Преобразование произведения в сумму (разность)

Преобразование произведения в сумму (разность)
Имеют место следующие тождества:
1
sin 𝛼 cos 𝛽 = (sin(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽))
2
1
sin 𝛼 sin 𝛽 = (cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽))
2
1
cos 𝛼 cos 𝛽 = (cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽))
2
Доказательство: рассмотрим формулы сложения для синуса:
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽,
sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽.
Сложив левые и правые части тождеств, получим sin(𝛼 − 𝛽) +
1
sin(𝛼 + 𝛽) = 2sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽, откуда следует sin 𝛼 cos 𝛽 = (sin(𝛼 −
2
𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)).
Аналогично из формул сложения для косинусов:
cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽
cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽
получим cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽) = 2cos 𝛼 cos 𝛽
1
откуда следует cos 𝛼 cos 𝛽 = (cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽))
2
и cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽) = 2sin 𝛼 sin 𝛽
1
откуда следует sin 𝛼 sin 𝛽 = (cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽))
2
Преобразование суммы (разности) в произведение
Имеют место следующие тождества:
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin
sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 sin
𝛼+𝛽
2
𝛼−𝛽
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos
2
cos
cos
𝛼−𝛽
cos 𝛼 − cos 𝛽 = −2 sin
2
2
𝛼+𝛽
cos
𝛼−𝛽
2
𝛼−𝛽
2
𝛼+𝛽
sin
2
𝛼+𝛽
2
Доказательство:
Из формул сложения для синуса и косинуса, складывая или вычитая
соответствующие их части, получаем тождества:
sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦) = 2 sin 𝑥 cos 𝑦
sin(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥 − 𝑦) = 2 cos 𝑥 sin 𝑦
cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦) = 2 cos 𝑥 cos 𝑦
cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦) = −2 sin 𝑥 sin 𝑦
Обозначив 𝑥 + 𝑦 = 𝛼, 𝑥 − 𝑦 = 𝛽, получим исходные тождества.
Имеют место следующие тождества:
tg 𝛼 + tg 𝛽 =
tg 𝛼 − tg 𝛽 =
sin(𝛼+𝛽)
cos 𝛼 cos 𝛽
sin(𝛼−𝛽)
cos 𝛼
+
, 𝛼, 𝛽 ≠ + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
sin(𝛼+𝛽)
sin 𝛼 sin 𝛽
ctg 𝛼 − ctg 𝛽 = −
sin 𝛼
2
𝜋
cos 𝛼 cos 𝛽
ctg 𝛼 + ctg 𝛽 =
Доказательство: tg 𝛼 + tg 𝛽 =
𝜋
, 𝛼, 𝛽 ≠ + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
, 𝛼, 𝛽 ≠ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
sin(𝛼−𝛽)
sin 𝛼 sin 𝛽
sin 𝛽
cos 𝛽
=
, 𝛼, 𝛽 ≠ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
sin 𝛼 cos 𝛽+sin 𝛽 cos 𝛼
cos 𝛼 cos 𝛽
sin(𝛼+𝛽)
=
cos 𝛼 cos 𝛽
.
Остальные тождества доказываются аналогично.
Примеры решения задач
Пример 1. Преобразовать произведение в сумму 1+sinx.
𝜋
𝜋
+𝑥
2
2
2
Решение. 1+sinx=sin + sin 𝑥=2 sin
cos
𝜋
−𝑥
2
2
𝜋
𝑥
4
2
𝜋
4
π
𝑥
4
𝑥
2
π
𝑥
2
4
2
=2 sin( + ) cos( − )
Ответ: 2 sin( + ) cos( − )
Пример 2. Найти значение выражения sin200+sin400.
Решение. sin200+sin400=2 sin
200 +400
2
cos
200 −400
2
=2sin300cos( - 100)=cos100
Ответ: cos100
Пример 3. Решить уравнение 2sin7xcos3x – sin10x=0.
1
Решение.
2sin7xcos3x – sin10x=2 (sin10x+sin4x) – sin10x=sin10x+sin4x –
2
𝜋𝑘
sin10x=sin4x. Следовательно, sin4x=0. 4x=k, kZ; x= , kZ.
4
Ответ:
𝜋
2𝜋
7
7
Пример 4 . Преобразовать выражение sin + sin
+ sin
3𝜋
7
𝜋𝑘
4
, kZ
.
𝜋
Решение. Умножим выражение на 2sin :
14
2 sin
𝜋
14
𝜋
= cos
14
𝜋
= cos
𝜋
2𝜋
7
7
(sin + sin
14
− cos
3𝜋
14
𝜋
+ cos
− cos = cos
2
+ sin
3𝜋
14
𝜋
14
3𝜋
7
) = 2 sin
− cos
5𝜋
14
𝜋
+ cos
𝜋
𝜋
7
14
sin + 2 sin
14
5𝜋
14
− cos
7𝜋
14
sin
=cos
𝜋
14
2𝜋
7
+ 2 sin
− cos
7𝜋
14
=
𝜋
− 0 = cos .
14
Полученное выражение разделим на 2sin
𝜋
14
1
𝜋
2
14
и получим tg
.
𝜋
14
sin
3𝜋
7
=
1
Пример 5. Найти значение выражения sin6x+cos6x, если cos4x= .
3
Решение.
sin6x+cos6x=(sin2x)3+(cos2x)3
=
(sin2x+cos2x)3 –
3
3 1−cos 4𝑥
3
- 3sin2xcos2x(sin2x+cos2x) = 1 – 3sin2xcos2x = 1- sin22x = 1 - 
= .
4
4
2
4
Ответ:
3
4
Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения
sin x+cos4x.
4
Решение. sin4x+cos4x = (sin2x)2+(cos2x)2 = (
1+cos2 2𝑥
2
1−cos 2𝑥 2
)
2
+(
1+cos 2𝑥 2
)
2
=
.
Так как наибольшим и наименьшим значениями выражения cos 2 2𝑥
являются числа 0 и 1, то соответственно наибольшим и наименьшими
значениями выражения
1+cos2 2𝑥
будут числа 1 и 0,5.
2
Ответ: наибольшее 1; наименьшее 0,5
𝜋
Пример 7. Найти значение выражения cos cos
7
𝜋
Решение. Умножим выражение на 23sin
𝜋
𝜋
7
2𝜋
7
7
7
числу множителей выражения): 23 sin cos cos
= 2 sin
4𝜋
7
cos
4𝜋
7
= sin
8𝜋
7
𝜋
2𝜋
7
cos
4𝜋
7
.
(показатель степени равен
cos
4𝜋
7
= 22 sin
2𝜋
7
cos
2𝜋
7
cos
4𝜋
7
= −sin ;
7
𝜋
1
7
8
Разделим полученное выражение на 23sin и получим − .
Ответ: −
Пример 8. Вычислить sin
1
8
3

 sin .
10
10
Решение. Для вычисления значения исходного выражения достаточно
осуществить следующую цепочку преобразований:

2

2
2
3


2 2 sin 10  cos 10  cos 10 sin 10  cos 10
sin
 sin = 2 sin  cos
=
=
=


10
10
10
10
cos
cos
10
10
2 sin
=
2
2
4
 

 cos
sin
sin(  )
cos
1
1
1
10
10 = 
10 = 
2 10 = 
10 = 1



 2
2
2
2
2 cos
cos
cos
cos
10
10
10
10
Ответ:
1
2
Упражнения
1. Представьте в виде суммы выражение:
1) cos 450 cos 150
2) sin(−350 ) sin 650
3) 2cos(−100 ) cos 800
4) sin 200 sin 100
5) sin 500 cos 200
6) cos 200 cos 100
7) 2sin 150 cos 100
8) 2cos 220 cos(−230 )
9) sin 350 sin(−250 )
10) sin 50 cos 850
2. Представьте в виде суммы выражение:
1) sin 4𝛼 cos 2𝛼
4) sin
𝜋
24
2) cos(
5𝜋
cos
𝜋
12
+ 𝛼) cos(
𝜋
𝜋
5
8
5) sin sin
24
𝜋
𝜋
4
4
7) 2sin( − 𝛼) sin( + 𝛼)
8) cos
𝜋
10
cos
𝜋
12
𝜋
𝜋
8
8
− 𝛼) 3) cos( + 𝛼) cos( − 𝛼)
6) cos(
𝜋
9) sin
5
𝜋
12
𝜋
10
− 𝛼) sin(
cos
10) sin 50 cos 850
3. Представьте в виде произведения выражение:
1) sin 400 + sin 800
2) cos 500 + cos 200 3) cos 150 − cos 250
4) sin 200 + cos 800
5) sin 400 − cos 250
7) sin 780 − sin 420
8) cos 480 − cos 120 9) sin 750 + sin 150
6) sin 800 − sin 400
10) cos 1520 + cos 280
4. Представьте в виде произведения выражение:
1) sin (𝛼 −
2𝜋
) − sin(𝛼 +
3
𝜋
11𝜋
9
18
3) cos(4𝛼 − ) − cos(
𝜋
2𝜋
3
)
− 4𝛼)
𝜋
5) sin (𝛼 − ) + sin(𝛼 + )
6
6
7) cos(3𝛼 −
9) ctg (
3𝜋
4
𝜋
16
) − cos(
− 𝛼) + ctg(
𝜋
16
3𝜋
4
− 3𝛼)
+ 𝛼)
5𝜋
2) tg (
4
− 𝛼) + tg(
5𝜋
4
𝜋
𝜋
3
3
+ 𝛼)
4) ctg ( + 𝛼) − ctg( − 𝛼)
𝜋
𝜋
6) cos (𝛼 + ) + cos(𝛼 − )
4
4
8) sin (2𝛼 −
𝜋
) − sin(2𝛼 +
10
𝜋
𝜋
4
4
10) tg ( + 𝛼) − tg( − 𝛼)
3𝜋
5
)
𝜋
8
𝜋
12
+ 𝛼)
5. Найдите значение выражения:
1)
5)
9)
sin 350 +sin 850
2)
cos 250
sin 370 −sin 530
6)
1−2 cos2 410
sin 150 −sin 750
sin 650 +sin 150
sin 650 −sin 150
cos 500 −cos 700
10)
cos 150 +cos 750
3)
1−2 sin2 400
7)
cos 890 +cos 10
sin 890 +sin 10
cos 240 −cos 840
sin 54 0
4)
8)
sin 650 +sin 150
sin 650 −sin 150
sin 540 −sin 180
sin 54 0 +sin 180
sin 430 +sin 170
2cos 130 +3 sin 770
6. Упростите выражение:
1) cos 𝛼 + cos 2𝛼 + cos 3𝛼 + cos 4𝛼
2) sin 𝛼 + sin 3𝛼 + sin 5𝛼 + sin 7𝛼
cos 2𝛼 + cos 14𝛼 + cos 6𝛼 +
3)
cos 60 + cos 120 + sin 180 + cos 240 + 4)
0
cos 10𝛼
cos 30
5)
sin 100 + sin 200 + sin 300 + 6) sin 𝜋 + sin 2𝜋 + sin 3𝜋
17
17
17
sin 400 + sin 500
sin 4𝛼 + sin 10𝛼 + sin 22𝛼 +
7)
sin 120 + sin 240 + sin 360 + 8)
0
0
sin 16𝛼
sin 48 + sin 60
9)
cos 200 + cos 400 + sin 100 + 10) cos 2𝜋 + cos 4𝜋 + cos 6𝜋
31
31
31
cos 800 + cos 1000
7. Представьте в виде произведения или частного выражение:
1) sin 4𝛼 − 1
6) cos 𝛼 +
1
2
1
2) tg 3𝛼 + 1
3) sin 6𝛼 +
7) 1 + sin 4𝛼
8) √3 − 2 sin 𝛼 9) √3 − sin 2𝛼
4) √3 + tg 𝛼
2
5) cos 𝛼 −
10) 2cos 𝛼 − √3
2
8. Представьте в виде произведения или частного выражение:
1) − sin2 𝛼
2) 1 − 2 sin2 220
5) 3 − tg 2 𝛼
6) tg 2 𝛼 −
9) cos 2 𝛼 − 0,25
10) 1 − 2 cos 2 380
3
4
1
3
3) sin2 𝛼 − 0,25
4) 2 sin2 480 − 1
7) 0,75 − cos 2 𝛼
8) 2 cos 2 180 − 1
9. Докажите тождество:
1) ctg𝛼 + ctg𝛽 =
3)
5)
sin 𝛼+sin 𝛽
cos 𝛼+cos 𝛽
cos 𝛼−sin 𝛼
cos 𝛼+sin 𝛼
= tg
sin(𝛼+𝛽)
sin 𝛼 sin 𝛽
𝛼+𝛽
2)
cos 𝛼+sin 𝛼
cos 𝛼−sin 𝛼
𝜋
= tg( + 𝛼)
4
4) cos 2 𝛽 − cos 2 𝛼 = sin(𝛼 + 𝛽) sin(𝛼 − 𝛽)
2
𝜋
= tg( − 𝛼)
4
√2
2
6) sin2 𝛼 − cos 2 𝛽 = −cos(𝛼 + 𝛽) cos(𝛼 − 𝛽)
7)
9)
sin 𝛼+sin 5𝛼
cos 𝛼+cos 5𝛼
= tg 3𝛼
tg (𝛼+𝛽)−tg𝛼−tg𝛽
tg𝛼tg(𝛼+𝛽)
8)
sin 𝛼+sin 𝛽
sin 𝛼 cos 𝛽+cos 𝛼 sin 𝛽
10) ctg𝛼 − ctg𝛽 =
= tg𝛽
=
𝛼−𝛽
2
𝛼+𝛽
cos
2
cos
sin(𝛽−𝛼)
sin 𝛼 sin 𝛽
10. Решите уравнение:
1) tg 3𝑥 + tg4𝑥 = 0
2) 2 sin 5𝑥cos 7𝑥 + sin(𝜋 − 2𝑥) = 0
3) 2 sin 8𝑥 sin 3𝑥 − cos 5𝑥 = 0
4) cos 3𝑥 + sin 5𝑥 = sin 4𝑥
5) tg 5𝑥 − tg4𝑥 = 0
6) 2 sin 4𝑥 sin 6𝑥 + cos 10𝑥 = 0
7) tgx+tg2x=tg3x
8) 2 cos 4𝑥 cos 6𝑥 − sin ( + 2𝑥) = 0
𝜋
2
9) cos 𝑥 − cos 2𝑥 = sin 3𝑥
10) cos 6𝑥 − cos 8𝑥 = 1 − cos 2𝑥
Дополнительные задания
1. Упростите выражение:
𝜋
2𝜋
5
5
1) cos cos
cos
4𝜋
5
cos
8𝜋
5
2) cos
𝜋
15
cos
2𝜋
15
cos
4𝜋
15
cos
8𝜋
15
3) cos100cos200cos400cos800
4) 8cos200cos400cos600cos800
5) 8sin100sin300sin500sin700
6) 8sin850sin800sin700sin300
7) sin2700sin2500sin2100
8) 8 cos 10 cos 20 cos 40 cos 80
9) 4 sin 250 cos 150 sin 50
10) sin2180sin2540sin2720
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:
1) 4sin2α+5cos2α
2) 2sin2α+3cos2α
3) 4sin2α+cos2α
4) sin2α+2cos2α
5)
6)
7)
8)
9)
10)
3. Докажите тождество:
4
4
2
2
1
1)
cos 8 𝛼 − sin8 𝛼 = cos 2𝛼(3 + 2) cos 𝛼 −sin 𝛼 = cos 𝛼 − sin 𝛼
4
cos 4𝛼)
1
3) cos 6 𝛼 + sin6 𝛼 = (5 + 3 cos 4𝛼)
8
4)
2 sin 6 cos 6  sin 10
 ctg11
2
2 sin 6  cos10  1
5) cos2 (
7
9
4
 2 )  cos 2 (
 2 )   sin
8
8
2
15
17
cos 4
 2 )  cos 2 (
 2 )  
8
8
2
6) sin 2 (
sin 2 3  cos 5  1
11
7)
 tg
2 sin 3 cos 3  sin 5
2
8)
9) ctg 2 𝛼 − cos 2 𝛼 = ctg 2 𝛼 cos 2 𝛼
sin 5  2 cos 2 sin 2
9
 tg
2
2 cos2 2  cos 5  1
2 cos2 4  cos10  1
10)
 ctg9
sin 10  2 cos 4 sin n 4
4. Преобразуйте выражение:
1) 1 + 2 cos 2𝑥
2) √2 sin 2𝑥 − 1
3) 1 − 2 sin 2𝑥
4) √3tg 𝑥 − 1
5) 1 + √2 cos 𝑥
6) 3 − tg 2 𝑥
7) 1 − √2 sin 3𝑥
8) 1 − 4 sin2 𝑥
9) √3 + 2 cos 6𝑥
10) 3 − 4 cos 2 𝑥
5. Найдите значение выражения:
1) 2 cos 2𝑥 (ctg 2 𝑥 − tg 2 𝑥), если sin 𝑥 + cos 𝑥 =
3) cos 4𝑥 tg 4𝑥, если sin 𝑥 + cos 𝑥 =
5)
cos 2𝑥
tg 𝑥−ctg 𝑥
, если sin 𝑥 − cos 𝑥 =
1
7) cos 4 𝛼 + sin4 𝛼, если sin 2𝛼 =
9)
1−2 sin2
1+sin 𝑥
𝑥
2
.
√2
2
3
𝑥
, если tg = 3
2
√2
2
1
3
4) sin 𝑥 + cos 𝑥, если 𝑡𝑔
10)
2
3+4 cos 2𝑥
3) sin 240 + sin 160 + sin 400
4) cos 𝑥 + cos 2𝑥 + cos 3𝑥 + cos 4𝑥
2
2
+ cos 𝑥
2
=3
6) sin 230 + sin 570 + sin 400
𝑥+𝑦
7) cos(𝑥 + 𝑦) + cos (𝑥 − 𝑦) + cos 𝑥
8) sin 𝑥 + sin 𝑦 + sin
9) sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 3𝑥
10) cos 2𝑥 − sin 𝑥 − sin 5𝑥
2
7. Представьте в виде произведения или отношения произведений:
1) 1 + sin 𝑥 + cos 𝑥
2) 1 − sin 𝑥 − cos 𝑥
3) sin 𝑥 + sin 𝑦 + sin(𝑥 + 𝑦)
4) 1 − cos 𝑥 + sin 𝑥
𝑥
2
=
, если tg 𝑥 = 0,3
2) sin 𝑥 + cos 2𝑥 − sin 3𝑥
3𝑥
𝑥
8) sin4 𝑥 − cos 4 𝑥, если tg
1) sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 3𝑥 + sin 4𝑥
𝑥
2
6) sin 4𝑥, если ctg 𝑥 = 2
6. Представьте в виде произведения или отношения произведений:
5) sin − sin
1
2) cos 𝑥, если sin 𝑥tg 𝑥 =
1
2
5) 1 + sin 𝑥 + cos 𝑥 + tg 𝑥
6) tg 𝑥 + tg 2𝑥 − tg 3𝑥
7) 1 − sin 𝑥 + cos 𝑥
8) 1 − sin 𝑥 + cos 𝑥 − tg 𝑥
9) sin(7𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 + 𝑦) + cos 3𝑥
10) sin 𝑥 + cos 𝑥 − 1
Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение
Вариант 1
Вариант 2
1. Найдите значение
выражения
cos 450 cos 150
sin 200 sin 100
2. Найдите значение
выражения
cos 480 − cos 120
sin 800 − sin 400
3. Найдите значение
выражения
sin
𝜋
𝜋
cos
12
12
4. Найдите значение
выражения
sin69Ocos39O – cos69Osin36O
5. Найдите значение
выражения
cos 240 − cos 840
sin 540
sin 350 + sin 850
cos 250
6. Найдите значение
выражения
sin 540 − sin 180
sin 540 + sin 180
cos 890 + cos 10
sin 890 + sin 10
7. Упростите
выражение
8. Решите уравнение
sin
𝜋
2𝜋
3𝜋
+ sin
+ sin
17
17
17
𝜋
𝜋
6
3
cos cos
cos
𝜋
𝜋
3
6
- sin sin
2𝜋
4𝜋
6𝜋
+ cos
+ cos
31
31
31
tg 3𝑥 + tg4𝑥 = 0
tg 5𝑥 − tg4𝑥 = 0
9. Докажите
тождество
cos 𝛼 − sin 𝛼
𝜋
= tg( − 𝛼)
cos 𝛼 + sin 𝛼
4
cos 𝛼 + sin 𝛼
𝜋
= tg( + 𝛼)
cos 𝛼 − sin 𝛼
4
10. Упростите
выражение
𝜋
2𝜋
4𝜋
8𝜋
cos cos cos cos
5
5
5
5
cos
𝜋
2𝜋
4𝜋
8𝜋
cos cos cos
15
15
15
15