Вариант 1. Решение

ВАРИАНТ 1
№1 (1 балл)
Автомобиль приводится в движение двигателем, который соединяется с
ведущими колёсами при помощи трансмиссии, обычно состоящей из
сцепления, коробки передач и системы раздаточных валов и шарниров.
Сцепление позволяет отсоединять двигатель от коробки передач, что
облегчает её переключение. Диск сцепления, соединённый с первичным валом
коробки передач прижимается к маховику двигателя мощными пружинами,
что позволяет передавать крутящий момент в последующие элементы
трансмиссии. По мере износа диска сцепления сила его прижатия к маховику
уменьшается, и сцепление начинает пробуксовывать. На каких оборотах
двигателя  высоких или низких  следует двигаться, чтобы добраться до
ближайшей станции техобслуживания с заданной скоростью?
 Если скорость автомобиля задана, значит, задана механическая
мощность движения автомобиля. Это полезная мощность, снимаемая с
выхода трансмиссии
 Мощность на выходе трансмиссии прямо пропорциональна мощности,
подаваемой на вход трансмиссии. Коэффициентом пропорциональности
здесь выступает КПД трансмиссии, который по условию не меняется. Таким
образом, задание выходной мощности задаёт мощность на входе
трансмиссии.
 Мощность на входе трансмиссии  это мощность, снимаемая
прижимным диском с маховика двигателя. Она равна механической
мощности диска, которая, в свою очередь, равна произведению силы,
действующей на диск со стороны маховика в направлении движения диска,
на его скорость. Это сила трения: либо сцепления, либо скольжения. Если
имеет место пробуксовка, то это  сила трения скольжения
Fтр.ск.  N .
Изношенный диск прижимается к маховику с меньшей силой, значит, сила
нормального давления N уменьшается по мере износа диска, а вот
коэффициент трения не увеличивается. Следовательно, сила трения,
действующая на диск, уменьшается. Для того чтобы её мощность осталась
неизменной, нужно увеличивать скорость, то есть, поднимать обороты
двигателя. Поэтому ехать нужно на высоких оборотах.
№2 (2 балла)
Идеальный газа совершает цикл, указанный на рисунке.
Процесс 12  изотерма; процесс 23  изобара; процесс
31  адиабата. Объём V2=10-3 м3; объём V3=410-3 м3.
Чему равен КПД цикла?
p
2
3
1
V
V2 V3
 Цикл в осях  p,V  «завёрнут» по часовой стрелке, поэтому это цикл
теплового двигателя. Следовательно, искомый КПД определяется по
формуле
 1
Qх
,
Qн
где Qí  тепло, полученное газом в цикле, Q х  тепло, отданное газом в
цикле, в арифметической записи ( Qн  0; Qх  0 ).
 Термодинамическое тепло процесса 12
V2
, так как это изотерма с температурой T12 .
V1
Обозначим давление изобары 23 p23 . Тогда по уравнению МенделееваQ12  A12  RT12 ln
Клапейрона для состояния 2:
RT12  p23V2  Q12  p23V2 ln
V2
 0,
V1
следовательно, в этом процессе газ отдаёт тепло, то есть,
V1
V2
 Для определения Q х нужно выразить объём V1 через объёмы V2 и V3 .
Qх  Q12  p23V2 ln
Запишем уравнение адиабаты 31 и изотермы 12 соответственно:
p1V1  p23V3
p1V1  p23V2 .
Поделим верхнее уравнение на нижнее почленно:
 1
V1
1 /  1
V3
V 
V
 1

 V1
 V3 1  3  V1  V3   3 
V2
V2
 V2 
Тогда тепло, отданное холодильнику,
.
11 /  1
 V  V 1 /  1 


V
  p V ln 3 
Qх  p23V2 ln 3   3 

23 2 

 V2  V2 

V
 2


V
V

i2
 p23V2 
 ln 3 
 p23V2  ln 3 ,
  1 V2
2
V2
где i  количество степеней свободы молекулы.
 Процесс 31  адиабата  тепло Qн газ получает в процессе 23.
 Тепло, полученное от нагревателя:
Qн  Q23  С p T3  T12  
i2
RT3  T12 
2
по определению теплоёмкости процесса и в соответствие уравнению
Майера. Раскроем скобки и применим уравнение Менделеева-Клапейрона:
Qн 
i2
RT3 RT12   i  2  p23V3  p23V2   i  2  p23 V3  V2 .
2
2
2
 Выразим КПД цикла:
  1
i 2
Qх
V  i 2

 1  
 p23V2  ln 3  /
 p23 V3  V2  
Qн
V2   2

 2
V
V2
1
 1
 ln 3  1 
 ln 4  0,53 .
V3  V2
V2
4 1
№3 (2 балла)
Металлический шар массой 20 г радиусом 1 см, несущий на себе заряд,
равный 10 мкКл удерживается в центре проводящей заземлённой
закреплённой сферы радиусом 0,5 м. Какую скорость приобретёт шар после
того, как его отпустят, и он достигнет стенки сферы? Сила тяжести
отсутствует.
Шар в центре сферы находится в состоянии неустойчивого
равновесия, поэтому при отпускании не сможет удержаться в центре подобно
тому, как гладкий предмет не сможет удержаться на вершине гладкой
полусферы.
 Изобразим механические состояния системы проводников в начале
движения шара (I) и при подлёте к стенке сферы (II), включая состояния
зарядов и электростатического поля.
q


q
II
I
Заряд на заземлённой сфере равен заряду внутри сферы, взятому с
противоположным знаком. Следовательно, электростатическое поле за
пределами сферы отсутствует. Поскольку в первом состоянии шар и сфера
коаксиальны, поле внутри сферы является полем шара. При подлёте шара к
стенке сферы заряд шара и его изображение в сфере находятся практически в
одной точке и компенсируют друг друга. В результате поле внутри сферы
исчезает, а значит, исчезает потенциальная энергия системы. Так как на тела
системы действуют только электростатические сил, которые являются
консервативными, механическая энергия сохраняется и исчезнувшая
потенциальная энергия равна кинетической.
m 2
 W I 
2
 Энергию состояния I мы найдём как разность энергий уединённого
заряженного шарика и уединённой заряженной сферы, вычислив каждую по
q2
формуле
:
2C
q
q
q
q2
q2
q2
q2
W I  




2  4 0 R1 2  4 0 R2 8 0 R1 8 0 R2
q 2 R2  R1 kq 2 R2  R1
.




8 0 R1R2
2
R1R2
Здесь R1  радиус шара, R2  радиус сферы.
 Подстановка в закон сохранения энергии даёт уравнение:
m 2 kq 2 R2  R1



2
2
R1 R2
9
2
k R2  R1 
5 9 10 50  1 10
 10
 21 10  66,4 м/с 
 q
mR1 R2
2 10  2 10  2  0,5
 Потенциальную энергию первого состояния W I  можно получить,
исходя из формулы энергии конфигурации проводников:
1N
W   qii ,
2 i
где qi и i  заряд и потенциал i-го проводника соответственно.
В нашей системе 2 проводника, потенциал заземлённой сферы равен
0, поэтому
W I  
q
;
2
q  заряд шара,   его потенциал, когда он находится в центре сферы. По
принципу суперпозиции
   R1    q R1    q R1  .
Здесь
 q R1  
 q R1   
kq
 потенциал, созданный зарядом шара на самом шаре;
R1
kq
 потенциал, созданный зарядом заземлённой сферы на
R2
шаре в её центре. В результате,

R  R1
kq kq
.

 kq  2
R1 R2
R1R2
Следовательно,
kq 2 R2  R1
W I  

2
R1 R2
№4 (5 баллов)
Парусная яхта движется относительно воды со скоростью 0=21,6 км/час.
Ветер дует со скоростью =36 км/час относительно воды под углом =60
к курсу судна. Вертикальный парус яхты, который можно рассматривать
как твёрдую поверхность площадью S=24 м2, сориентирован так, что угол 
между его поверхностью и курсом яхты равен 30. Считая взаимодействие
воздуха и паруса упругим, определить силу, с которой ветер действует на
парус. Температура воздуха t=20C, атмосферное давление p=105 Па,
молярная масса воздуха =29 г/моль.
Дано:
0=21,6 км/час
=36 км/час
=60
Рисунок-условие (вид
сверху)

0
S=24 м2
=30
t=20C
p=105 Па
=29 г/моль




Fветра=?
Будем рассматривать воздух, как совокупность одинаковых частиц
массой m0 каждая, которые двигаются относительно воды с одинаковыми

скоростями  . Не очень корректно считать эти частицы молекулами, потому
что невозможно добиться, чтобы все молекулы двигались с одинаковыми
скоростями. Частицы воздуха  это одинаковые, очень малые по размеру по
сравнению с парусом части воздушной среды. Те из них, которые
сталкиваются с парусом, упруго от него отскакивают и передают ему
импульс. Поэтому, конечно, тема этой задачи  упругое соударение частицы
и поверхности.

За промежуток времени dt о поверхность паруса ударяется
определённое количество частиц dN. Количество частиц, попадающее на
поверхность в единицу времени называется потоком частиц через эту
поверхность. Мы будем обозначать поток частиц символом JN
JN 
dN
dt
Все частицы одинаковы, и одинаковы их удары о поверхность.
Поэтому и передача импульса поверхности при каждом ударе тоже
одинакова. Обозначим импульс, который получает поверхность при одном

ударе, p0 . Тогда при ударе dN частиц поверхность приобретает импульс


dPпов  p0  dN
С одной стороны, импульс, переданный поверхности в единицу времени,
называется потоком импульса через поверхность.

J P 
dPпов
dt
С другой стороны,  это скорость изменения импульса поверхности. А по
закону изменения импульса мы знаем, что скорость изменения импульса
равна силе. То есть, сила, действующая на поверхность  это поток импульса
через эту поверхность

Fветра  J P
Подставим в определение потока импульса выражение передачи
импульса со стороны dN частиц:

d
P

p
 dN
 dN

J P  ïîâ  0
 p0 
 p0  J N .
dt
dt
dt
Итак, мы будем искать ответ задачи, опираясь на формулу:



Fветра  p0  J N  Fветра  p0  J N

Конечно, поверхность паруса по умолчанию нужно считать
гладкой. Поэтому следует применять правило «угол падения равен углу
отражения» и стандартную формулу модуля передачи импульса при упругом
ударе.
Только один существенный момент: это всё справедливо в системе
отсчёта, где поверхность неподвижна. Поскольку в классической механике
сила абсолютна, безразлично, в какой системе отсчёта её находить. В системе
паруса это сделать легко, поэтому, прежде чем приступить к расчётам
передачи импульса при упругом ударе и потока частиц, нужно перейти в
систему отсчёта «парус». Очевидно, что в ситуации относительности,
которую мы имеем, роль «тела» принадлежит воздуху; второстепенный
наблюдатель  это яхта, парус. Основной наблюдатель  вода.

Обозначим скорость ветра относительно паруса символом   и
запишем закон относительности скорости Галилея:
  
  
     0       0
Изобразим векторную диаграмму последнего равенства

 0




И отсюда видно, что парус имеет дело не с тем ветром, который дует со


скоростью  , а с тем, который дует со скоростью   . Яхтсмены называют
этот ветер вымпельным, а ветер относительно воды  истинным.

0





И угол падения вымпельного ветра на парус совсем не тот, что у истинного.
Отметим на рисунке угол падения вымпельного ветра на парус.

 p0




При упругом ударе направление передачи импульса поверхности
определяет поверхность, потому что передача перпендикулярна поверхности
и направлена внутрь поверхности. А её модуль определяется по формуле:

p0  2m0   cos 
Пытаться раскрывать сейчас модуль  и косинус , было бы
опрометчиво. В дальнейшем мы поймём почему.

А теперь перейдём к выводу выражения потока частиц.
Изобразим в пространстве паруса коридор, заполненный в данный
момент времени частицами воздуха, которые когда-нибудь в будущем
столкнутся с парусом. Коридор представляет собой полубесконечную
объемную фигуру с парусом в роли основания и с боковыми стенками,

параллельными скорости   . Остальной воздух либо уже пролетел мимо
паруса, либо пролетит мимо него в будущем.
Теперь в коридоре выделим объём, в данный момент заполненный
частицами воздуха, которые успеют столкнуться с парусом в течение
ближайшего промежутка времени dt. Очевидно, что граница внутри
коридора, отделяющая успевающие частицы от неуспевающих, будет
находиться на расстоянии    dt от паруса вдоль по стенкам коридора.
Обозначим выделенный объём dV .
Опустим высоту h объёма dV на парус как на основание. Понятно,
что угол между проведённой высотой и стенкой коридора  это угол падения
вымпельного ветра . В получившемся на рисунке прямоугольном
треугольнике высота объёма h является прилежащем к углу  катетом. А
гипотенузой  расстояние    t . Следовательно,
h    t  cos


S
h
V

   t
Вспомним, что площадь паруса равна S. Как и у любой
плоскопараллельной фигуры, объём V равен произведению площади
основания на высоту.
V  S  h  S    dt  cos .
Вспомним понятие концентрации. Она традиционно обозначается
латинской строчной буквой n.
n
dN
dV
Отсюда следует, что количество частиц в объёме dV
dN  n  dV  n  S    dt  cos .
Теперь из определения потока частиц легко получить его выражение:
JN 
dN n  S    dt  cos 

 J N  n  S     cos 
dt
dt

Итак, мы получили выражения обоих сомножителей в выражении
силы ветра:

Fветра  p0  J N

p0  2m0   cos 
J N  n  S     cos 
Только выражено всё через скорость и угол падения вымпельного ветра, а в
условии задачи все данные касаются истинного. И, если мы не хотим
погрязнуть в трясине геометрических соотношений, необходимо вспомнить,
что площадь  это вектор. Вектор площади перпендикулярен поверхности.
При этом для частицы, налетающей на поверхность, вектор площади
направлен внутрь поверхности.
Теперь вернёмся к рисунку-условию.

S


0






Изобразим на нём вектор площади паруса и вектор скорости вымпельного
ветра. Из рисунка видно, что угол падения вымпельного ветра  это угол
между вектором площади паруса и вектором скорости вымпельного ветра.
Но тогда выражение S   cos равно скалярному произведению вектора
площади паруса на вектор скорости вымпельного
  ветра:
S    cos  S   .
Следовательно, поток частиц можно выразить так:

J N  n  S    cos   n  S   .
А модуль передачи импульса при одном ударе:
2m0
2m0  
S

p0  2m0  cos   2m0   cos  
S  cos  
S   .
S
S
S
В результате, получаем выражение силы ветра:
  2m0 n   2
2m0  

Fветра  p0  J N 
 S    n  S   
 S  
S
S


Во-первых, произведение концентрации частиц на массу одной
частицы равно массе, находящейся в единице объёма, то есть, плотности:
m0 n   
И тогда получаем, что
Fветра 
dm
.
dV
2   2
 S  
S



Плотность воздуха можно выразить из уравнения МенделееваКлапейрона, поскольку воздух при атмосферном давлении и при температуре
20С является идеальным газом:
p  dV 
dm

RT  p 
RT
dm RT
p

 p
 
.
dV 

RT
Абсолютная температура, как известно, на 273 градуса больше температуры
Цельсия:

p
Rt   273

Теперь вспомним, что скорость вымпельного ветра
  
     0 .
Следовательно,
    
   
S    S    0   S   S 0 .
Посмотрим на рисунок, где изображены три вектора: вектор площади паруса,
вектор скорости истинного ветра и вектор скорости яхты:
 /2-
S



0


 
Из рисунка видно, что угол между векторами S и  0
  
S ,  0    .
2
Значит,
 


S 0  S 0  cos     S 0  sin 
2

 
Угол между векторами S и 
 



S ,             .
2
2

Следовательно,
 


S   S   cos       S   sin     .
2

Теперь, наконец, у нас получилось выражение силы ветра:
Fветра
2      2 2 p
S   sin      S 0  sin  2 

 S   S 0  
S
S RT
2 p 2
 
 S   sin      0  sin  2 
S RT
p
 S   sin      0  sin  2 .
 Fветра  2 
Rt   273



Для получения численного ответа нужно не забыть все данные
задачи привести к единицам СИ:
=29 г/моль=2910 кг/моль; 0=21,6 км/час= 21,6 
103 м
-3
=36 км/час=
3,6 10 с
=6 м/с
36
м/с=10 м/с.
3,6
Теперь вычисляем:
Fветра
3
105  29 10 3
 2
 2410  sin 60  30  6  sin 302 
8,31 20  273
2  29  24 10 2

 10  32  2800 Н
8,31 293