примерный вариант письменной экзаменационной работы

Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Волгоградский государственный медицинский университет»
Министерства здравоохранения
Российской Федерации
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ
«МЕДИЦИНСКАЯ БИОХИМИЯ»
Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
Направление подготовки: «МЕДИЦИНСКАЯ БИОХИМИЯ»
Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ»
Учебный год: 2014-2015
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ПИСЬМЕННОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ
В каждый вариант экзаменационного билета будут включены задачи из разделов:
РАЗДЕЛ 1. Случайные события
РАЗДЕЛ 2. Одномерные случайные величины.
РАЗДЕЛ 3. Многомерные случайные величины
РАЗДЕЛ 4. Первичная статистическая обработка выборочных данных.
Оценка погрешностей прямых и косвенных измерений
РАЗДЕЛ 5. Статистическая проверка статистических гипотез
РАЗДЕЛ 6. Элементы корреляционно – регрессионного анализа
РАЗДЕЛ 7. Однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA)
Экзаменационный билет будет содержать всего 7 ЗАДАНИЙ.
В каждом ЗАДАНИИ вам будет предложено несколько ЗАДАЧ различной трудности на
выбор.
Таким образом, ИЗ КАЖДОГО ЗАДАНИЯ ВЫ ДОЛЖНЫ РЕШИТЬ ПО ОДНОЙ
ЗАДАЧЕ – то есть всего семь (7) ЗАДАЧ.
Требования к оформлению работы:
1. Указать номер ЗАДАНИЯ И ЕГО РАЗДЕЛ, и номер решаемой задачи.
2. Перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие.
3. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все
действия по ходу решения и делая необходимые рисунки и схемы.
 ОЦЕНКА
– «ОТЛИЧНО» СТАВИТСЯ В ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ВЫ НАБЕРЕТЕ ОТ 91 ДО
100 БАЛЛОВ
– «ХОРОШО» – ОТ 76 ДО 90 БАЛЛОВ
– «УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – ОТ 61 ДО 75 БАЛЛОВ
– «НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – МЕНЬШЕ 60 БАЛЛОВ
ВНИМАНИЕ! ЕСЛИ В РАБОТЕ ОТСУТСТВУЕТ
ПОЛНОСТЬЮ КАКОЕ-ЛИБО ЗАДАНИЕ,
ТО ИЗ ОБЩЕГО КОЛИЧЕСТВА НАБРАННЫХ БАЛЛОВ ОТНИМАЕТСЯ 10 БАЛЛОВ!
-
РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ необходимо сопровождать пояснениями:
указывать метод решения и пояснять решение задачи;
приводить основные формулы и обосновывать их выбор;
анализировать полученные результаты и делать выводы.
Только в этом случае за РЕШЁННУЮ ЗАДАЧУ ставится
максимальное количество баллов!
РАЗДЕЛ 1. Случайные события
1
1.
В бригаде, состоящей из 4 женщин и 3 мужчин, разыгрываются 4 билета в театр. Какова
вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?
10 баллов
2.
Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале
стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того,
что он: а) промахнется
все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза.
12 баллов
3.
Завод отправил на аптечный склад 5000 термометров.
Вероятность поломки каждого
термометра в пути равна 0,0002. Какова вероятность того, что 1) на аптечный склад прибудет 3
поврежденных термометра? 2) менее
трех? 3) более трех? 4) хотя бы один?
12 баллов
4.
Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы
курса 4, из второй - 6, из третьей группы 5 студентов. Вероятности того, что студент первой,
второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и
0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп
вероятнее всего принадлежал этот студент?
14
баллов
РАЗДЕЛ 2. Одномерные случайные величины.
1.
Случайная величина задана следующим законом распределения:
X
10
12
15
16
18
P
0,4
0,1
0,2
?
0,1
Найти: 1) неизвестную
вероятность; 2) математическое
ожидание, дисперсию и
среднеквадратическое отклонение; 3) функцию распределения случайной величины F ( X ) и
построить график функции распределения; 4) вероятность того, что X  ( x1 ; x4 ) .
Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах. 14 баллов
2.
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F ( X ) . Требуется
убедиться, что заданная функция F ( X ) является функцией распределения некоторой случайной
величины,
проверив свойства F ( X ) . В случае положительного ответа найдите: а)
дифференциальную функцию f (x ) ; в) математическое ожидание случайной величины X ; c)
дисперсию случайной величины X и среднеквадратическое отклонение; d) построить графики
интегральной F ( X ) и дифференциальной f(x) функций; e) определить вероятность попадания
величины X
в интервал (  ;  ) двумя
способами
(используя
интегральную и
дифференциальную функции), а затем проиллюстрировать этот результат на графиках F ( X ) и
f (x ) .
0, x  2
1

F ( X )   x  1,2  x  4
2
1, x  4
  0;   3
14 баллов
3.
В нормальном
законе распределения математическое ожидание равно 27,
среднеквадратическое отклонение равно 0,55. Чему равно  , если вероятность того, что
случайная величина принимает значения меньше  , равна 0,81.
12 баллов
4.
Рост
взрослой
женщины является случайной величиной,
распределенной
по
нормальному закону с математическим ожиданием 164 см и среднеквадратическим отклонением
5,5 см. Найти плотность вероятности и вычислить вероятность того, что рост наудачу выбранной
женщины будет не меньше 170 см.
12 баллов
РАЗДЕЛ 3. Многомерные случайные величины
1.
Задана функция распределения системы случайных величин
2
1  e  x  e  y  e  x  y , если x  0 и y  0;
F ( x, y)  
0,
если y  0 или x  0.

Найдите плотность вероятности f ( x, y ) и вероятность попадания случайной точки (x, y) в
прямоугольник (0  x  1, 0  y  1). Вычисление вероятности проделайте двумя способами: с
помощью F ( x, y ) и с помощью f ( x, y ) .
14 баллов
2.
Закон распределения системы (x, y) задан таблицей
Y
X
-2
0
2
0
1
0,4
0,2
0
0,2
0,1
0,1
Найдите:
1) законы распределения случайных величин Х и У в отдельности;
2) закон распределения Х при условии, что У  y 2 ;
3) закон распределения Y при условии, что X  x 2 ;
4) вероятность события ( Х  x1; У  y2 ) ;
5) выясните, зависимы ли случайные величины Х и У . Оцените степень
зависимости через коэффициент ковариации.
15 баллов
3.
Система 2–x независимых случайных величин (x, y) распределена по нормальному
закону с параметрами 1=2, 2=4. Напишите плотности вероятности случайных величин x и
y в отдельности и плотность вероятности системы (x, y). Найдите функцию распределения
системы (x, y) и вероятность события (1  x  5, -6  y  2).
15 баллов
РАЗДЕЛ 4. ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ.
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Частота пульса по данным медицинского осмотра 17 девочек-первоклассниц
(1/мин): 76 76 70 66 68 70 72 74 76 78 70 82 68 74 70 70 70.
1) Выполнить первичную статистическую обработку выборочных данных:
построить безынтервальный вариационный ряд и полигон распределения.
2) Сделать точечную оценку генеральных параметров: средней, дисперсии,
среднеквадратического отклонения, моды, медианы.
3) Сделать интервальную оценку генеральной средней (с вероятностью 0,95).
14 баллов
2. При измерении минутного объема сердца у больных получены следующие
значения (в литрах): 4,6; 3,8; 4,2; 5,1; 4,4; 3,9; 7,8; 5,3; 4,5; 4,7; 5,2; 4,1.
Определите, не являются ли некоторые из полученных значений артефактами
вследствие грубых ошибок или особых условий наблюдений. Проверку сделайте
двумя способами: используя правило "трех сигм" и критерий грубых ошибок. Для
данного объема выборки и значения доверительной вероятности 0,95 t st  2,387 .
12 баллов
3. В результате десяти одинаковых проб были получены следующие значения
содержания марганца: 0,69%; 0,70; 0,67; 0,66; 0,67; 0,68; 0,67; 0,69; 0,68;
0,68%.Найдите абсолютную и относительную погрешности измерений содержания
марганца
и оцените его истинное значение с вероятностью 0,95.
12 баллов
3
4. Коэффициент вязкости спирта
определяется
по
формуле   A 
t
,
t0
где
A  0,001Па  с,
t и t 0 – время истечения равных объемов спирта и воды
соответственно. В результате пяти измерений были получены
следующие
численные значения: для t : {6,2; 6,4; 6,4; 6,2; 6,3} с; для t 0 : { 4,1; 4,1; 4,0; 4,0;
3,8 }с. Найдите абсолютную и относительную погрешности измерений вязкости
спирта и оцените его истинное значение с вероятностью 0,95.
14 баллов
РАЗДЕЛ 5.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
1. Измерения пульса 10 больных, проведенные после некоторой процедуры, и 12 больных
контрольной группы дали следующие результаты средних и исправленных дисперсий для 1
группы: x  70 уд мин , s 2 ( x)  9 ; для 2 группы: y  68
уд
мин
, s 2 ( y)  4 . При уровне
значимости   0,05 определить, значимо ли отличаются средние значения пульса у больных
этих двух групп.
12
баллов
2. При анализе раствора вещества двумя методами были получены следующие результаты:
Считая
распределения
 x  98,1, s2x  0,04, nx  6;  y  97,5, s2y   0,06, n y  8 .
изучаемых величин
нормальными, при уровне значимости 0,05 определить: 1)значимость
различий оценок дисперсий; 2) значимость различий средних значений.
12 баллов
3. Химическая лаборатория произвела в одном и том же порядке анализ 8 проб двумя методами.
Получены следующие результаты:
xi
yi
15
15
20
22
16
14
22
25
24
29
14
16
18
20
20
24
Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность, если принять уровень
значимости 0,05? Замечание: судить о точности методов: 1) по величинам дисперсий; 2)
путем сравнения средних двух выборок.
14 баллов
4. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две выборки, объемы которых n x  7 и
n y  5 . В результате
измерения контролируемого размера
отобранных изделий получены
следующие результаты:
xi
1,08
1,10
1,12
1,14
1,15
1,25
1,36
yi
1,11
1,12
1,18
1,22
1,33
Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью при уровне значимости 0,1?
Судить о точности методов: а) по величинам дисперсий; б) путем сравнения средних двух
выборок.
15 баллов
РАЗДЕЛ 6. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННО – РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА
1. Изучали зависимость между ростом (X, см) объемом грудной клетки мужчин Y см 3
Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 7:
164
179
172
182
188
168
:
162
 
:
88
94
98
100
102
108
tнабл  6,7
По результатам наблюдений определили: rху  0,94
112
x  0,96   69
Провести корреляционно-регрессионный анализ:
1) Построить корреляционное поле точек. Какая зависимость обнаружена между признаками
в выборочной совокупности?
4
2) Можно ли распространить выводы о характере связи, обнаруженной в выборочной
совокупности между признаками, на всю генеральную совокупность? Что для этого
необходимо сделать?   0,05
3) Построить линию регрессии.
11 баллов
2. Даны результаты 9 независимых измерений над системой случайных величин (X,Y).
Требуется:
1) построить корреляционное поле;
2) предполагая, что данная зависимость между X и Y близка к линейной, найти
выборочный коэффициент корреляции rxy ;
3) проверить достоверность найденного значения
корреляции при уровне значимости   0,05 ;
4) найти уравнения регрессии Y на X;
выборочного
коэффициента
5) Вычислите прогнозное значение результативного значения Y при увеличении X
на 10 % от максимального уровня.
6) построить линии регрессии на графике экспериментальных данных.
X
15
20
24
30
33
37
36
40
Y
70
74
76
75
78
78
83
85
Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.
42
87
14 баллов
РАЗДЕЛ 7. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ (ANOVA)
1. Изучали влияние рентгеновского излучения на выход сельскохозяйственного сырья (кг).
Результаты наблюдения представлены в таблице.
№ испытания
Уровни фактора
1
2
3
А1
А2
А3
А4
34
37
38
44
46
48
52
51
54
65
70
72
2
2
Расчеты на компьютере показали, что Sфакт
 442,8; Sост
 46,9.
Определить достоверность влияния рентгеновского излучения на выход сельскохозяйственного
сырья на уровне значимости 0,05. Сделать вывод
10 БАЛЛОВ
2. Произведены испытания на каждом из трех уровней фактора F . Методом дисперсионного
анализа на уровне значимости 0,05 оценить влияние фактора F на изменение величины А.
Оценить силу влияния фактора F .
Номер испытания
F1
F2
F3
27
24
22
1
23
20
21
2
29
26
36
3
29
30
37
4
22
32
5
20
6
23
7
14 баллов
5
КАК ОЦЕНИВАЕТСЯ РЕЗУЛЬТАТ
ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ИЗ ПЕРВОГО ЗАДАНИЯ ВЫ РЕШИЛИ 3-Ю
ЗАДАЧУ, ИЗ ВТОРОГО – 3-Ю И Т.Д. И ВСЕ ЗАДАЧИ РЕШЕНЫ
БЕЗУКОРИЗНЕННО, Т.Е СОГЛАСНО ТРЕБОВАНИЯМ.
РЕЗУЛЬТАТ ВАШЕЙ РАБОТЫ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ТАБЛИЦЕ:
ЗАДАНИЕ
1
2
3
4
5
6
7 Суммарное
количество
Задача
3
3
2
1
3
1
1
баллов
Максимальное
количество
12
12
15
14
14
11
10
88
баллов
за задачу
И ЕЩЁ РАЗ ОБРАЩАЕМ ВАШЕ ВНИМАНИЕ НА ТО, ЧТО
МАКСИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО БАЛЛОВ СТАВИТЬСЯ В ТОМ И
ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ВЫ
РЕШЕНИЕ КАЖДОЙ ЗАДАЧИ сопровождали пояснениями:
- указывали метод решения и поясняли решение задачи;
- приводили основные формулы и обосновывали их выбор;
- анализировали полученные результаты и делали выводы.
УСПЕХОВ ВАМ В ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ!
М.П
Заведующий кафедрой _____________ З.А. Филимонова
6