В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

ГОТОВИМСЯ к ЕГЭ
Практикум
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Задание В5. Простейшие уравнения
1. Решите
уравнение
cos
𝜋(𝑥−7)
3
1
= .
В
2
ответе
запишите
наибольший
отрицательный корень.
2. Решите уравнение cos
𝜋(2𝑥−1)
4
=
√2
.
2
В ответе запишите наибольший
=
√3
.
2
В ответе запишите наибольший
отрицательный корень.
3. Решите уравнение cos
𝜋(8𝑥+1)
6
отрицательный корень.
4. Решите
уравнение
tg
𝜋𝑥
= −1.
4
В
ответе
запишите
наибольший
отрицательный корень.
𝜋(𝑥+2)
5. Решите уравнение tg
= −√3. В ответе запишите наибольший
3
отрицательный корень.
𝜋(𝑥−6)
6. Решите уравнение tg
6
=−
1
√3
. В ответе запишите наименьший
положительный корень.
7. Решите уравнение sin
π(4𝑥−3)
4
= 1. В ответе запишите наибольший
отрицательный корень.
8. Решите уравнение sin
π(4𝑥+1)
6
=−
√3
.
2
В ответе запишите наименьший
положительный корень.
9. Решите уравнение sin
π(8x+5)
4
=
√2
.
2
В ответе запишите наибольший
отрицательный корень.
10.Решите уравнение sin
π(2𝑥−3)
положительный корень.
6
= −0,5.
В ответе запишите наименьший
Задание В7. Нахождение значений выражений
𝜋
𝜋
1. Найдите значение выражения 16√6𝑡𝑔 sin .
6
𝜋
4
𝜋
2. Найдите значение выражения 27√3cos⁡(− )sin(− ).
6
2
0
0
3. Найдите значение выражения 15 cos 120 ⁡sin 150 .
4. Найдите значение выражения 37 √2 sin(−10350 ).
5. Найдите значение выражения −4√3⁡sin(−7800 ).
6. Найдите значение выражения −4√3⁡cos(−7500 ).
7. Найдите значение выражения −17√3⁡tg(10500 ).
8. Найдите значение выражения 44√3⁡tg(−4800 ).
9. Найдите значение выражения
10.Найдите значение выражения
11.Найдите значение выражения
12.Найдите значение выражения
13.Найдите значение выражения
8
.
27𝜋
31𝜋
sin(− 4 ) cos( 4 )
5 cos 290
.
sin 610
14 sin 190
.
sin 3410
−4 cos 260
cos 154 0
5𝑡𝑔⁡1630
.
.
𝑡𝑔⁡170
14.Найдите значение выражения −19𝑡𝑔1010 ⁡𝑡𝑔1910 .
15.Найдите значение выражения
16.Найдите значение выражения
17.Найдите значение выражения
12
𝑠𝑖𝑛2 370 +⁡𝑠𝑖𝑛2 1270
−20
𝑠𝑖𝑛2 430 +⁡𝑐𝑜𝑠 2 2230
12 sin 110 ⁡cos 110
sin 220
13𝜋
18.Найдите значение выражения 2√2cos⁡
19.Найдите значение выражения √3𝑐𝑜𝑠
20.Найдите значение выражения
21.Найдите значение
8
2 5𝜋
sin
13𝜋
8
12
23(𝑠𝑖𝑛2 250 −⁡𝑐𝑜𝑠 2 250 )
23.Найдите ⁡5 sin ∝, если⁡ cos ∝⁡= ⁡
2√6
⁡и⁡
5
3√11
24.Найдите ⁡cos 𝛼 , если⁡ sin α = ⁡ −⁡
2
10
5𝜋
2
4 sin 𝛼+cos 𝛼+3
⁡.
.
; 2𝜋).
⁡и⁡𝛼 ∈ (1,5𝜋; 2𝜋).
+ 𝛼) , если⁡ cos 𝛼 = ⁡ −⁡
2 cos 𝛼+8 sin 𝛼+6
12
− ⁡ √27.
12
3𝜋
∝⁡∈ (
5𝜋
.
26.Найдите 24 cos 2𝛼, если⁡ sin 𝛼 = ⁡ −0,2.
27.Найдите
.
− √3𝑠𝑖𝑛2
22.Найдите значение выражения √3 − ⁡ √12𝑠𝑖𝑛2
7𝜋
.
.
cos 500
23𝜋
выражения √108𝑐𝑜𝑠 2
12
25.Найдите ⁡⁡−13 cos (
.
, если⁡𝑡𝑔⁡𝛼 = ⁡ −0,25.
5
13
⁡и⁡𝛼 ∈ (𝜋; 1,5𝜋).
Задание В11. Задачи прикладного содержания
1. Мяч бросили под углом к плоской горизонтальной поверхности земли.
Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле
. При
каком наименьшем значении угла (в градусах) время полeта будет не
меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью
м/с? Считайте, что ускорение свободного падения
м/с .
2. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на
неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена
в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы
Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н м) определяется формулой
, где
– сила тока в рамке,
Тл – значение
индукции магнитного поля,
м – размер рамки,
– число витков
провода в рамке, – острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка
может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Н м?
3. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал,
который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со
временем по закону
, где – время в секундах, амплитуда
В, частота
/с, фаза
. Датчик настроен так, что если
напряжение в нeм не ниже чем В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы
лампочка будет гореть?
4. Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом
Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет
м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное
поле, вектор индукции которого лежит в той же плоскости и составляет
угол с направлением движения шарика. Значение индукции
поля
Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная
(Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При
каком наименьшем значении угла
шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем
Н? Ответ
дайте в градусах.
5. Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной
поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в
метрах, определяется формулой
, где
м/с – начальная скорость мячика, а – ускорение свободного падения (считайте
м/с ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик пролетит
над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?
6. Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной
поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по
формуле
(м), где
м/с – начальная скорость мячика, а –
ускорение свободного падения (считайте
м/с ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?
7. Плоский замкнутый контур площадью
м находится в магнитном
поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону
электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции,
значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой
, где – острый угол между направлением магнитного поля и
перпендикуляром к контуру,
Тл/с – постоянная, – площадь за-
мкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м ). При каком минимальном угле (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать
В?
8. Трактор тащит сани с силой
кН, направленной под острым углом к
горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной
м вычисляется по формуле
. При каком максимальном угле (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?
9. Трактор тащит сани с силой
кН, направленной под острым углом к
горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости
м/с
равна
. При каком максимальном угле (в градусах) эта мощность будет не менее 75 кВт?
10.При нормальном падении света с длиной волны
нм на дифракционную решeтку с периодом нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума связаны соотношением
. Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?
11.Два тела массой
кг каждое, движутся с одинаковой скоростью
м/с под углом друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их
абсолютно неупругом соударении определяется выражением
.
Под каким наименьшим углом (в градусах) должны двигаться тела,
чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
12.Катер должен пересечь реку шириной
м и со скоростью течения
м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он
может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением
, где – острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким
минимальным углом (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было
не больше 200 с?
13.Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью
м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со
скоростью
(м/с), где
кг – масса скейтбордиста со скейтом, а
кг – масса платформы. Под каким максимальным углом (в
градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25
м/с?
14.Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по
закону
, где – время в секундах. Кинетическая энергия груза
вычисляется по формуле
, где – масса груза (в кг), – скорость груза
(в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала
движения кинетическая энергия груза будет не менее
Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
15.Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону
(см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды
скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Задание В14. Исследование функций
1. Найдите
точку
максимума
функции
𝑦 = ⁡ (2𝑥 − 3) cos 𝑥 − ⁡2 sin 𝑥 + 5,
𝜋
принадлежащую промежутку (0;⁡ ).
2
2. Найдите
точку
минимума
𝑦 = ⁡ (0,5 − 𝑥) cos 𝑥 + sin 𝑥,
функции
𝜋
принадлежащую промежутку (0;⁡ ).
2
3. Найдите
наименьшее
9⁡на⁡отрезке⁡ [−
4. Найдите
3𝜋
2
значение
функции
𝑦 = 7 sin 𝑥 − 8𝑥 +
; 0].
наименьшее
значение
функции
𝑦 = 9 cos 𝑥 + 14𝑥 +
значение
функции
𝑦 = 4 cos 𝑥 − 20𝑥 +
значение
функции
𝑦 = 9 cos 𝑥 + 15𝑥 −
значение
функции
𝑦 = 7 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +
3𝜋
7⁡на⁡отрезке⁡ [0;⁡ ].
2
5. Найдите
наибольшее
3𝜋
7⁡на⁡отрезке⁡ [0;⁡ ].
2
6. Найдите
наибольшее
4⁡на⁡отрезке⁡ [−
7. Найдите
3𝜋
2
; 0]⁡.
наименьшее
17⁡на⁡отрезке⁡ [−
2𝜋
3
27
𝜋
𝑥+
; 0].
8. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 12 cos 𝑥 + 6√3𝑥 − 2√3𝜋 +
𝜋
+⁡6⁡на⁡отрезке⁡ [0;⁡ ].
2
9. Найдите
наименьшее
значение
функции
𝑦 = 4 +⁡
4√3𝜋
3
− ⁡4√3⁡𝑥 −
𝜋
−⁡8 cos 𝑥⁡ ⁡на⁡отрезке⁡ [0;⁡ ].
2
10.Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 12 sin 𝑥 − 6√3⁡𝑥 + ⁡ √3⁡𝜋 +
𝜋
+⁡6⁡на⁡отрезке⁡ [0;⁡ ]⁡.
2
11.Найдите
наименьшее
значение
функции
𝑦 = 3 −⁡
5𝜋
4
+ ⁡5𝑥 −
𝜋
5√2⁡sin 𝑥 ⁡на⁡отрезке⁡ [0;⁡ ].
2
12.Найдите
наименьшее
𝜋
𝜋
4
4
значение
𝑦 = 4𝑡𝑔𝑥 − 4𝑥 − ⁡𝜋 +
функции
5⁡на⁡отрезке⁡ [− ;⁡ ].
13.Найдите
наибольшее
значение
функции
𝑦 = 3𝑥 − 3𝑡𝑔𝑥 −
𝜋
5⁡на⁡отрезке⁡ [0;⁡ ].
4
14.Найдите
наибольшее
𝜋
𝜋
3
3
+12⁡⁡на⁡отрезке⁡ [− ;⁡ ].
значение
функции
𝑦 = 10𝑥 − 5𝑡𝑔𝑥 − 2,5𝜋 +
Задание С1 Тригонометрические уравнения
1. 2𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 + 7𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 4 = 0
2. 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 5𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4 = 0
3. 3𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 + 7𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3 = 0
1
4. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − ⁡ = 0
4
5.
6.
7.
8.
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0
𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
9. 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥
10. 𝑐𝑜𝑠5𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ⁡ −2𝑐𝑜𝑠3𝑥
11.⁡𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛7𝑥 = ⁡ √3𝑠𝑖𝑛2𝑥
12.⁡𝑠𝑖𝑛𝑥 − ⁡ √2𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5𝑥 = 0
13.⁡𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ⁡ √
3
2
14.⁡𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = ⁡ −1
15.⁡√3𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 1
16.⁡√3𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = ⁡ √3
17.⁡𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
18. 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + ⁡ 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 = ⁡ 𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 + ⁡ 𝑠𝑖𝑛2 4𝑥
𝑥
3𝑥
5
4
5
19. 𝑐𝑜𝑠 2 + ⁡ 𝑐𝑜𝑠 2
− ⁡ 𝑠𝑖𝑛2
2𝑥
5
20.⁡5𝑠𝑖𝑛 𝑥 − ⁡ 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = ⁡ 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥
− ⁡ 𝑠𝑖𝑛2
4𝑥
5
=0
Ответы
Задание В5. Простейшие уравнения
1. -4
2. -3
3. -0,25
4. -1
5. -3
6. 5
7. -0,75
8. 1,75
9. -0,25
10. 1
Задание В7. Нахождение значений выражений
1. 16
2. -40,5
3. -3
4. 37
5. 6
6. -6
7. 17
8. 132
9. -16
10. 5
11. -14
12. 4
13. -5
14. 19
15. 12
16. -20
17. 6
18. -1
19. -1,5
20. -23
21. 4,5
22. -1,5
23. -1
24. 0,1
25. 12
26. 22,08
27. 2
Задание В11. Задачи прикладного содержания
1. 30
2. 30
3. 50
4. 30
5. 30
6. 15
7. 60
8. 60
9. 60
10. 30
11. 60
12. 45
13. 60
14. 0,5
15. 0,67
Задание В14. Исследование функций
1. 1,5
2. 0,5
3. 9
4. 16
5. 11
6. 5
7. -4,5
8. 12
9. 0
10. 12
11. -2
12. 1
13. -5
14. 7
ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Основные
тригонометрические
тождества
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + ⁡ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶⁡ = 𝟏
𝒕𝒈𝜶 = ⁡
𝒄𝒕𝒈𝜶 = ⁡
𝒔𝒊𝒏𝜶
𝒄𝒐𝒔𝜶
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝜶
=⁡
𝒕𝒈𝜶
𝒔𝒊𝒏𝜶
𝝅
𝟔
𝝅
𝟒
𝝅
𝟑
𝟑𝟎𝟎
𝟒𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟎
𝒔𝒊𝒏𝜶
√𝟐
𝟐
√𝟑
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜶
√𝟑
𝟐
√𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
√𝟑
𝟑
1
√𝟑
1
√𝟑
𝟑
𝒄𝒕𝒈𝜶
√𝟑
𝟏 + ⁡ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶
𝒄𝒐𝒔 𝜶 = ⁡
𝟐
𝟐
Сумма и разность тригонометрических
функций
𝟏
𝟐
𝒕𝒈𝜶
𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶⁡𝒄𝒐𝒔𝜶
𝟏 − ⁡ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶 = ⁡
𝟐
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 = ⁡ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 − ⁡ 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶
Таблица значений
тригонометрических
функций
𝜶
Формулы двойного угла
Формулы
понижения
степени
𝒔𝒊𝒏𝜶 + 𝒔𝒊𝒏𝜷 = 𝟐𝒔𝒊𝒏
𝜶+𝜷
𝜶−𝜷
𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝟐
𝒔𝒊𝒏𝜶 − 𝒔𝒊𝒏𝜷 = 𝟐𝒔𝒊𝒏
𝜶−𝜷
𝜶+𝜷
𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝟐𝒄𝒐𝒔
𝜶+𝜷
𝜶−𝜷
⁡𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝜷 = ⁡ −𝟐𝒔𝒊𝒏
𝜶+𝜷
𝜶−𝜷
𝒔𝒊𝒏
𝟐
𝟐
Формулы сложения
𝒔𝒊𝒏⁡(𝜶 + ⁡𝜷) = 𝒔𝒊𝒏𝜶⁡𝒄𝒐𝒔𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝜶⁡𝒔𝒊𝒏𝜷
𝒔𝒊𝒏⁡(𝜶 − ⁡𝜷) = 𝒔𝒊𝒏𝜶⁡𝒄𝒐𝒔𝜷 − 𝒄𝒐𝒔𝜶⁡𝒔𝒊𝒏𝜷
𝒄𝒐𝒔⁡(𝜶 + 𝜷) = 𝒄𝒐𝒔𝜶⁡𝒄𝒐𝒔𝜷 − 𝒔𝒊𝒏𝜶⁡𝒔𝒊𝒏𝜷
𝒄𝒐𝒔⁡(𝜶 − 𝜷) = 𝒄𝒐𝒔𝜶⁡𝒄𝒐𝒔𝜷 + 𝒔𝒊𝒏𝜶⁡𝒔𝒊𝒏𝜷