Программа курса (pdf

Равновесная статистическая механика
Программа курса теоретической физики для студентов
экономических специальностей, VII семестр
1. Векторная (дираковская) формулировка квантовой механики. Вектор состояния, пространство состояний, операторы. Основные постулаты, базисные векторы, волновая функция. Уравнение Шрёдингера. Оператор эволюции. Представления Шрёдингера и Гайзенберга. Представления операторов. Уравнение Шрёдингера в произвольном представлении.
2. Гамильтониан системы. Скобки Пуассона. Квантовые скобки Пуассона
(коммутатор). Квантование.
3. Одномерный гармонический осциллятор как одна из точно решаемых моделей. Когерентные состояния. Распределение Пуассона.
4. Статистическое описание квантовых систем. Чистые и смешанные состояния. Матрица плотности ρ (статистический оператор). Представления матрицы плотности. Уравнение Лиувилля. Представление взаимодействия. Ряд теории возмущений. Пропагатор. Понятие открытых систем и
их эволюции.
5. Представления матрицы плотности. Функция Вигнера и ее свойства. Функции Хусими, Сударшана-Глаубера. Томографическая вероятность. Звездочное умножение функций, интегральное ядро звездочного умножения.
6. Функция Грина. Временная функция Грина как матричный элемент оператора эволюции. Представление функции Грина как собственной функции интеграла движения. Функция Грина свободной частицы и осциллятора.
7. Функция Грина стационарного уравнения Шрёдингера и ее связь с временной функцией Грина. Временная функция Грина и температурная
матрица плотности.
8. Квантовые методы в анализе временных и пространственных сигналов.
Фурье-анализ, вэйвлет-анализ сигналов. Функция Вилле-Вигнера. Аналитический сигнал как аналог волновой функции. Томограмма аналитического сигнала.
1
9. Вероятностное представление состояния с использованием плотности вероятности вместо волновой функции. Интегральная связь между различными представлениями аналитических сигналов.
10. Системы тождественных частиц. Ферми- и бозе-частицы. Описание систем тождественных частиц. Представление чисел заполнения (вторичное
квантование), операторы рождения и уничтожения.
11. Статистические ансамбли (микроканонический, канонический, большой
канонический). Статистические гипотезы, равновесные рапределения. Статистическое определение энтропии. Функция распределения и ее связь с
матрицей плотности. Распределение Гиббса. Распределение Ферми и Бозе. Парастатистика.
ЗАДАНИЕ
1. Используя свойство оператора трансляции Tba |ri = |r + ai, получить его
выражение в координатном представлении.
2. Построить операторы для физических величин:
a) xpx ; b) x2 px ;
c) pr; d) p2 r.
3. Для когерентного состояния одномерного гармонического осциллятора
|αi получить вероятность wn нахождения его в состоянии с энергией En =
~ω(n + 1/2). Найти значение энергии когерентного состояния.
4. Показать, что система когерентных состояний гармонического осциллятора полна.
5. N молекул идеального газа находятся в объеме V. Определить вероятность того, что в объеме v < V находится n молекул. Получить приближенное выражение, когда v ¿ V (распределение Пуассона). Найти
среднее число частиц n в объеме v, его среднюю, абсолютную и относительную флуктуации.
Найти вид распределения в случае v ¿ V, n À 1 (распределение Гаусса). (Воспользоваться формулой Стирлинга для вычисления n!)
6. Найти матрицу плотности ρ чистого состояния спина 1/2 с определенной
проекцией на ось z равной +1/2 и -1/2.
7. Найти матрицу плотности ρ чистого состояния спина 1/2 с определенной проекцией на ось x равной +1/2 и -1/2. Вычислить квадрат и след
квадрата матрицы плотности (параметр чистоты состояния).
8. Вычислить параметр чистоты для смешанного состояния спина 1/2 представляющего равновероятную смесь состояний с проекциями на ось z равными ±1/2.
2
9. Вычислить средние значения и дисперсии проекций спина 1/2 на оси
x, y, z для состояний из предыдущих задач 6) – 8).
10. Определить матрицу плотности чистых состояний одномерного гармонического осциллятора находящегося в основном и в первом возбужденном
состоянии в координатном и импульсном представлении. Вычислить квадраты и параметр чистоты этих матриц плотности в обоих представлениях.
11. Найти матрицу плотности смешанного состояния одномерного гармонического осциллятора представляющего собой равновероятную смесь основного и первого возбужденного состояний в координатном и импульсном
представлении. Вычислить параметр чистоты и энтропию этого состояния.
12. Вычислить средние значения и дисперсии координаты, импульса и энергии осциллятора для состояния из предыдущей задачи 11).
13. Вычислить функцию Вигнера основного и первого возбужденного состояний одномерного гармонического осциллятора.
14. Вычислить функцию Вигнера и матрицу плотности основного и первого возбужденного состояний одномерного гармонического осциллятора в
координатном и импульсном представлении при конечной температуре T.
15. Вычислить средние значения и дисперсии координаты, импульса и энергии осциллятора для состояния из предыдущей задачи двумя способами:
с помощью функции Вигнера и матрицы плотности в координатном представлении.
16. Вычислить функцию Хусими основного и первого возбужденного состояний одномерного гармонического осциллятора.
17. Вычислить преобразование Радона-томограмму (томографическую плотность вероятности) основного и первого возбужденного состояний одномерного гармонического осциллятора.
18. Найти томограмму когерентного состояния одномерного гармонического
осциллятора. Используя обратное преобразование Радона, восстановить
функцию Вигнера когерентного состояния по его томограмме.
19. Найти преобразование Фурье и вычислить функцию Вилле-Вигнера гауссова аналитического сигнала.
20. Вычислить вэйвлет-преобразование когернтного состояния осциллятора
и его аналога – гаусcова аналитического сигнала.
21. Вычислить P -функцию Глаубера-Сударшана когерентного состояния осциллятора.
3
22. Найти производящую функцию для моментов томографической функции
представления (томограммы), полученной в задаче 17). Вычислить сами
моменты.
23. Вычислить томограммы для спиновых состояний спина 1/2 из задач 6) и
7).
24. Вычислить редуцированную матрицу плотности смешанного состояния
одного осциллятора, рассматривая его как подсистему системы двух осцилляторов, находящихся в состоянии сжатого вакуума.
25. Найти зависящие от времени интегралы движения свободной частицы и
гармонического осциллятора, совпадающие в начальный момент времени,
соответственно, с координатой и импульсом.
26. Используя интегралы движения из задачи 25), получить функцию Грина
для осциллятора в координатном представлении.
27. Найти пропагатор (функцию Грина) осциллятора для функции Вигнера.
28. Найти пропагатор (функцию Грина) осциллятора для томограммы.
29. Найти наиболее вероятное распределение по состояниям системы N (N À
1) невзаимодействующих Ферми-частиц с минимальной энергией. Использовать метод неопределенных множителей Лагранжа.
30. Та же задача для системы N Бозе-частиц.
Программу и задание
составили:
проф. Ю. М. Белоусов
проф. В. И. Манько
4