Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая
статистика
Примерная программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
Цель курса. Курс ”Теория вероятностей и математическая статистика” обеспечивает освоение
студентами основных понятий, идей, методов теории вероятностей и математической статистики и
приобретение ими практических навыков работы с экспериментальными статистическими
данными обследований в гуманитарных науках (истории, социологии, политологии, экономике и
т.д.).
Значительное внимание уделяется построению вероятностных моделей и интерпретации
результатов математической обработки данных.
Темы и их краткое содержание:
Тема 1. Статистическое определение вероятности и классическая вероятностная схема.
Предмет теории вероятностей и ее связь с реальностью. Различные подходы к определению
вероятности. Примеры теоретико-вероятностных задач.
Случайные события. Статистическое определение вероятности. Случайные события как
подмножества простейших исходов. Основные понятия алгебры событий.
Классическая вероятностная схема. Свойства вероятности. Теорема сложения и следствия из нее.
Частотная интерпретация независимости событий. Условные вероятности как пределы условных
частот. Теорема умножения и следствия из нее.
Различные примеры вероятностных моделей.
Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Система гипотез. Формула
полной вероятности и теорема Байеса.
Тема 2. Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.
Тема 3. Случайные величины и их числовые характеристики.
Случайная величина. Примеры случайных велечин. Виды случайных величин (конечные,
дискретные, непрерывные). Закон и таблица распределения конечных и дискретных случайных
величин.
Функция распределения как универсальная характеристика случайной величины и ее свойства.
Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. Эффект нулевой
вероятности.
Математическое ожидание как среднее значение случайной величины. Определение
математического ожидания для различных видов случайных величин. Определения суммы и
произведения случайных величин. Свойства математического ожидания.
Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение.
Тема 4. Основные распределения случайных величин.
Биномиальное распределение и его характеристики.
Распределение Пуассона и его характеристики. Теорема Пуассона.
Геометрическое распределение и его характеристики.
Гипергеометрическое распределение и его характеристики.
Нормальное распределение и его характеристики.
Логарифмически-нормальное распределение и его характеристики.
Показательное распределение и его характеристики.
Равномерное распределение и его характеристики.
Тема 5. Предельные теоремы теории вероятностей.
Устойчивость средних и закон больших чисел. Понятие о предельных теоремах.
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел Чебышева и его следствия. Центральная предельная
теорема и ее приложения.
Тема 6. Многомерные случайные величины.
Совместное распределение нескольких случайных величин. Способы задания совместного
распределения. Условные распределения. Числовые характеристики совместного распределения.
Регрессия и корреляция. Коэффициент корреляции и его свойства.
Функция и плотность распределения суммы случайных величин. Сумма нормальных случайных
величин.
Тема 7. Статистические оценки параметров распределения.
Основные задачи статистики и математической статистики. Выборки. Статистическая обработка
результатов наблюдений.
Оценки и связанные с ними понятия. Точечные оценки вероятности, математического ожидания,
дисперсии и их свойства. Метод максимума правдоподобия и его применения для нахождения
точечных оценок параметров основных распределений.
Понятие доверительных оценок. Построение доверительных интервалов для параметров
нормального распределения: случаи, когда один из параметров известен и когда неизвестны оба
параметра.
Организация выборки и определение ее объема.
Тема 8. Проверка статистических гипотез.
Постановка задачи проверки гипотез. Критерий оценки и его мощность. Критическая область и
область принятия гипотезы.
Правило знаков. Критерии Уилкоксона.
Проверка гипотез о значении параметров нормального распределения.
Проверка гипотез о виде распределения. Критерий Пирсона.
Тема 9. Дисперсионный анализ.
Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.
Тема 10. Корреляционный и регрессионный анализ.
Регрессия и корреляция в теории вероятностей и математической статистике. Функциональные
зависимости, причинноследственные связи и корреляционные зависимости. Статистическая
оценка коэффициента корреляции и ее свойства.
Линейная и нелинейная регрессия. Построение доверительных интервалов для параметров
линейной регрессии. Проверка статистической значимости регрессии.
Тема 11. Основы факторного анализа.
Постановка задачи факторного анализа. Линейная модель. Примеры практического применения
факторного анализа к вопросам истории и социологии.
Тема 12. Непараметрические методы в статистике.
Номинальные шкалы измерений. Случай с одной выборкой. Независимые выборки. Связанные
выборки. Критерий рандомизации.
Тема 13. Неметрическое шкалирование.
Задача неметрического многомерного шкалирования. Матрица различий. Метод Шепарда. Метод
Крускала.