Непрерывные случайные величины

1
Тема 10
Непрерывные случайные величины.
Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток,
называется непрерывной.
В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение
нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (– ; a), [b;), (–; ).
Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд,
выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3
километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до
0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной
точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у
которой одно значение от другого отличается, по крайней мере, на 1 метр.
При описании непрерывной случайной величины принципиально
невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже
достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество,
называемое «континуум».
Если  – непрерывная случайная величина, то равенство  = х представляет
собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное
событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать
лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности
события. Так, например, можно говорить, что только с вероятностью «нуль»
снаряд пролетит 5245,7183 метра, или что отклонение действительного размера
детали от номинального составит 0,001059 миллиметра. В этих случаях
практически невозможно установить, произошло событие или нет, так как
измерения величин проводятся с ограниченной точностью, и в качестве
результата измерения можно фактически указать лишь границы более или менее
узкого интервала, внутри которого находится измеренное значение.
Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием
величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести
сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса,
сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от
левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между
сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка.
2
Тема 10
Пусть  – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого
числа х вероятность неравенства х <  < х + х
P(х <  < х + х).
Здесь х – величина малого интервала.
Очевидно, что если х  0, то P(х <  < х + х)  0. Обозначим р(х) предел
отношения P(х <  < х + х) к х при х  0, если такой предел существует:
P( x    x  x)
(1)
 p( x)
lim
x
x  0
Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из
формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин х, которое
также можно считать определением функции р(х):
P(х <  < х + х)  p(x)х
(2)
Очевидно, что p(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности
того, что случайная величина  примет значение из промежутка [a, b] конечной
длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х2,, хn
удовлетворяющие условию а=х0<х1<x2<<xn<b=xn+1. Эти числа разобьют
промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х0, х1),
[х1, х2), ,[хn, b]. Введём обозначения:
х0= х1 – х0, х1= х2 – х1, , хn = b – хn,
n
и составим сумму  p( xi )xi . Рассмотрим процесс, при котором число точек
i 1
разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина
хi стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке
(а; b), тогда пределом суммы
n
 p( xi )xi будет
определённый интеграл по
i 1
промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:
b
P(a    b) =  p x dx
a
Это
равенство
можно
также
p(x)
рассматривать как определение функции р(х).
Отсюда следует, что вероятность попадания
случайной величины в любой интервал (х1, х2)
x1
x2
x
равна
площади
фигуры,
образованной
Рис. 1
отрезком [х1, х2] оси х, графиком функции р(х)
и вертикальными прямыми х = х1, х = х2, как изображено на рисунке 1.
3
Тема 10
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу
(а; b), то для р(х) – её плотности распределения справедливо равенство
b
 p( x)dx  1
a
Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х,
полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными
значениями этой случайной величины.
Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция
р(х), удовлетворяющая двум условиям:
1) р(х)  0;

2)
 p( x)dx  1

Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать
случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям.
В качестве примера рассмотрим случайную величину , равномерно
распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого
промежутка:
c a  x  b
p ( x)  
0 x  a; x  b
По свойству 2) функции р(х)

b

a
 p( x)dx   cdx  c(b  a)  1
1
. График функции
p(x)
ba
1
р(х) представлен на рисунке 2.
c= b-a
Во
многих
практических
задачах
встречаются
случайные
x
величины, у которых возможные
Рис. 2
значения не ограничены сверху и
снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при
х   и х  –  асимптотически приближается к этой оси, как изображено на
рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньшее
некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой
распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем
считать, что такая площадь существует.
Отсюда c 
4
Тема 10
Пусть  – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая
определяется равенством
F ( x)  P(ξ  x) ,
называется интегральной функцией распределения или просто функцией
распределения случайной величины . Непосредственно из определения следует
равенство F ( x) 
x
 p(t )dt .
Формула производной определённого интеграла по

верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению F ( x)  p ( x) .
Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией
распределения.
Функция распределения F(x) случайной величины  имеет следующие
свойства.
1. F(x) — непрерывная неубывающая функция.
2. lim F ( x)  0 ; lim F ( x)  1
x  
x 
Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).
3. Приращение F(x) на промежутке (х1; х2) равно вероятности того, что случайная
величина  принимает значение из этого промежутка:
F(x2) – F(x1) = P(x1 <   x2)
Доказательство.
F(x2) = P(  x2) = P(  x1) + P(x1 <   x2) = F(x1) + P(x1 <   x2)
Отсюда
P(x1 <   x2) = F(x2) – F(x1)
Заметим, что для непрерывной случайной величины  справедливы
равенства
P(x1 <   x2) = P(x1 <  < x2) = P(x1   < x2) = P(x1    x2)
Для равномерного распределения функция
F(x) имеет вид:
1
при x  a
0
 x dt
xa
F ( x)  

при a  x  b
b

a
b

a
a
1
при x  b
a
b
x
График функции F(x) представлен на рисунке 3.
Рис. 3
Закон распределения непрерывной случайной
величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x).
5
Тема 10
Функцию распределения F(x) можно построить и для дискретной случайной
величины , если задан закон распределения этой случайной величины.
Пусть задана дискретная случайная величина  с законом распределения
1
2
3

Р
0,2
0,5
0,3
Построим функцию F(x), используя определение F(x) = P(  x).
x 1
 0 при
0,2 при 1  x  2
F(x)

F ( x)  
1
0,7 при 2  x  3
 1 при
x3
График функции F(x) изображён на
рисунке 3.
Очевидно, что закон распределения
1
2
3
Рис. 4
дискретной случайной величины можно
задать с помощью таблицы, где каждому
значению этой случайной величины
ставится в соответствие вероятность, или с помощью функции распределения.
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной
величины.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины 
определяется равенством
Mξ 

 xpx dx

в предположении, что интеграл существует (сходится). Здесь сохраняется смысл
математического ожидания как среднего значения случайной величины.
Все свойства математического ожидания, приведённые ранее для
дискретных случайных величин, имеют место и для непрерывных случайных
величин.
Отметим два важных свойства математического ожидания непрерывных
случайных величин.
1. Если плотность распределения р(х) случайной величины  – чётная функция,
то М = 0.
Доказательство.
6
Тема 10
Mξ 


xp  x dx 

0


0
 xpx dx   xpx dx
Теперь в первом из двух интегралов в правой части равенства сделаем замену t =
–x:
0
0
0




0
 xpx dx    t  p t d  t    tpt dt    tpt dt
Окончательно получаем


0
0
Mξ    tp t dt   xp  x dx  0 .
2. Если ось симметрии графика плотности распределения р(х) случайной
величины

проходит
через
точку
х = ,
то
есть
р(–х + ) = р(х + ), то М = .
Доказательство аналогично приведенному выше.
Очевидно, можно сформулировать аналогичные свойства математического
ожидания для дискретных случайных величин.
Дисперсия непрерывной случайной величины  определяется
равенством
Dξ 

2
 x  Mξ  px dx

Для вычисления дисперсии можно использовать формулу

D 
2
2
 x px dx  M 

Дисперсия непрерывной случайной величины имеет те же свойства, что и
Dξ называется
дисперсия дискретной случайной величины. Величина
среднеквадратическим отклонением.
Если график плотности распределения
случайной величины  имеет единственный ярко
выраженный пик в точке х = , как на рисунке 5, то
это означает, что  принимает с большой
вероятностью значения из малого промежутка

x
около х =  (или, иначе, возможные значения 
Рис. 5
тесно сконцентрированы около числа ). Такая
случайная величина имеет относительно малую дисперсию.
7
Тема 10
Пусть график плотности распределения случайной величины  пологий и не
имеет выраженного пика, как на рисунке 6. Тогда внутри довольно большой
области можно взять различные промежутки одинаковой длины, и вероятности
попадания случайной величины в эти промежутки будут отличаться незначительно. В этом случае дисперсия 
относительно велика.
Если  – размер детали, выпускаемой
p(x)
автоматическим станком, настроенным на
размер , то график, изображённый на
рисунке 5, характерен для случая, когда
x
Рис. 6
станок хорошо налажен: отклонения от
номинальной величины  встречаются редко или маловероятны. График
плотности распределения, изображённый на рисунке 6, свидетельствовал бы о
том, что механизм станка расстроен: здесь часто (или с большой вероятностью)
встречаются детали с большим отклонением от номинального размера .
Напомним читателю, что на обоих приведённых рисунках площади фигур,
заключённых между горизонтальной координатной осью и графиками плотности
распределения, одинаковы и равны единице.
Приведём пример расчёта математического ожидания и дисперсии для
случайной величины, равномерно распределённой на промежутке [a; b]. Ранее
было получено выражение для плотности распределения такой случайной
величины:
0 при x  a и при x  b
p ( x)   
 1/ b  a  при a  x  b
1 b
1 x2
M 
 xdx  b  a 2
baa
b
a
1 b2  a 2 a  b


ba
2
2
ab
лежит в середине промежутка [a; b], и этот результат можно было
2
получить, используя второе из приведённых выше свойств математического
ожидания непрерывной случайной величины.
2
b
b

a b 1
1  b 2
a  b 2 b 

Dξ    x 
dx 
x dx  a  b  xdx 

 dx  

2
b

a
b

a
4


a
a
a
a

Точка



1 b 3  a 3 a  b  b 2  a 2 a  b 2 b  a  b  a 2



ba
3
2b  a 
4b  a 
12
8
Тема 10
Отсюда видно, что чем длиннее промежуток, тем больше дисперсия случайной
величины, равномерно распределённой на этом промежутке.
Задача 1.
Плотность распределения случайной величины  имеет вид
c cos x,   / 2  x   / 2
p ( x)  
0, x   / 2; x   / 2
Найти М, D, F(x), P(/6 < х < /3).
Решение.
Сначала определим величину параметра с. По свойству нормировки
 /2
c
 cos xdx  1
 / 2
Отсюда следует, что с = 1/2. Математическое ожидание случайной величины
равно 0, так как плотность распределения – чётная функция. Дисперсию
1
случайной величины определим по формуле D =
2
 /2
x
2
cos xdx . Вычислив
 / 2
определённый интеграл, получаем D =  /4 – 2. Функция F(x) на промежутке
(; –/2) равна нулю, на промежутке (–/2; /2) эта функция равна (1 + sinx)/2,
на промежутке (/2; ) функция равна 1.
2
P / 6  ξ   / 3  (1  sin x) / 2  // 36 


3 1 / 4
Задача 2.
Функция распределения случайной величины  имеет вид
0, x  1

F ( x)  0,2 x 3  x 2  x  1 , 1  x  2
1, x  2

Найти М, D, P(1 < х < 1,5).
Задача 3.
Плотность распределения случайной величины  имеет вид
0 при x  2 и при x  3
p ( x)  
 a / x  1 при 2  x  3
Найти М, D, F(x) P(1 < х < 2,5)
Ответы. 2. 97/60, 263/3600, 13/40. 3. (ln2+1)/ln2, (3ln2–2)/ (2ln22)
0, x  2
 ln  x  1
F ( x)  
, 2  x  3 , ln1,5/ln2.
ln
2

1, x  3

