работу №2

(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для
получения работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru
...)
0. Электромагнитные волны. Природа света. Распространение света
2
Конденсатор состоит из двух плоских круглых пластин площадью A0.1 м ,
0.0.
присоединенных
к
источнику
напряжения
EE
t ,
0sin
где
E0 200
В,
а

6
100
рад
/с. Максимальное значение тока смещения id 8
.910
A. Пренебрегая
краевыми эффектами, найти: а) максимальное значение тока i; б) максимальное
значение dE / dt , где  E – поток вектора Е через область между пластинами; в)
расстояние между пластинами; г) максимальное значение индукции В магнитного поля
между пластинами конденсатора на расстоянии 0.0 м от центра.
Решение
Максимальное значение тока i:

6
i
(
i
)

8
.
9

10
A
d
max


d
(
E
sin
t
)
dV
0
i

C

C

CE
cos
t
0
dt dt
i

(
i
)


CE
max
d
max
0
(
i)

9
C
dmax

0
.
445

10
Ф

E
0
Расстояние между пластинами конденсатора:
C
0 A
d

A
0


0
.
002
м

2
мм
 d
C
Максимальное значение dE / dt :
id 0
d

i
)
dE

 (
6
E
d
max

10
В

м
/
с

 
dt
dt


max
0

Максимальное значение индукции В магнитного поля ( r  0.1 м):


d

E




2
2
c
2
r

B

r
E

0

max
dt
d
 
 
max
0. Геометрическая оптика
0.0. Тонкая плоская полупрозрачная пластина расположена на расстоянии b от
рассеивающего сферического зеркала. Точечный источник света S расположен на
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для
получения работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru
...)
расстоянии а от пластины (рис.0) так, что его изображение, полученное от пластины,
совпадает с изображением в зеркале. Найти расстояние от источника до пластины,
полагая, что b  7.5сми фокусное расстояние зеркала f 30cм.
Решение
Изображение в выпуклом сферическом зеркале мнимое, следовательно a  b .
Расстояние от изоьражения до плоской полупрозрачной пластины равно а.
Уравнение для сферического зеркала:
1 1 1
 
s1 s2
f
s1  a  b
s2  b  a
1
1
1


a

b b

a f
2b
1

2
f
b a
2
0. Интерференция света
0.0. Монохроматическое излучение с длиной волны  проходит через узкую щель S в
непрозрачном экране I. За щелью вплотную располагается линза, а за линзой – плоское
зеркало. Плоскость зеркала располагается перпендикулярно экрану I. Оптическая ось
линзы лежит в плоскости зеркала. Расстояние от щели до зеркала h. Второй экран II
располагается в фокальной плоскости линзы. Найти
условия возникновения
максимумов и минимумов интерференционной картины в переменных: угол ,  и L.
Решение
На втором экране интерферирует первичный луч и оптпженный от зеркала (при
отражении фаза меняется на /0):
Условие возникновения максимумов:
1  1

L

1

m





cos
  2


Условие возникновения минимумов:
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для
получения работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru
...)
0. Дифракция света
0.0. В опыте по дифракции света на щели расстояние между первым и пятым
дифракционным максимумом на экране, отстоящем от щели на расстоянии 00 см, равно
0.00 мм. Длина волны излучения 000 нм. Найти ширину щели.
Решение
Дифракция на щели. Положение дифракционного минимума порядка m:
dsin
m,
где d – ширина щели,  – длина волны, – угол дифракции.
Можно считать, что дифракционные максимумы находятся посередине между
дифракционными минимумами. Следовательно расстояние между 0-м и 0-м

3
.35
10м
максимумом ( h0
) равно расстоянию между 0-м и 0-м минимумом.
Углу отклонения малы, поэтому
h
sin
 (L – расстояние от шели до экрана).
L
Тогда
0. Квантовая природа света
0.0. Вывести закон Стефана-Больцмана из формулы Планка, основывая свой вывод на
том, что

Rr,Td.
0
Решение
Спектральная плотность излучательности:
22
4

c
1
r



,
T
5

2
 .


c


exp

1



k
T
B


(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для
получения работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru
...)
Делаем замену переменной:
x
2c
kBT
2c 1

kBT x



c dx
d
2

kBT x2





0
5
5
4 3
(
k
T
)
x
(
2
c

)
dx
(
k
T
)
x
dx
2
2
B
B
R

r
d


4
c


,
T
5
2
2
2
3



exp(
x
)

1
(
2
c

)
(
k
T
)
x
4
c

B
0

0
Полученное соотношение соответствует закону Стефана- Больцмана, так как оно может
4
быть записано в виде R  T , где постоянная 
4 
B
223
0
k
x
dx



x
)

1
4
c exp(
3
Значение несобственного интеграла
вычислим, разложив в ряд его знаменатель
и интегрируя почленно полученное выражение. В результате получим
Поэтому
значение
постоянной
Стефана-Больцмана
можно
записать
через
универсальные константы k B , с и  в виде
.
0. Теория Бора атома водорода и водородоподобных ионов
0.0. Для основного состояния атома водорода по теории Бора рассчитать: а) квантовое
число; б) радиус орбиты; в) момент количества движения; г) импульс; д) кинетическую;
е) потенциальную и ж) полную энергию.
Решение
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для
получения работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru
...)
0. Электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным
орбитам, каждой из которых можно приписать определенный номер n1, 2, 3,....
Такое движение соответствует стационарному состоянию атома с неизменной полной
энергией E n . Это означает, что движущийся по стационарной замкнутой орбите
электрон, вопреки законам классической электродинамики, не излучает энергии.
0. Разрешенными стационарными орбитами являются только те, для которых
угловой момент импульса L электрона равен целому кратному величины постоянной
Планка  . Поэтому для n-ой стационарной орбиты выполняется условие квантования
L

n

,n

1
,2
,3
,...
Квантование энергии атома. Запишем условие вращения электрона массы m по
круговой орбите радиуса r под действием кулоновской силы со стороны ядра и
формулу Бора квантования момента импульса электрона/
2
mv
e2


 r
40r2
 mvr
n

Решая эту систему уравнений, находим для радиусов допустимых (стационарных)
орбит электрона в атоме водорода следующее выражение
42n2
rn  0 2
me
Вводя в качестве универсальной константы теории боровский радиус
a
402
2
mc
как радиус первой стационарной орбиты электрона в атоме водорода.
Тогда
rn  an2
Для скорости электрона на n-ой стационарной орбите получаем значение
e2
vn 
4
n.
0
Полная энергия электрона, движущегося по n-ой стационарной орбите, складывается из
его кинетической энергии
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для
получения работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru
...)
2
4
mv
me
n
K
  2222
n
2 32


n
0
и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром
2
4
e
me
U




n
222
40
r (
40
)

n
 
Полная энергия электрона в атоме водорода:
4
me
13
.
6
эВ
E



2
n
2222
32

n
n
0


Основное состояние:
n 1
r1  a
L1  
p1 

a
K
13
.6эВ
1
0. Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей. Уравнение Шредингера
0.0. Электрон и фотон имеют длину волны 0.0 нм. Чему равны их импульсы и энергии.
Решение
Постоянная Планка:

34


1
.
0546

10
Дж

с
Масса электрона:

31
m

9
.109
10
кг
Скороссть света в вакууме:
8
c310
м/с
Длина волны де Бройля:

9
0.210
м
Импульс фотона:
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для
получения работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru
...)
h

24
p

0
.
331

10
кг

м
/
с
ph

Энергия фотона:
Импульс электрона:
Энергия электрона:
0. Квантовая статистика Ферми-Дирака
0.0. Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при
T 0K
эВ
, если EF 3.07
. Плотность натрия считать известной.
Решение
Постоянная Планка:

34


1
.
0546

10
Дж

с
Масса электрона:

31
m

9
.109
10
кг
Энергия Ферми электронов при T  0 K
2

 2 2/3


E
(
3
n
)
F


2
m
 
Концентриция свободных электронов:
3
/
2
2
2
(
E
m
)
29

3
F
n
 2

0
.
244

10
м
3
3


Плотность натрия:


0
.
968

10
кг
/м
3
3
3
Концентрация атомов натрия (число атомов натрия в объеме v  1 м ):

v
29
3
M
N

0
.
253

10
м
A
M

3
23

1

23

10
кг
/
моль
,
N

6
.
02

10
моль
(M
)
A
Число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при T  0 K :
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для
получения работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru
...)
n
0.964
N
0. Ядерная физика

151
/3

1
.
4
10
A
м
0.0. Считая радиус атомного ядра R
, где А – массовое число.
3
Определить плотность ядерного вещества, выраженную в числе нуклонов в 1 м или в
3
кг / м3 . Рассчитать массу 1 cм вещества, состоящего из одних ядер.
Решение
Плотность ядерного вещества:
A

 
0
.
155

10
нуклон
/
м
4

R
3
45
3
3
Масса нуклона:

27
m

1
.
675
10
кг
nucl
3
Плотность ялерного вещества в кг / м :
3
Масса 1 cм вещества, состоящего из одних ядер:
00. Элементы специальной теории относительности
00.0. Определить собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его
длина составляет 0.0 м; скорость в два раза меньше скорости света в вакууме, а угол
между стержнем и направлением движения 00.
Решение
Длина стержня в лабораторной системе координат:
L 1.5 м
Скорость подвижной системы координат в направлении оси стержня:
c 
v
 cos

0
.433
c
2 6
Собственная длина стержня:
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для
получения работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru
...)