КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Решение задач по теме 7: Задачи 1. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного гармонического осциллятора. Будем искать решение уравнения Шредингера: 2 d 2 x m2 x 2 x Ex . 2m dx2 2 x Сделаем обезразмеривающую замену , x0 и m x0 2E обозначим . Уравнение примет вид: 2 2 0 . 2 Легко убедиться, что при волновая функция имеет вид e 2 2 . Это легко сделать, пренебрегая по сравнению с 2 . 2 2 Тогда функция должна иметь вид f e . Будем искать решение уравнения 2 f f 2 1 f 0 2 в виде степенного ряда f ak k . Подставим этот ряд в k k0 уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , получим ряд соотношений k0 k0 1ak0 0 при k0 2 , k 0 k 0 1ak0 1 0 при k0 1 , k 2k 1ak 2 1 2k ak 1 0 при k , если k k 0 . Первые два уравнения являются тождествами, если положить k 0 0 , a0 0 , a1 0 . Из последнего уравнения получаем рекуррентную формулу для коэффициентов ряда 2k 1 ak 2 ak . k 2k 1 Все четные a k можно определить через a0 , а нечетные – через a1 . Бесконечный степенной ряд в общем случае не является сходящимся. Следовательно, его следует сделать конечным, то есть оборвать на некотором члене. То есть в рекуррентной формуле следует положить некоторое an 2 0 . Откуда 2n 1 , 2n 1 дискретны, а уравнеE , уровни энергии En 2 2 ние на собственные функции примет вид: 2 fn f 2 n nf n 0 , 2 ему удовлетворяют полиномы Чебышева-Эрмита H n 1 e n 2 2 d n e . d n Волновая функция имеет вид: 2 2 n Сe H n . Пронормируем ее. 2 2 2 2 2 n x dx x0 n d x0 Cn e H n d 1 Один из полиномов представим в явном виде и проведем n раз интегрирование по частям, получим n n 2 1 d e n H n d x0 Cn 2 e d H nn d , d d 2 1 x0 C n так как 2 n d n H n 2 n n! , то C n d n 2 x0 1 . 2 n! n 2 Ответ: En 2n 1, n 4 x0 n e 2 H n . 2 2 n! 2 3 2. Найдите уровни энергии и собственные функции трехмерного гармонического осциллятора вида m12 x 2 m22 y 2 m32 z 2 U x, y , z . 2 2 2 Рассмотрите случай изотропного осциллятора. Будем искать решение трехмерного уравнения Шредингера: 2 U E , 2m в виде x, y, z X x Y y Z z . Уравнение примет вид: 2 2 2 2mE 2 2 2 XYZ 2 12 x 2 22 y 2 32 z 2 XYZ 2 XYZ 0 , x y z 2 X 2Y 2Z YZ XZ XY x 2 y 2 z 2 2mE 12 x 2 22 y 2 32 z 2 XYZ 2 XYZ 0 , разделим все уравнение на XYZ . 2 2 1 2 X 2mE 2 2 1 Y 2 2 1 Z 2 2 x y 1 2 X x 2 Y y 2 Z z 2 3 z 2 , каждое из слагаемых в левой части зависит только от одной переменной, их сумма – постоянная, следовательно, каждое из этих слагаемых тоже константа. Тогда уравнения примут вид 2mE 2 X 12 x 2 X 2 1 X 0 , 2 x 2 2mE 2 Y 22 y 2Y Y 0, 2 y 2 2mE 2Z 32 z 2 Z 2 3 Z 0 , 2 z где E E1 E2 E3 . Решения этих уравнений аналогичны решению уравнений для одномерного гармонического осциллятора: X n1 С1e 2 2 1 H n1 , En1 1 n1 , 2 4 Yn2 С 2 e 2 2 1 H n2 , En2 2 n2 , 2 2 2 1 H n3 , En3 3 n3 , 2 m3 m1 m2 где x, y, z. Тогда волновая функция Z n3 С3e n1n2 n3 , , Сe с учетом нормировки n1n2 n3 , , и энергия 4 2 2 2 2 m 12 3 e 3 4 3 H n1 H n2 H n3 , 2 2 2 2 2 n1 n3 n3 n1!n2 !n3! H n1 H n2 H n3 1 1 1 E 1 n1 2 n2 3 n3 . 2 2 2 Заметим, что в случае изотропного осциллятора 1 2 3 уровни энергии являются вырожденными: 3 E n1 n2 n3 . 2 Так, например, если n1 n2 n3 1 , то значению энергии 5 E соответствуют три набора квантовых чисел n1; n2 ; n3 – 2 (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), а следовательно, три различные волновые функции. Если n1 n2 n3 2 , то n1; n2 ; n3 могут быть (2;0;0), 7 (1;1;0), (1;0;1), (0;2;0), (0;1;1), (0;0;2) – уровень энергии E 2 шесть раз вырожден, в общем случае если n1 n2 n3 N , то 1 3 уровень энергии E N вырожден N 1N 2 раз. 2 2 1 1 1 Ответ: E 1 n1 2 n2 3 n3 , 2 2 2 5 n1n2 n3 , , 4 m 12 3 e 3 4 3 2 2 2 2 2 n1 n3 n3 n1!n2 !n3! H n1 H n2 H n3 . 3. Найдите возможные значения энергии E квантового гармонического осциллятора с частотой , находящегося в состоянии, описываемом волновой функцией: 2 2 2 2 а) x Ae a x , б) x Axe a x . Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с частотой : 2 d 2 m2 x 2 E 2 dx 2 даст значение энергии осциллятора: а) 1 2 d 2 m2 x 2 2 Aa 2 4a 2 x 2 2 e a x m2 x 2 2 2 2m dx2 2 2 2mAe a x 2 2 a 4 x 2 2 a 2 m2 x 2 . m m 2 Поскольку энергия не может зависеть от координаты, вероятно, слагаемые, содержащие координату, в сумме равны нулю: 2 2 a 4 x 2 m2 x 2 m , a2 , m 2 2 тогда 2 m E ; m 2 2 2 2 1 2 d 2 m2 x 2 2 A 4a 4 x 3 6a 2 x e a x m2 x 2 б) E 2 2 2m dx2 2 2 2mAxe a x 2 2 a 4 x 2 3 2 a 2 m2 x 2 , m 2m 2 m аналогично a 2 ,и 2 3 2 m 3 E . m 2 2 E 6 2 2 Ответ: а) E x 2 3 , б) E . 2 2 4. Вычислите среднее значение квадрата координаты и среднюю потенциальную энергию одномерного гармо- нического осциллятора, находящегося на n -ом энергетическом уровне. По определению среднего значения кинетическая энергия 2 xˆ 2 * x 2 dx x 2 dx . При x , где x0 m x0 2 2 H n , где Cn x0 1 . 2 n! Подставим явный вид функции в формулу n Cn e n 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xˆ Cn e H n d Cn e H n d . m m n 2 n 2 d e Заменяя один из полиномов H n 1 e и интегрируя d n 2 2 xˆ 2 Cn 3 2 n 2 n 2 2 2 d e 1 e e H n d d n m 2 Cn 3 2 2 d n H n 2 d . e d n m 2 Очевидно, d n H n 2 n 2! 2 n!a . dn an n 2 an 2 n ... an n2 n n 2! d d По рекуррентной формуле 2k 1 ak 2 ak , k 2k 1 7 nn 1 . 4 Подставляя производную в интеграл, получаем a n 2 n , an 2 an 3 2 2 n 2! 2 xˆ 2 Cn n!an 2 d . e an 2! m Эти интегралы легко взять при помощи интеграла Пуассона x2 2 x2 : e dx и x e dx 2 2 3 2 n n 2! nn 1 xˆ Cn 2n n! 2 2 2 4 m 1 1 2n n!n 2n 1 nn 1 n . n 4 m 2 m 2 n! Тогда средняя потенциальная энергия m2 x 2 m2 1 1 E U n n n . 2 2 m 2 2 2 2 1 1 Ответ: xˆ 2 n , U n . m 2 2 2 2 2 5 Вычислите среднюю кинетическую энергию одномерного гармонического осциллятора, энергия которого равна 5 . 2 Для одномерного осциллятора оператор кинетической энергии 2 d 2 , Tˆ 2m dx2 то средняя кинетическая энергия 8 2 2 2 2 d * d Tˆ dx dx . 2m 2 M dx dx 2 5 В данном случае энергия соответствует номеру уровня 2 x n 2 , волновая функция осциллятора при , где x0 m x0 2 1 2 2 e H 2 , H 2 4 2 2 . 2 2 2! Подставим явный вид функции в формулу x0 2 2 d 2 ˆ T e 2 4 2 dx , 16 d 2 6 4 2 Tˆ e 4 20 25 dx . 4 Эти интегралы легко взять, если к интегралу Пуассона x 2 e dx применить интегрирование по параметру k 1 3 ... 2k 1 x 2 2 k x 2 , x e dx e dx k 2 k 1 2 то 5 E2 . Tˆ 4 2 5 Ответ: Tˆ . 4 6. Определите минимальную энергию одномерного квантового осциллятора, пользуясь соотношением неопределенностей. Среднее значение энергии одномерного квантового осциллятора можно записать E p 2 m2 x 2 p m2 x . 2m 2 2m 2 2 9 2 Из соотношения неопределенностей x 2 2 E p 2 m2 2 2 2m 8p 4p 2 . Найдем минимум энергии, как функции p 2 : 1 m 2 2 m , 0 , p 2 2 2m 2 2 8 p тогда среднее значение энергии m 2m2 2 E . 4m 8m 2 Ответ: E . 2 7. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного заряженного гармонического осциллятора, помещенного в однородное электрическое поле напряженностью , направленной вдоль оси колебаний. Заряд осциллятора q . Потенциальная энергия такого осциллятора m2 x 2 U qx . 2 Будем искать решение уравнения Шредингера: 2 d 2 x m2 x 2 x qxx Ex . 2m dx2 2 Выделим в потенциальной энергии полный квадрат 2 2 2 m2 2 2q q q U x x 2 2 2 m2 m 2m 10 2 m2 q q 2 2 m2 2 q 2 2 x , x 2 2 m2 2m2 2m2 q где сделана замена x x , тогда уравнение с учетом замеm2 q 2 2 ны E E примет вид: 2m2 2 d 2 x m2 x 2 x E x , 2m dx 2 2 решение которого известно: 2 2n 1, n 4 x0 n e 2 H n . En 2 2 n! Уровни энергии осциллятора в электрическом поле смещены: 2 2 2n 1 q 2 , En 2 2m x q а в волновых функциях x x0 . x0 m2 2 2 2 Ответ: En 2n 1 q 2 , n 4 x0 n e 2 H n , 2 2m 2 n! x q где x x0 . x0 m2 11