Document 4235005

1
ЛЕКЦИЯ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ФУНКЦИЙ
8.1 Дробно-рациональные функции
Дробной рациональной функцией (рациональн о й д р о б ь ю ) называется функция вида
Pm ( x)
a0 x m  a1x m 1  ...  am 1x  am
f
(
x
)

f ( x) 
или
,
Q n ( x)
b0 x n  b1x n 1  ...  bn 1x  bn
где Pm (x) и Qn (x) - многочлены соответственно m -ой и n -ой степени
относительно x .
Рациональная дробь называется п р а в и л ь н о й , если степень
многочлена в числителе меньше степени многочлена знаменателя, т.е.
m  n ; в противном случае ( m  n ) рациональная дробь называется
неправильной.
P ( x)
Всякую неправильную рациональную дробь m
( m  n ) можно
Qn ( x )
представить в виде суммы многочлена M m n (x) и правильной дроби
R ( x)
с помощью деления многочлена Pm (x) на многочлен Qn (x) , т.е.
Qn ( x )
Pm ( x)
R( x)
.
 M mn ( x) 
Qn ( x)
Qn ( x)
Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в
виде суммы конечного числа п р о с т е й ш и х д р о б е й .
Типы простейших дробей:
A
1)
,
xa
A
(n  1, 2, 3, ...) ,
2)
( x  a) n
Mx  N
3) 2
,
x  px  q
Mx  N
4)
.
( x 2  px  q) n
p2
 q  0.
Здесь A, a, p, q, M , N - действительные числа, причем
4
8.2 Интегрирование простейших рациональных дробей
1)
A dx
 x  a  A
d ( x  a)
 A ln x  a  с
( x  a)
2
( x  a )  n 1
A
 A ( x  a ) d ( x  a )  A 
с
с
2) 
n
 n 1
( x  a)
(1  n)( x  a) n 1
A dx
n
( Mx  N ) dx
2
p
p2
( Mx  N )dx

 x  px  q   x   
q 

3)  2
2
2
2
4
x  px  q


p
p

x    q 
2
4

p
p
x t
xt
2
2 

2
p
dx  dt
q
 a2
4
p

M t    N
t dt
Mp 
dt
2



dt

M

N






2  t 2  a2
t 2  a2
t 2  a2 
Mp
N

M
2  arctg t  с 
 ln t 2  a 2 
2
a
a
Mp
p
N
x
M
2  arctg
2 с.

ln x 2  px  q 
2
p2
p2
q
q
4
4
p
x t
dx  dt
( Mx  N )
2
dx 

4)  2
p
p2
( x  px  q ) n
2
xt 
a q
2
4
Mp
M
dt

 (N 
)
.
n

1
2
2
2
2 n
2
21  n  t  a
t a

2







Пусть
In  
dt
,
n
 a2
тогда имеет место рекуррентная формула

1  2n  3
t
 , n  1.
I n  2 
I n 1 
a  2n  2
2(n  1)(t 2  a 2 ) n 1 
t
2

8.3 Разложение правильной рациональной дроби
на простейшие дроби
P( x)
. Пусть для
Q( x)
определённости знаменатель Q(x) разложен на множители в виде:
Рассмотрим правильную рациональную дробь
3
Q( x)  ( x  a) k  ( x  b) l  ( x 2  px  q) m ,
p2
 q  0 , тогда имеет место следующая теорема.
причём
4
Теорема. Всякую правильную дробь
P( x)
можно единственным
Q( x)
образом разложить в сумму простейших дробей:
Ak
Bl
A
A2
B1
B2
P( x)
 1 

...




...


Q( x ) x  a ( x  a ) 2
( x  a ) k x  b ( x  b) 2
( x  b) l
M m x  Nm
M x  N1
M x  N2
.
 21
 2 2

...

x  px  q ( x  px  q) 2
( x 2  px  q) m
где A1 , A2 ,, Ak , B1 , B2 ,, Bl , M 1 , N1 , M 2 , N 2 ,, M m , N m
- некоторые действительные числа.
Примеры разложения некоторых правильных рациональных дробей
на сумму простейших дробей:
x2  5
A
B
C



1)
,
( x  3)( x  2)( x  7) x  3 x  2 x  7
x3
A B
C
  2 
2) 2
,
x5
x ( x  5) x x
x3  1
A
B
Mx  N
3)
,


 2
2
2
2
( x  1) ( x  5) x  1 ( x  1)
x 5
3x 2  2 x  8
A
Mx  N
4)
,


( x  5)  ( x 2  x  1) x  5 x 2  x  1
x3  5
Mx  N
Ax  B
Cx  D
5) 2
.



( x  1)( x 2  2 x  2)2
x 2  1 x 2  2 x  2 ( x 2  2 x  2)2
Чтобы найти коэффициенты А, В, С , D, М , N в приведенных
примерах,
можно
воспользоваться
методом
неопределенных
коэффициентов.
8.4 Интегрирование рациональных дробей
При нахождении интегралов от рациональных дробей необходимо
придерживаться следующего правила, используя материал в пунктах 8.1 8.3.
1. Если рациональная дробь неправильная, то необходимо
представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби.
2. Разложить знаменатель правильной дроби на множители.
3. Представить правильную дробь в виде суммы простейших
рациональных дробей.
4. Проинтегрировать многочлен и сумму простейших дробей.
4
Пример 8.1. Найти интеграл

x 5  x 4  6x 3  2
x 3  4x 2  4x
dx .
Решение.
x  x 4  6 x3  2
5 4
3
3
2
 x3  4 x2  4 x dx  _ x -x -6x +2 x -4x +4x =
x5-4x4+4x3
x2+3x+2
_ 3x4-10x3+2
3x4-12x3+12x2
_ 2x3-12x2+2
2x3-8x2+8x
-4x2-8x+2
5
 2
 4 x 2  8x  2  x 3 3 2
2x 2  4x 1
 x  2 x  2
dx.
dx  
=   x  3x  2  3
2
2
x  4x  4x  3 2
x( x  2)

Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:
2 x2  4 x  1 A
B
C
 

2
x x  2 ( x  2)2
x( x  2)
Из равенства дробей следует равенство числителей
2
2 х 2  4 х  1  Ах  2  Вхх  2  Сх .
1
При x = 0 имеем  1  4 А , A  
4
15
x = 2 имеем 15  2С , С 
2
1
15
9
x = 1 имеем 5  А  В  С , 5    B  , B  .
4
4
2
Тогда
 1

2x2  4x  1
9
15
 x( x  2)2 dx     4 x  4( x  2)  2( x  2)2 dx 


1
9
15
  ln x  ln x  2 
 c.
4
4
2 ( x  2)
Следовательно,
x 5  x 4  6x 3  2
x3 3 2
1
9
15
 x 3  4 x 2  4 x dx  3  2 x  2 x  2 ln x  2 ln x  2  ( x  2)  c .
8.5 Интегрирование некоторых иррациональных функций


1. Интегралы вида  R  x,


m1
m2

n
ax

b
ax

b

 1 
 n2 

 ,
 , ... dx ,
 cx  d 
 cx  d 


5
где R x, y, z ,  - рациональная функция своих аргументов,
m1 , n1 , m 2 , n 2 ,  - целые числа,
сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки
ax  b
ts,
cx  d
m m
где s - наименьший общий знаменатель дробей 1 , 2 , 
n1 n 2


2. Интегралы вида  R x, ax 2  bx  c dx ,
где R - рациональная функция двух аргументов,
после выделения полного квадрата и замены переменной x 
b
u,
2a
приводятся к интегралам одного из следующих трёх типов:

2)  R u,
3)  R u,

 u du ,
 k du .
1)  R u, k 2  u 2 du ,
k2
2
2
u2
Последние интегралы можно найти с помощью соответствующих
подстановок:
1) u  k sin t ,
2) u  k tgt ,
k
3) u 
.
cost
dx
Пример 8.2. Найти 
.
x 3 x
Решение.
1

1
x  t6
dx
t 5dt
2 , x3
x


 6 3 2 
t t
x  3 x НОК (2,3)  6 dx  6t 5dt
1
t3
t+1
= 6 (t 2  t  1 
)dt 
 6
dt  _ t3
t 1
t 1
t3+t2 t2-t+1
_-t2
-t2-t
_t
t+1
-1
t3 t2

 6    t  ln t  1   c  t  6 x  2 x  3 3 x  6 6 x  6 ln 6 x  1  c .
2
3

6

Пример 8.3. Найти
1  х dx
.
1  х 1  х 2
Решение.

1  х dx

1  х 1  х 2
1 х
 t2,
1 х
x
1 t
2
1 t
2
,
dx  
2 2
2 2
2
1  t 
1 x 
1  t   4t dt   dt  1  c 
 
t t
1  t 
4t dt
2 2
2t
2

1 t2
1 x
 c.
1 x
8.6 Интегрирование тригонометрических выражений
1) Интегралы вида  sin m x  cosn x dx , где
а) m или n – нечётное положительное целое число.
Для интегралов такого вида используют подстановку:
sin x  t , если n – нечётное,
cos x  t , если m – нечётное.
б) m и n – чётные, неотрицательные числа.
Здесь надо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул:
1
1  cos2 x
1  cos 2 x
2
, cos x 
, sin x  cos x  sin 2 x .
sin 2 x 
2
2
2
в) m  n - чётное отрицательное целое число.
В этом случае подстановка tgx  t сводит интеграл к табличному.
2) Интегралы вида
 sin ax cos bx dx ,  cos axcosbx dx ,  sin axsin bx dx
находятся с помощью формул тригонометрии:
1
sin   cos  [sin(   )  sin(   )] ,
2
1
cos  cos  [cos(  )  cos(  )] ,
2
1
sin   sin   [cos(  )  cos(  )]
2
3) Интегралы вида  R(sin x, cos x)dx ,
где R – рациональная функция от sin x и cos x .
Интегралы этого вида сводятся к интегралам от рациональных функций с
помощью у н и в е р с а л ь н о й т р и г о н о м е т р и ч е с к о й п о д с т а новки
x
2t
2dt
1 t2
,
.
dx

tg  t , sin x 
cos
x

2
1 t2
1 t2
1 t2
7
4) Интегралы вида  tg n x dx ,  сtg n x dx ,
где n – целое положительное число.
При нахождении таких интегралов применяются соответственно
формулы
1
1
 1,
tg 2 x 
 1 , сtg 2 x 
2
cos x
sin 2 x
с помощью которых последовательно понижается степень тангенса или
котангенса.
8.7 Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях
Известно, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.
Когда первообразная некоторой элементарной функции f  x 
является также элементарной функцией, то, говорят, что интеграл  f ( x)dx
«берется», т.е. интеграл выражается через элементарные функции. Если
интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что
интеграл «не берется».
Примеры «неберущихся» интегралов:
sin x
cos x
dx (интегральный синус),
dx (интегральный косинус),

x
x
ln x
2
2
 x dx (интегральный логарифм),  sin x dx,  cos x dx (интегралы Френеля),
ex
 x2
e
(интегральная
показательная
функция),
dx
 dx (интеграл Пуассона),
 x
dx
, (k 2  1) .

1  x2 1  k 2 x



