Яремко Н.Н. Проблема восстановления функциональных

Яремко Н.Н. Проблема восстановления функциональных зависимостей в задачах интерпретации косвенных результатов наблюдения. // Проблемы информатики в образовании,
управлении, экономике и технике: Сб. статей XI Междунар. научно-техн. конф. – Пенза:
ПДЗ, 2011. – С. 54-56.
ПРОБЛЕМА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ЗАВИСИМОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
КОСВЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЯ
Н.Н. Яремко
Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза, Россия, [email protected]
Предлагается стохастический вариант задачи восстановления функциональных зависимостей в классе сплайнов с точками сопряжения.
Yaremko N.N. Recovery of functional dependences in the problem of the interpretation of
indirect results of the observation. The stochastic variant of the problem of recovery of functional
dependences in the class of splines with conjugation points is offered.
Рассмотрим отрезок

 , на котором заданы ку-
I n  x : x  U  l j 1 , l j  , l0  0, ln 1  l  
сочно-гладкие функции f  x,  ,
идеального контакта:
n 1
j 1
x  In ,
удовлетворяющие в точках стыка условиям
f  lk ,    f  lk ,   ,
/
 lk ,    f /  lk ,   ,  k  0, k  1,..., n .
k f
(1)
Пусть в классе f  x,  , x  I n надо восстановить функциональную зависимость
f  x,0   f  x  [1], и пусть значения функции f  x  неизвестны, но известны значения другой функции F  x  , заданной на I n , связанной с искомой операторным
уравнением
(2)
A f   F .
Оператор A отображает взаимно-однозначно и непрерывно евклидово пространство E1 в E2 , A : f  F , f  E1 , F  E2 .
Пусть в результате измерений получены значения функции F  x  :
y j  F  x j    , j  1, i
где

(3)
– аддитивная помеха,
M   0, M  2   2   ,
не зависящая от x . Точки x j определяются случайно и независимо с равномерной плотностью на кусочно-однородном отрезке I n .
Таким образом, по результатам измерений (3) необходимо восстановить
функцию f  x   f  x,0  в классе функций f  x,  . При этом допускается, что задача (2) может быть некорректной.
Проблема поиска корректных алгоритмов, распознающих данную выборку
без ошибок, в общем виде решена Ю.И. Журавлёвым [2]. В настоящей статье
рассмотрен стохастический вариант задачи восстановления функциональных
зависимостей [1] .
Замечание. Класс кусочно-гладких функций возникает в теории обратных
задач математической физики кусочно-однородных сред, а также задач интерпретации результатов [1].
Восстановление решения операторного уравнения (2) будем проводить в
классе сплайнов, удовлетворяющих условиям сопряжения (1) в точках стыка.
Примем обозначения
(4)
1  x  ,...,  N  m1  x 
для системы фундаментальных сплайнов на l0 , l  степени m с
Тогда для любого сплайна VNm  x,  справедливо разложение
VNm  x,   
N  m 1

i 1
N
сопряжениями [1].
 i i  x  ,
где   1 ,..., N m1  – коэффициенты разложения сплайна VNm  x,  по фундаментальной системе сплайнов.
Приступим к построению сплайн- приближения решения уравнения (2). Рассмотрим образы кусочно-однородной фундаментальной системы (4)
в E2 :
1  x   A  1  x   ,..., n  m 1  x   A  N  m 1  x 
и примем в качестве решения операторного уравнения (2) такой кусочнооднородный сплайн VNm  x,  , образ которого F  x,  *  гарантирует малую величину риска [1]:
2
I      y  F  x,    P  y x  dydx .
Из приведённых в [1] результатов (см. теорема 7.6) следует:
Т е о р е м а 1. Если удовлетворяется условие
p
sup

  y  F  x,  P  y x  dydx  
  y  F  x,  P  y x  dydx
2p
2
N
,p2,
то с вероятностью 1  одновременно для всех кусочно-однородных сплайнов с
N сопряжениями выполняется неравенство:

2
N  m 1


1 i 
 pp  xj 

 yj  
i j 1 
p 1


I    
2i



 1  ln
 N  m  1  ln

N

m

1
12


3
1  2 2  N 
i





 .




(5)
Замечание. В качестве решения операторного уравнения (2) целесообразно
выбрать такую кусочно-однородную сплайн-функцию, для которой достигается минимум правой части оценки (5).
Библиографический список
1. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. –
М., 1979. – 448 с.
2. Журавлёв Ю.И. Корректные алгебры над множествами некорректных (эвристических) алгоритмов // Кибернетика. – 1977. – №6. – С. 21-27; 1978. – №2. –
С. 35-43.