Lekciya9

Лекция 9
Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение в виде ряда)
Одномерным гармоническим осциллятором называется частица, движущаяся в потенциале
U ( x)  m 2 x 2 / 2 , где m - масса частицы,  - число, имеющее размерность сек-1 (в случае
классического движения частицы в указанном потенциале величина  имела бы смысл
круговой частота колебаний частицы). Найдем волновые функции и энергии стационарных
состояний осциллятора.
Стационарное уравнение Шредингера для осциллятора имеет вид

d 2 f ( x) m 2 x 2

f ( x)  Ef ( x)
2m dx 2
2
2
(1)
От координаты x и энергии E перейдем к безразмерным переменным  и  , используя
величины

и
m
(2)
имеющие размерности длины и энергии соответственно:

m

x
2

В новых переменных уравнение Шредингера (1) принимает вид
d 2 f ( )
     2  f ( )  0
d 2
(3)
Необходимо найти такие значения  (и, следовательно, E ), при которых уравнение (3) имеет
конечные при всех  решения и сами эти решения. Перейдем к новой неизвестной функции
u ( ) :
f ( )  u ( )e

2
2
(4)
Подставляя это выражение в (3), получим уравнение для неизвестной функции u ( ) :
u( )  2 u( )  (  1)u ( )  0
(5)
Ищем решение уравнения (5) в виде степенного ряда

u ( )   Ck k
k 0
где Ck - неизвестные коэффициенты. Подставляя ряд (6) в уравнение (5), получим
1
(6)

 k (k  1)C 
k 2
k
k 2


k 0
k 0
 2 kCk k  (  1) Ck k  0
(7)
Меняя в первом слагаемом индекс суммирования k  k   2 и собирая одинаковые степени  ,
найдем рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (6)
Ck  2 
2k  1  
Ck
(k  1)(k  2)
(8)
Таким образом, чтобы ряд (6) определял решение уравнения (5) его коэффициенты должны
быть связаны рекуррентным соотношением (8). При этом, поскольку соотношение (8) связывает
Ck и Ck  2 , оно связывает отдельно четные и нечетные коэффициенты. Поэтому C0 и C1 могут
быть выбраны произвольно (заметим, что отсюда следует, что ряд (6), (8) определяет общее
решение уравнения (3)). В частности, ряды с C0  1 и C1  0 (то есть ряд по четным степеням  )
и C0  0 и C1  1 (то есть ряд по нечетным степеням) определяют два линейно независимых
частных решения уравнения (5)).
Чтобы понять, какой функции отвечает ряд Тейлора (6), (8), рассмотрим соотношение (8)
при больших k . Для больших k рекуррентное соотношение (8) имеет вид (мы пренебрегли
числами порядка единицы по сравнению с большим k ):
Ck  2 
2
Ck
k
(9)
Соотношение (9) для четных индексов отвечает разложению в ряд Тейлора функции exp  2  и
 exp  2  - для нечетных. Это значит, что при больших  (при которых сумма ряда (5)
определяется слагаемыми c большими k ) оба частных решения уравнения (5) содержат
экспоненту exp  2  . Поэтому соответствующие частные решения уравнения (1)
f ( )
расходятся при    .
Однако при некоторых значениях энергии ряд (6) обрывается, и все коэффициенты,
начиная с некоторого, равны нулю. Действительно, из (7) следует, что если   2n  1 , где n любое целое неотрицательное число (или E   (n  1/ 2) ), то коэффициент Cn  2 обращается в
нуль. Очевидно, в этом случае будут равны нулю и коэффициенты Cn  4 , Cn  6 , ... . Поэтому в
этом случае ряд (6) содержит конечное число слагаемых той же четности, что и слагаемое Cn n ..
Таким образом, если   2n  1 , то одно из частных решений уравнения (5) сводится к
многочлену
определенной
четности,
а
не
2
к
функции
exp  2  ,
и,
следовательно,
соответствующее
ограниченной
частное
функцией
E   (n  1/ 2) и
решение
при
всех
f ( )  u ( ) exp   2 / 2  ,
уравнения
(1),
значениях
координат.
Следовательно,
является
указанные
f ( ) являются собственными значениями и собственными функциями
уравнения (1).
Найдем явно несколько первых решений. При E   / 2 ( n  0 ), обрыв ряда происходит
при переходе от нулевого коэффициента ко второму. То есть в этом случае коэффициент C2  0 .
Ряд же по нечетным степеням  при таком значении E не обрывается, и потому его нужно
сделать равным нулю, взяв коэффициент C1  0 . Поэтому функция u ( ) в этом случае многочлен нулевой степени. Таким образом, значение E0   / 2 - минимальное собственное
значение, которому отвечает собственная функция
f 0 ( )  C0 exp   2 / 2 
(10)
Следующее значение энергии, при котором происходит обрыв ряда (6) E  3  / 2 ( n  1 ). В
этом случае обращается в нуль коэффициент C3 . Ряд по четным степеням  надо сделать
тождественно равным нулю, выбрав C0  0 . Таким образом,
E1  3  / 2
f1 ( )  C1 exp   2 / 2 
(11)
Аналогично из соотношения (8) найдем
E2  3  / 2
f 2 ( )  C0 (1  2 2 ) exp   2 / 2 
(12)
и т.д.
Отметим, что из приведенных выше рассуждений буквально не следует, что
перечисленные собственные решения исчерпывают все собственные значения и собственные
функции уравнения (1). Действительно, так как линейная комбинация двух неограниченно
возрастающих функций может, вообще говоря, расходиться гораздо медленнее каждой
функции, то можно было бы ожидать, что при некоторых значениях E   (n  1/ 2)
определенная линейная комбинация четного и нечетного частных решений уравнения (4) будет
расходится медленнее, чем exp  2 / 2  , и, следовательно, такие значения E будут собственными
значениями уравнения (1). Это, однако, невозможно одновременно как на  , так и на  .
Предлагаем слушателям доказать это утверждение самостоятельно при домашней подготовке к
следующей лекции.
Таким образом, собственные значения и собственные функции осциллятора имеют вид
3
f n ( )  An H n ( ) exp   2 / 2 
En   (n  1/ 2)
n  0,1, 2,...
(13)
где H n ( ) - многочлены n -ой степени, которые называются полиномами Эрмита. При принятой
в математике нормировке полиномы Эрмита отличаются множителями от многочленов (10)(12), а постоянные An равны
An 
1
(15)
2 n! 
n
Как следует из проведенного выше вывода, полиномы Эрмита с четными индексами содержат
только четные степени  , с нечетными - нечетные. Это значит, что собственные функции,
отвечающие четным уровням энергии (нулевому, второму и т.д.) являются четными функциями
координаты, нечетным уровням (первому, третьему и т.д.) - нечетными. Этот вывод согласуется
с общим утверждением о четности собственных функций оператора Гамильтона в случае четной
потенциальной энергии.
Приведем в заключение несколько нормированных собственных функций одномерного
гармонического осциллятора
f 0 ( )  4
f1 ( ) 
f 2 ( ) 
1

2
4

exp   2 / 2 
(16)
 exp   2 / 2 
(17)
1
2 2  1 exp   2 / 2 

4
2 
(18)
Знание собственных значений и собственных функций гамильтониана гармонического
осциллятора (13) позволяет находить вероятности различных значений энергии осциллятора и
его среднюю энергию в любых состояниях, а также строить все возможные волновые функции
осциллятора в любые моменты времени. Например. Пусть в момент времени t  0
нормированная волновая функция гармонического осциллятора имеет вид
 ( x, t  0) 
2
   2  exp   2 / 2 

4
5 

m
x
(19)
Какие значения может принимать энергия осциллятора в последующие моменты времени и с
какими вероятностями? Найти среднюю энергию гармонического осциллятора как функцию
времени. Какова средняя четность указанного состояния осциллятора? Как средняя четность
зависит от времени?
4
Поскольку потенциальная энергия не зависит от времени, вероятности различных
значений энергии осциллятора в любом состоянии не зависят от времени. Поэтому достаточно
вычислить вероятности различных значений энергии и среднюю энергию осциллятора в момент
времени t  0 . Чтобы найти эти величины для осциллятора в рассматриваемом состоянии
разложим начальную волновую функцию этого состояния по собственным функциям оператора
Гамильтона для гармонического осциллятора. Так как данная в условии задачи волновая
функция представляет собой произведение многочлена второй степени на exp   2 / 2  , то в
разложении могут быть представлены только нулевая, первая и вторая собственные функции
гамильтониана осциллятора. Используя явные выражения для трех первых собственных
функций осциллятора (16)-(18), легко найти
 ( x, t  0) 
1
2
2
f 0 ( ) 
f1 ( ) 
f 2 ( )
5
5
5
(20)
Поэтому энергия осциллятора, находящегося в рассматриваемом состоянии может принимать
значения E0   / 2 , E1  3  / 2 и E2  5  / 2 с вероятностями w0  1/ 5 , w1  2 / 5 , w2  2 / 5 ..
Среднюю энергию осциллятора найдем по формуле теории вероятностей для математического
ожидания
E   En wn
(21)
n
Так как собственные функции оператора Гамильтона f 0 ( ) и f 2 ( ) являются четными, то они
являются и собственными функциями оператора четности, отвечающими собственному
значению p  1 , f1 ( ) - собственной функцией оператора четности, отвечающей собственному
значению p  1 . Поэтому вероятность обнаружить четность рассматриваемого состояния
осциллятора, равную +1, есть w  3/ 5 , равную -1, - w  2 / 5 . Отсюда найдем, что средняя
четность рассматриваемого состояния равна
p
1
5
(22)
Разумеется, вычисление средней четности данного состояния по квантовомеханической
формуле приводит к тому же результату. Предоставляем слушателям самостоятельно в этом
убедиться. Вероятности различных значений четности и средняя четность от времени не
зависят, так как оператор Гамильтона и оператор четности коммутируют.
В том, что средняя четность не зависит от времени можно убедиться и непосредственно.
Для этого нужно построить волновую функцию осциллятора в любые моменты времени по
5
начальной волновой функции (20) (используя формулу для общего решения временного
уравнения Шредингера) а затем вычислить среднюю четность по квантовомеханической
формуле для средних. Предлагаем слушателям проделать эти вычисления самостоятельно.
6