Ефимов В., Резник А., Торгов А.

30
О ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ СИГНАЛА1
В.М. Ефимов2, А.Л. Резник2, А.В. Торгов3
2Институт
автоматики и электрометрии СО РАН,
630090, Новосибирск, пр.акад.Коптюга, 1, reznik@iae.nsk.su, torgov@iae.nsk.su
В работе рассматривается компенсация линейных искажений сигнала при его
равномерной дискретизации. Компенсация основана на использовании рядов
Фурье.
Введение
При
прохождении
сигнала
через
искажающий предфильтр спектр входного
сигнала и спектр выхода предфильтра
связаны известным соотношением
~
~
~
(1)
f h ()  h () f () ,
~
где f h ( ) — спектр сигнала на выходе
предфильтра с частотной характеристикой
~
~
h ( ) , f ( ) — спектр входного сигнала.
Очевидным, но не всегда реализуемым
алгоритмом
компенсации
искажений
является пропускание выходного сигнала
предфильтра
через
компенсирующий
предфильтр с частотной характеристикой
~()  1 h() .
(2)
w
При равномерной дискретизации сигнала
по времени простейшим вариантом
использования соотношения (2) является
его реализация на наборе частот ряда
Фурье, содержащем конечное число
слагаемых.
В
дальнейшем
рассматривается
компенсация линейных искажений при
использовании рассмотренного в [1]
гармонического ряда с ортогональными



2kt 
базисными функциями cos
 2 N  1

Отсчетные функции компенсирующего
фильтра
Используя
комплексную
форму
гармонического ряда, несложно показать,
что при применении этого базиса оценка
компенсированного сигнала
f * (t ) 
N
f
h
( n ) w ( t , n  ) .
(3)
k  N
В (3) f h ( n ) — искаженные предфильтром
отсчеты искомого сигнала f (t ) ,
2k   2k 2 N  1 ,
2k 1   (2k  1) 2 N  1
(4)
— частоты базисных функций, множитель
при отсчете сигнала
w(t , n ) 

1  N cos 2 k n i2 k t
 ~
e

2 N  1  k   N h (2 k )
(5)
sin 2 k 1n i2 k 1t 

e
~

k   ( N 1) h (2 k 1 )

— отсчетная функция.
~
Если представить предфильтр h ( ) в виде:
~
(6)
h ()  ah ()  ibh () ,
то отсчетная функция
i
N




sin 
(2k  1)t  (Δ — шаг
 2 N  1

дискретизации сигнала по времени, 2N+1
— число слагаемых гармонического ряда).
и
1
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-01-00653),
Президиума Российской академии наук (программа № 14.1/2006г.) и Президиума Сибирского отделения РАН
(интеграционный проект № 3.9/2006г.)
31
w( t , n  ) 

N

1
 ( )   cos  t  a h ( )  ~

2
k   N 2 h ( )

2k

 a h (2 k ) cos 2 k t  bh (2 k ) sin 2 k t  

1  N cos 2 k n



2 N  1  k  N h~( ) 2
2k

 a h (2 k ) cos 2 k t  bh (2 k ) sin 2 k t  

2
t
      2 k         2 k   
sin 2 k 1n

2
~
k   ( N 1) h (
)
2 k 1
N

 bh ( )


 bh (2 k 1 ) cos 2 k 1t  a h (2 k 1 ) sin 2 k 1t   .


(7)
При использовании базисных функций



cos
2kt 
 2 N  1

и



sin 
2kt 
 2 N  1

соотношение (7) приводится к виду
w(t , n ) 

it

2
~
2 h (2 k 1 )
 bh (2 k 1 ) cos 2 k 1t  a h (2 k 1 ) sin 2 k 1t  
2
      2 k 1         2 k 1  


 



N

1
  sin  t  a h ( ) 

2
~
k   ( N 1) 2 h (

)
2 k 1

 bh (2 k 1 ) cos 2 k 1t  a h (2 k 1 ) sin 2 k 1t  
 bh ( ) 
k  N
1

2
~
2 h (2 k )
 a h (2 k ) cos 2 k t  bh (2 k ) sin 2 k t  
      2 k         2 k  
Рассмотрим
дисперсию
ошибки
воспроизведения
сигнала
при
использовании соотношения (8). Положим
для простоты сигнал стационарным
случайным процессом со спектральной
плотностью S f   . Тогда дисперсия
ошибки реконструкции значения сигнала с
абсциссой t
 t2 
 d S f   e
1
2
Дисперсия ошибки реконструкции
сигнала

k   ( N 1)
N
(8)
N

      2 k 1         2 k 1   
N
1
1


~
2 N  1 k  N h ( ) 2
2k
ah (2k ) cos 2k (t  n)  bh (2k ) sin 2k (t  n)

N
2
~
 h    e in w(t , n ) .
n  N
(9)
Если провести в формуле (9) суммирование
по индексу n, т.е. вычислить дискретное
преобразование
Фурье,
то
получим
следующий результат:


 .


(10)
В формуле (10) частоты 2k и 2k 1
определяются соотношением (4), а функции
sin 2 N21    2 k 
     2 k   
,
2 N  1 sin 2   2k 
     2 k 1   
sin 2 N21    2 k 1 
,
2 N  1 sin 2   2k 1 
(11)
обладают очень важным свойством: они
равны единице на частотах   2k и
  2k 1 и равны нулю на всех остальных
частотах
из
(4).
Если
частотная
характеристика предфильтра ограничена по
модулю и не равна нулю в диапазоне
частот сигнала с ограниченным спектром
возрастании длины
    , то при
фильтра L  2N  1 величина дисперсии
ошибки уменьшается. В пределе при
L  ( 2 N  1)  
дисперсия
ошибки
становится равной нулю.
32
Если рассматривать
дисперсию
ошибки только на исходном массиве
t  m ( m   N , N ) , то
2
 m2  ( )
 e
im
N
~
 h    e in w(m, n) .
n  N
(12)
величины на
Среднее значение этой
отсчетах массива
2
~
2N
h
(

)
1
 2 ( )  1 


4 k 2 N h~( ) 2
k


Моделирование алгоритмов обработки
сигнала
2
2N
a ( )
1
a h ( )  h k 2 
~
2
k  2 N h ( )
k


      k    ( 1) k      k   

2
2N
b ( )
1
bh ( )  h k 2 
~
2
k  2 N h ( )
k


  2    k     2    k   .
(13)
Компенсационный КИХ-фильтр
В предыдущем разделе рассматривалась
дисперсия ошибки реконструкции сигнала
на
интервале
( 0,5( 2 N  1)  t  0,5( 2 N  1) )
и ее
среднее значение на этом интервале. При
дискретном представлении сигнала и
значении параметра m, равном нулю,
величина этой дисперсии минимальна:)
 02 ( ) 




~
d S f   1  h ( )
N
e
2
in
w(0, n ) .
n N
(14)
2
Величина  0 ( ) в этом соотношении при
bh ( )  0
)
2
При этом константы Cak  1 ah (2k ) .
      k    ( 1) k      k   

N

    2k   
 .
 1  ah ( )  
ah (2k )
k  N


(15)
Из формулы для отсчетной функции
компенсирующего фильтра следует, что
соотношению (15) соответствует отсчетная
функция
N
1
w(0, n) 
 Cak cos 2k n . (16)
2N  1 k   N
 02 ( )
Соотношения (14), (12) и (9) позволяют
определить оптимальные параметры цифрового
фильтра при априори известной спектральной
плотности сигнала S f   .
Моделирование
осуществлялось
для
случайного сигнала (алгоритм (16)).
Моделирование
сигнала
случайной
структуры осуществлялось следующим
образом. Последовательность независимых
случайных величин  s  превращалась в
последовательность зависимых величин
 s  после ее пропускания через фильтр
нижних частот с весовой функцией,
определяемой формулой [2]:
rm cos m
sin 22M
1
2 M 1
(17)
wm  
.
2 M  1 sin 2 Mm1
s 
N
s  k w(k ) .
(18)
k N
Затем
из
нее
строились
две
последовательности. Первая из них
соответствовала “желаемому” сигналу:
n ( 2m 1)  m
1
f 0 (n) 
s .
2m  1 r  n ( 2m 1)  m
(19)
Вторая
последовательность
соответствовала соотношению
n ( 2m 1)  p
1
f (n) 
 s .
2 p  1 r  n ( 2m 1)  p
(20)
Далее по значениям последовательности
 f (n) восстанавливались значения
последовательности  f 0 (n). При этом
очевидно соотношение для коэффициентов
Cak  1 ah (k ) :
33
Cak  1 a h (k ) 
2p 1
2m  1
sin( k  2)
,
 2p 1

sin 
k  2 
 2m  1

2p 1
 1  2  .
2m  1
(21)
 f 0 (n),
между
 s ,
Последовательности
 f (n)
и
разность
последовательностями  f 0 (n) и  f (n )
изображены на Рис. 1. Из Рис. 2 следует,
что с увеличением длины “обратного”
фильтра средний квадрат разности убывает.
Заключение
Проанализированы
характеристики
фильтров, основанных на рядах Фурье и
компенсирующих линейные искажения
сигнала
при
его
равномерной
дискретизации. Получены соотношения для
отсчетных функций и формулы для
дисперсии
ошибки
при
обработке
стационарного
случайного
сигнала.
Выполнено
моделирование,
подтверждающее
аналитические
результаты.
Список литературы.
1. В.М. Ефимов, А.Л. Резник, Ю.В. Бондаренко.
Возможность повышения точности синуснокосинусного
преобразования
при
аппроксимации и интерполяции сигнала.
Автометрия, 2007.
2. В.М. Ефимов, А.В. Торгов. Определение
параметров фильтра с конечно-импульсной
характеристикой при ограничениях на значения
его частотной характеристики. Автометрия,
2000, №4, с 3-13.
Рис. 1. а) фрагмент случайного сигнала,
пропущенного через предфильтр; б) фрагмент
“желаемого”
сигнала;
в)
фрагмент
“наблюдаемого” сигнала; г) разность между
“желаемым” и “наблюдаемым” сигналами.
Рис.2. Логарифмическая зависимость
среднего квадрата разности между
“желаемым” и реконструированным
сигналами.