i
 0 , т.е. алгебраическая сумма токов в
любом узле цепи должна быть равна нулю.
Выберем замкнутый контур цепи R2  1  R4  R3  R2 .
Для этого контура запишем 2-е правило Кирхгофа с учетом направления
обхода контура по часовой стрелке
R2 I 2  R3 I 3  R4 I 4  1
Из этого уравнения выразим I 3
I3 
1  R4 I 4  R2 I 2
Расчет I 3 
R3
4  43  27 2
 A
3
3
(1)
Поток напряженности электрического поля через
поверхность S определяется выражением
e   En dS , где En - проекция вектора E на
S
нормаль n к элементу dS поверхности.
Электрическое поле точечного заряда – центральносимметричное и поэтому нормаль n к поверхности сферы совпадает с
вектором напряженности E в каждой точке поверхности сферы
En  E  const
Тогда поток вектора напряженности
e  E  dS
S

Интеграл dS представляет собой площадь части сферической поверхности
S
 dS  S
S
Напряженность электрического поля точечного заряда на расстоянии R от
него определяется выражением
2
q
9 Í ì
E  k 2 , ãäå k  9 10
R
Êë2
Следовательно,  e  ES  k
Проверка размерности
Í  ì 2  Êë
 Â ì
e  
Êë2 
q 1
4 R 2  kq
2
R 4
Расчет
e  9 109 11 109  3,14  310,86 Âì