Теория вероятностей, математическая статистика и случайные

Автор-составитель:
Карпухин В.Б., доктор физико-математических наук, профессор кафедры
«Высшая и прикладная математика»
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей,
математическая статистика и случайные процессы» составлен в соответствии
с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального
образования
по
специальности:
220100
“Вычислительные машины, комплексы, системы и сети” (ЭВМ).
Дисциплина входит в федеральный компонент цикла математических и
естественнонаучных дисциплин и является обязательной для изучения.
1. Цели и задачи дисциплины
Методы теории вероятностей, математической статистики и теории
случайных процессов являются мощным средством решения прикладных
задач. Целью изучения данной дисциплины является развитие навыков
применения теоретико-вероятностных методов и использования
моделирования случайных процессов при решении конкретных задач
прикладного характера.
Изучив дисциплину, студент должен:
1.1. Иметь представление о важнейших классах задач, которые могут
быть решены теоретико-вероятностными методами.
1.2. Знать и уметь использовать основные понятия теории
вероятностей, методы сбора и обработки статистических данных; владеть
основами теории случайных функций.
1.3. Иметь опыт решения задач, перечисленных в п. 1.1., на ЭВМ с
применением пакетов прикладных программ.
2. Содержание дисциплины
2.1. Введение
Учебный план заочного обучения специальности 220100
“Вычислительные машины, комплексы, системы и сети” (ЭВМ) содержит
математическую дисциплину “Теория вероятностей, математическая
статистика и случайные процессы”. Эта дисциплина изучается на III курсе.
Объем дисциплины рассчитан на 100 часов работы студента-заочника. Из
них 20 часов – аудиторные занятия: 8 часов лекций, 12 часов практических
занятий и 50 часов – самостоятельная работа. По окончании изучения
дисциплины необходимо выполнить и защитить курсовую работу, а также
сдать экзамен.
2.2 Рабочая программа дисциплины
“Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы”.
Рабочая программа дисциплины разбита на разделы: “Теория
вероятностей”, “Математическая статистика”, “Элементы теории случайных
процессов”. Для удобства самостоятельной работы студента - заочника
разделы разбиты на темы и пункты, в которых даны подробные указания на
литературу, рекомендуемую для изучения темы, и задачи для
самостоятельного решения. В квадратных скобках указаны номера
учебников, учебных пособий, задачников и справочников из списка
литературы, который приводится ниже.
Для каждой темы даны вопросы для самопроверки. Указано также,
какую часть курсовой работы может выполнить студент после изучения
данной темы.
Раздел I. Теория вероятностей
Тема 1. Случайные события.
1. Предмет теории вероятностей. Виды событий. Понятие случайного
события. Операции над событиями и отношения между ними. Классическое
определение вероятности. Свойства вероятности. Относительная частота
появления события. Геометрическая вероятность.
[1, введение, гл.I, §1-4, зад.1-4, §5-8, зад.11, 12; 11, зад.1-10, 17, 18; 15,
§1-3].
2. Определение условной вероятности. Независимость событий.
Вероятность произведения событий. Теоремы сложения и умножения.
Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса.
[1, гл.II, §1-4, зад.1-3, 5, 6; гл. III, §1-5, зад. 1, 3, 4, 6, 8, 10, 13; гл. IV, §13, зад. 1-4, 11, 13; 11, зад. 46-49, 51, 54, 56, 57, 66-69, 80, 83, 89, 95, 97, 100,
105, 107; 15, §4, 5].
3. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли.
Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа.
[1, гл. V, §1-4, зад. 1, 4, 5, 7, 8, 11; 11, зад. 110-112, 119-121, 125, 126,
132; 15, §10; 5, гл. 4, §3, зад. 17,19; 11, зад. 179, 180].
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте классическое определение вероятности. В чем
ограниченность этого определения? В чем различие между вероятностью и
относительной частотой?
2. Когда применяют геометрическое определение вероятности?
Почему в этих случаях нельзя пользоваться классическим определением?
3. Дайте определение суммы событий. Приведите примеры: суммы
двух несовместных событий; суммы двух совместных событий.
4. Сформулируйте и докажите теорему о сложении вероятностей
несовместных событий.
5. Дайте определение произведения событий. Приведите примеры:
произведения двух независимых событий; произведения двух зависимых
событий.
6. Что такое условная вероятность?
7. Сформулируйте теорему об умножении вероятностей для двух
событий (общий случай). Какую форму принимает эта теорема в случае,
когда события независимы?
8. Приведите формулу полной вероятности.
9. Приведите формулы Байеса.
10.Что такое схема Бернулли?
11.В каких случаях применяются: формула Бернулли; теорема
Пуассона; теорема Муавра-Лапласа?
После изучения темы 1 студент может выполнить пункты 1-10
курсовой работы (см. стр. 25-27).
Тема 2. Случайные величины
4. Определение случайной величины. Дискретные случайные
величины. Закон распределения вероятностей. Примеры распределений:
распределение Пуассона, биномиальное распределение.
[1, гл. VI, §1-5, зад. 1-5; 11 зад 164-167, 170, 171; 15, §6-8].
5. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Их
свойства и вычисление.
[1, гл. VII, §1-5, зад. 1-4, 7; гл.VIII, §1-10, зад. 1-4, 9,10; 11, зад. 188-192,
198, 207, 208-216].
6. Непрерывные случайные величины. Функция распределения
случайной величины и ее свойства. Плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины, ее свойства.
[1, гл. X, §1-3, зад.1-3; гл. XI, §1-6, зад. 1-4; 11, зад. 252-254, 262-265,
268; 15, §6, 9].
7. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Их
свойства и вычисление.
[1, гл. XII, §1, зад. 1-3; 11, зад.. 275-277, 280, 292-295, 297].
8. Примеры непрерывных распределений: равномерное распределение;
нормальное распределение; показательное распределение. Их числовые
характеристики.
[1, гл. XII, §2-15; зад. 6-9; гл. XIII, §1-3, зад. 1-3; 11, зад. 307, 308, 314,
315, 322-326, 328, 331, 332, 347-350].
9. Система двух случайных величин. Закон распределения
вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция
распределения и плотность распределения непрерывной двумерной
случайной величины.
[1, §1-4, 7, 11, 13, 14, зад. 1-5; 11, зад. 408-413].
10. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые
характеристики системы двух случайных величин. Ковариация и
коэффициент корреляции. Линейная регрессия. Линейная корреляция.
[1, §16-21; 11, зад.430, 434-436].
1. Приведите
величин.
Вопросы для самопроверки
примеры дискретных и непрерывных
случайных
2. Что называется законом распределения вероятностей случайной
величины?
3. Что называется математическим ожиданием случайной величины?
Как оно обозначается? Докажите его свойства.
4. Что называется дисперсией случайной величины? Как она
обозначается?
Докажите
ее
свойства.
Как
взаимосвязаны
среднеквадратическое отклонение и дисперсия?
5. Чему
равны
числовые
характеристики
биномиального
распределения; распределения Пуассона?
6. Что называется функцией распределения случайной величины?
Сформулируйте ее свойства. В чем различие графиков функций
распределения для непрерывной и для дискретной случайных величин?
7. Дайте определение плотности распределения вероятностей
непрерывной случайной величины, сформулируйте ее свойства.
8. Как найти вероятность того, что непрерывная случайная величина
примет значение из данного интервала, если известна: ее функция
распределения; ее плотность распределения вероятностей?
9. Как взаимосвязаны функция распределения и плотность
распределения вероятностей случайной величины?
10.Найдите M[X] и D[Х] случайной величины, распределенной
равномерно на интервале (а; в).
11.Каков вероятностный смысл параметров а и σ случайной величины,
распределенной по нормальному закону? Напишите плотность нормального
распределения.
12.В чем заключается “правило трех сигм”? Как, пользуясь этим
правилом, найти наименьшее и наибольшее значения нормально
распределенной случайной величины?
13.Сколько параметров имеет показательное распределение? Как найти
для данного распределения M[X], σ[X]?
14.Как, имея закон распределения вероятностей двумерной дискретной
случайной величины, найти законы распределения компонент?
15.Как взаимосвязаны понятия коррелированности и зависимости
случайных величин?
16.Напишите уравнение прямой регрессии случайной величины
Y на X.
После изучения темы 2 студент может выполнить пункты 11-30
курсовой работы (см. стр. 27-30).
Тема 3. Закон больших чисел и предельные теоремы.
11. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших
чисел для последовательности независимых случайных величин. Теорема
Чебышева. Теорема Бернулли.
[1, гл. IX, §1-6, зад. 1-3; 11, зад. 236, 239-243, 247-249; 4, гл. 13, §13.113.5].
12. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства
(теоремы о взаимно однозначном и непрерывном соответствии
характеристических функций и функций распределения). Центральная
предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Теорема
Ляпунова.
[1, гл. XII, §8, гл.V, §2-4, зад. 8-11; 15, §10; 4, §13.6-13.9].
Вопросы для самопроверки
1. Докажите неравенство Чебышева. Сформулируйте теорему
Чебышева.
2. Приведите примеры применения теоремы Чебышева; неравенства
Чебышева.
3. Докажите, что теорема Бернулли является следствием теоремы
Чебышева.
4. Определите характеристические функции случайной величины и
сформулируйте их свойства.
5. Дайте формулировку центральной предельной теоремы; теоремы
Ляпунова.
6. Сформулируйте интегральную и локальную теоремы МуавраЛапласа. Приведите примеры их применения.
Раздел II. Математическая статистика
Тема 1. Выборочный метод. Статистические оценки
параметров распределения.
13. Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная
совокупности. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая
функция распределения. Полигон. Гистограмма.
[1, гл. XV, §1-8, зад. 1-3; 11, зад.439, 441, 442].
14.Статистические оценки параметров распределения. Требования к
статистическим оценкам: несмещенность, состоятельность, эффективность.
Точечное и интервальное оценивание. Примеры применения. Погрешность
оценки.
[1, гл. XVI, §1, 2; 7, §5.1, 5.2; 8, гл. 7, §7.1-7.3; 4, гл. 14, §14.1].
15. Точечное оценивание. Основные методы: метод моментов, метод
максимального правдоподобия. Оценка генеральной средней по выборочной
средней. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
[1, гл. XVI, §3-5, 8-10, 13, зад.1-4; 11, зад.451, 454, 459, 471-474; 7, §5.3.
5.4; 8, гл.8, §8.1, 8.2].
16. Распределение средней для выборок из нормальной генеральной
совокупности. Распределение Стьюдента. Распределение дисперсии для
выборок из нормальной генеральной совокупности. Распределение Пирсона
 2 . Распределение Фишера-Снедекора.
[1, гл. XII, §13-15; 7, гл. V, §5.5, 5.6, гл. VI, §6.4].
17. Интервальное оценивание. Доверительный интервал, доверительная
вероятность (надежность). Доверительный интервал для оценки
математического ожидания нормального распределения при известном и
неизвестном среднеквадратическом отклонении. Доверительный интервал
для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального
распределения.
[1, гл. XVI, §14-16, 18, зад.8, 10, 13; 11, зад. 501, 508, 512-514; 8, гл. V,
§5.7-5.10; 8, гл.9, §9.1-9.9, зад. 9.4, 9.5].
18. Статистические методы обработки экспериментальных данных.
Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Способы
отбора. Вычисление объема выборки. Эмпирические и выравнивающие
(теоретические) частоты. Оценка отклонения эмпирического распределения
от нормального. Построение нормальной кривой по опытным данным.
[1, гл. XV, §4-6; гл. XVII, §1-8, зад. 1-3; 7, гл. VII, §7.1-7.3].
 
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте две основных задачи математической статистики.
2. Что такое генеральная совокупность?
3. В чем суть выборочного метода? Что называется выборкой;
репрезентативной выборкой; повторной и бесповторной выборкой? Как
определить необходимый объем выборки?
ё4. Каковы различия между эмпирической и теоретической функциями
распределения?
5. Какие требования предъявляются к статистическим оценкам
параметров распределения?
6. Что является точечной оценкой генеральной средней; генеральной
дисперсии?
7. В чем состоит метод моментов точечной оценки неизвестных
параметров распределения?
8. Для чего применяется метод максимального правдоподобия? Как его
применять для дискретных и непрерывных случайных величин?
9. Что является точечной оценкой генеральной средней; генеральной
дисперсии?
10. Когда применяется интервальное оценивание; точечное
оценивание?
11. Что такое доверительная вероятность (надежность)?
12. Как построить доверительный интервал для оценки
математического ожидания нормального распределения при известном и
неизвестном среднеквадратическом отклонении?
После изучения темы 1 студент может выполнить пункты 31-40
курсовой работы (см. стр. 30).
Тема 2. Статистическая проверка статистических гипотез.
19. Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи
проверки статистической гипотезы. Понятие о критериях согласия.
Критическая область, критические точки. Виды критических областей.
[1, гл. XIX, §1-7; 7, гл. VI, §6.1; 8, гл. 10, §10.1-10.3; 4, гл. 7, §7.6].
20. Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных
генеральных совокупностей при известном и неизвестном
среднеквадратическом отклонении. Критерий Стьюдента. Проверка гипотезы
о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.
Критерий Фишера-Снедекора. Проверка гипотезы о значении параметров
нормального распределения.
[1, гл. XIX, §10-13, зад.1-5; 7, гл. VI, §6.2-6.4; 8, гл.10, §10.5, 10.6; 11,
зад. 554, 556, 560, 567, 568, 570 ,572, 574, 581].
21. Проверка гипотезы о законе распределения. Проверка гипотезы о
нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия
Пирсона  2 . Методика вычисления теоретических частот нормального
распределения. Проверка гипотезы о распределении генеральной
совокупности по закону Пуассона. Критерий Романовского.
[1, гл. XIX, §23, 24; 11, §16, 17, 21, зад.634-637; 662-663; 7, гл. VI, §6.5].
 
Вопросы для самопроверки.
1. Что называют статистической гипотезой? Приведите примеры
нулевой, конкурирующей, простой, сложной гипотез.
2. Что называется ошибкой первого рода; второго рода?
3. Дайте определение критической области. Какие виды критических
областей вам известны? Приведите примеры критериев для каждого случая.
4. Что называется уровнем значимости?
5. Что такое критерий согласия? Поясните обозначения : Т – критерий,
F – критерий;  2 - критерий; R – критерий.
6. Сформулируйте правило проверки гипотезы о законе распределения
с помощью критерия согласия Пирсона.
После изучения темы 2 студент может выполнить пункты 41-50
курсовой работы (см. стр. 30-32).
Тема 3. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.
22. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
Понятие регрессии. Линейная и нелинейная регрессия. Кривые регрессии их
свойства.
[1, гл. XVIII, §1-3; 7, гл. IX, §9.1-9.3, 9.5; 8, гл.11, §11.1-11.3; 5, гл. IX].
23. Корреляционная таблица. Выборочный коэффициент корреляции.
Методика его вычисления. Оценка тесноты связи. Выборочное
корреляционное отношение, его свойства. Интервальное оценивание
коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии.
[1, гл. XIII, §5-8, 10-13, зад. 1(в), 2(в); 7, гл. IX, §9.3, 9.6-9.8; 5, гл. IX,
§1].
24. Линейная регрессия. Выборочные уравнения регрессии. Отыскание
параметров выборочного уравнения прямой регрессии методом наименьших
квадратов по несгруппированным и сгруппированным данным.
[1, гл. XVIII, §4-6 , 9; 7, гл. IX, §9.4; 8, гл. 11, §11.3, 5, гл. IX, §2; 11, зад.
535, 536].
25. Нелинейная регрессия. Определение параметров нелинейных
уравнений регрессии методом наименьших квадратов непосредственно и с
помощью линеаризующих замен переменных. Параболическая регрессия.
[1, гл. XVIII, §14; 7, гл.IX, §9.5; 8, гл. 11, §11.2, 11.5; 11, зад. 537, 538].
26. Понятие о множественной корреляции. Множественная линейная
регрессия.
[1, гл. XVIII, §15; 7, гл.IX, §9.9; 5, гл. IX, §3].
Вопросы для самопроверки
1. Что называется статистической и корреляционной зависимостями?
2. Дайте определение выборочного коэффициента корреляции и
перечислите его свойства.
3. Что называют линейной регрессией, нелинейной регрессией,
множественной регрессией?
4. Что называется выборочным корреляционным отношением? Каковы
достоинства и недостатки этой меры тесноты связи?
5. Как найти параметры выборочного уравнения прямой регрессии Y
на X; Х на Y?
После изучения темы 3 студент может выполнить пункты 51-60
курсовой работы (см. стр. 32-36).
Раздел III. Элементы теории случайных процессов.
Тема 1. Основные понятия теории случайных процессов.
27. Определение случайного процесса. Классификация случайных
процессов в зависимости от характера множества состояний и от характера
множества значений аргумента. Примеры процессов разных типов.
[9, гл.1, §1.1; 10, гл.1].
28.* Случайные процессы с дискретными состояниями. Процессы с
дискретным временем. Процессы с непрерывным временем. Потоки событий.
Цепи Маркова. Процессы гибели и размножения с непрерывным временем.
[9, гл.2-5; 17, гл. III, §1-3].
* Указание: случайные процессы с дискретными состояниями
подробно изучаются студентами специальности ЭВМ в дисциплине “Теория
массового обслуживания” [18; 19], предусмотренной учебными планами на
III курсе, параллельно с дисциплиной “Теория вероятностей, математическая
статистика и случайные процессы”.
29. Случайные процессы с непрерывными состояниями. Понятие о
случайной функции. Способы задания случайных функций. Виды случайных
функций. Характеристики случайных функций, их определение из данных
опыта.
[9, гл.1, §1.2; 4, гл.15, §15.1-15.4; 7, гл. X, §10.1-10.4; 1, гл. XXIII, §1-14,
зад.1-6].
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение случайного процесса; случайной функции (с.ф.);
реализации с.ф.
2. Приведите примеры случайных процессов четырех различных
видов.
3. Что такое сечение случайной функции?
4. Перечислите характеристики случайных функций.
5. Что называется корреляционной (автокорреляционной) функцией
с.ф. Что она характеризует?
6. Что такое центрированные и нормированные характеристики с.ф.?
Тема 2. Преобразования случайных функций
30. Преобразования случайных процессов. Методы определения
характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам
исходных случайных функций. Канонические разложения с.ф.
[9, гл.6, §6.1; 4, гл.16, §16.1, 16.2]
31. Линейные и нелинейные операторы. Линейные преобразования
случайных функций. Линейные преобразования с.ф., заданных
каноническими разложениями. Характеристики суммы с.ф.; производной от
с.ф.; интеграла от с.ф.
[9, гл.6, §6.2, 6.3; 4, гл.15, §15.6-15.8, 1, гл. XXIII, §15-17, зад..7-14; 11,
зад.784-786, 794-796, 811, 814, 816].
32. Комплексные случайные величины и их числовые характеристики.
Комплексные случайные функции и их характеристики.
[9, гл.6, §6.4; 4, гл.15, §15.9; 1, гл. XXIII, §18,19].
Вопросы для самопроверки
1. Какие случайные функции называются элементарными?
2. В чем заключается идея метода канонических разложений
случайных функций?
3. Когда применяются интегральные канонические представления?
4. Сформулируйте правило линейного преобразования канонического
разложения с.ф.
5. Дайте определения характеристик комплексной случайной
величины. Как их вычислить по характеристикам мнимой и действительной
части?
Тема 3. Стационарные случайные функции
33. Понятие о стационарном случайном процессе. Эргодическое
свойство стационарных случайных функций. Определение характеристик
эргодических с.ф. по одной реализации. Преобразование стационарной с.ф.
стационарной линейной системой.
[9, гл. 7, §7.1, 7.3, 7.4; 4, гл. 17. §17.1, 17.5-17.8; 7, гл X, §10.6-10.7; 1,
гл. XXV. §1-8].
34. Элементы спектральной теории стационарных с.ф. Спектральное
разложение стационарной с.ф. на конечном и бесконечном интервале. Спектр
дисперсий. Спектральная плотность стационарной с.ф. Спектральное
разложение стационарных с.ф. в комплексной форме. Дельта-функция.
Стационарный белый шум.
[9, гл. 7, §7.2; 4, гл. 17, §17.2-17.4; 1, гл. XXV, §1-8, зад. 1-3, 7].
Вопросы для самопроверки
Какой случайный процесс называется стационарным? Каким
свойствами обладает автокорреляционная функция стационарного с.п.?
Что такое спектр дисперсий с.ф. ?
Когда пользуются нормированной спектральной плотностью
стационарной с.ф.?
Что называется частотной характеристикой линейной системы?
Сформулируйте правило преобразования стационарной случайной
функции стационарной линейной системой.
В чем состоит эргодическое свойство стационарных случайных
функций? Почему для определения характеристик такой функции достаточно
одной реализации?
После изучения этого раздела студент может выполнить пункты 61-80
курсовой работы ( см. стр. 36-38).
После изучения разделов I-III рабочей программы выполняется II
часть курсовой работы “Статистическое моделирование случайных величин”
(см. стр. 38-40).
3. Перечень тем лекционных и практических занятий.
Для студентов-заочников специальности ЭВМ рекомендуется
следующее распределение часов аудиторных занятий:
4. Курсовая работа
После освоения материала выполняется курсовая работа. Контроль
знаний студента осуществляется в форме защиты курсовой работы и сдачи
экзамена по курсу.
5. Рекомендуемая литература
Основная
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: Высшая школа, 2003.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2003.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 2002.
4. Вентцель Е.С., Овчаров А.А. Теория случайных процессов и ее
инженерные приложения. - М.: Наука, 2000.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. – Оникс 2009.
6. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятности. Математическая
статистика. Учебное пособие., 1998
7. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теория массового
обслуживания 2011
Дополнительная
1. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по
теории вероятностей . - М.: Наука, 1989.
2. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей., 1996.
3. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы,
методология., 2001.
4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория
вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.
5. Гусева Е.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:
Флинта:Наука
21.Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся вузов. – М.: Наука, 1986.
6. Задание на курсовую работу для специальности ЭВМ
Курсовая работа состоит из двух частей: I часть содержит задачи по
основным разделам теории вероятностей, математической статистики и
теории случайных процессов; II часть включает выполнение самостоятельной
работы по статистическому моделированию случайной величины c заданным
законом распределения и проверке всех его характеристик с
соответствующими выводами о качестве датчика.
Выбор варианта для выполнения I части производится в соответствии с
таблицей.
Студент выполняет вариант, номер которого совпадает с последней
цифрой его учебного шифра. Например, студент, имеющий учебный шифр
00-ЭВМ-72357, выполняет задачи 7, 17,27,37,47, 57,67, 77, содержащиеся в
варианте №7. Если учебный шифр оканчивается на 0, то студент решает
задачи варианта №10.
6.1. Часть I. Задачи по теории вероятностей, математической
статистике и теории случайных процессов.
1. Отдел технического контроля получил партию из 1000 деталей.
Вероятность того, что взятая наугад деталь окажется дефектной, равна 0,001.
Найти вероятность того, что в партии дефектны: а) хотя бы одна деталь; б)
две детали; в) более двух деталей.
2. На экзамене предлагаются задачи по трем темам: по первой теме – 15
задач; по второй теме – 20 задач; по третьей теме – 25 задач. Вероятность
того, что студент сможет решить задачу по первой теме равна 0,7; по второй
– 0,9; по третьей – 0,3. Студент справился с задачей. Какова вероятность
того, что ему попалась задача по первой теме?
3. В каждой из двух урн содержится восемь черных и два белых шара.
Из второй урны наудачу переложили в первую один шар, а затем из первой
урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый из
первой урны шар окажется черным.
4. Электронное устройство состоит из четырех элементов работающих
независимо. Вероятность безотказной работы в течение месяца
соответственно равны 0,6 для первого элемента; 0,8 для второго; 0,7 для
третьего и 0,9 для четвертого. Найти вероятность того, что в течение месяца
будут безотказно работать: а) все четыре элемента; б) только один элемент;
в) не менее двух элементов.
5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,9.
Найти вероятность того, что при ста выстрелах мишень будет поражена 90
раз.
6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в
цель при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7; из второго –
0,6; из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд
попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) все три снаряда
попадут в цель.
7. Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что “герб”
выпадет: а) три раза; б) менее трех раз; в) не менее трех раз.
8. Прибор состоит из двух узлов. Если отказывает хотя бы один узел
прибор не функционирует. Вероятность безотказной работы в течение дня
равны соответственно для первого узла 0,9, а для второго 0,8. В течение дня
прибор отказал. Найти вероятность того, что отказал первый узел, а второй
исправен. Отказы узлов происходят независимо.
9. На вычислительный центр поставлены дисплеи двух
производителей: 30% - от первого, а остальные – от второго поставщика.
Вероятность наличия скрытого дефекта дисплея от первого поставщика
равна 0,05, а от второго 0,01. Какова вероятность того, что случайно
выбранный дисплей имеет скрытый дефект?
10. Какова вероятность того, что при 100 бросаниях монеты “цифра”
выпадет: а) хотя бы один раз; б) не менее 45 и не более 55 раз?
11-20. Задана непрерывная случайная величина Χ функцией
распределения F(х). Требуется : 1) найти плотность распределения
вероятностей f(x) ; 2) схематично построить графики функций f(x) и F(х);
3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое
отклонение случайной величины Х; 4) найти вероятность того, что Х примет
значение из интервала ( ;  ).
11.

0, x  0,



F x   sin 2x , 0  x  ,
4



x .
1,
4

   ,

 ,
8
12.
0, x  0,
 2
x
F x    , 0  x  4,
 16
1,
x  4.

13.


0, x  2 ,


2

F x   cos 3x ,
x 
,
2
3


2
x
.
1,
3

14.
0, x  0,
 3
x
F x    , 0  x  2,
8
1,
x  2.

15.
3

0, x  2 ,

3
5

F x   2 cos x ,
x 
,
2
3


5
x
.
1,
3

16.

0 , x  0 ,

 3 2
F x   x , 0  x  1,
1,
x  1.



17.

0, x  0,



F x    2 sin x , 0  x  ,
4



x .
1,
4

  2,
  4,

,
2

  ,
  0,
  1,
   ,


5
,
3
1
,
4
  1,


,
6


,
4
18.

0, x  1,

F x   x  1, 1  x  2,
1,
x  2.


19.

0, x  0,



F x   1  cos x , 0  x  ,
2



x .
1,
2

20.
0 , x  2 ,

F x   x  22 , 2  x  3,
1,
x  3.

3
,
2
  ,



,
3


,
2
  1,
  3,
21-30. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое
отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Написать
плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график.
Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала ;   .
Определить приближенно максимальное и минимальное значения случайной
величины Х, следуя правилу “трех сигм”. Найти вероятность того, что Х
примет значение, превышающее β; найти интервал, симметричный
относительно математического ожидания а, в котором с вероятностью 
будут заключены значения случайной величины Х.
  2,
  9,   19,   0,99.
21. a  15,
  4,
  10,   22,   0,98.
22. a  14,
  3,
  11,   19,   0,96.
23. a  13,
  5,
  11,   22,   0,94.
24. a  12,
  2,
  10,   17,   0,92.
25. a  11,
  4,
  6,   18,   0,90.
26. a  10,
  3,
  8,   18,   0,88.
27. a  9,
  4,
  6,   12,   0,86.
28. a  8,
  3,
  6,   10,   0,84.
29. a  7,
  2,
  4,   12,   0,82.
30. a  6,
31-40. Заданы среднее квадратическое отклонение σ нормально
распределенной случайной величины Х, выборочная средняя x B и объем
выборки n. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного
математического ожидания а с доверительной вероятностью  =0,95.
  5.
31. x B  25,12, n  100,
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
xB
xB
xB
xB
xB
xB
xB
xB
xB
 25,22,
 25,32,
 25,42,
 25,52,
 25,62,
 25,72,
 25,82,
 25,92,
 26,02,
n  81,
n  49,
n  36,
n  225,
n  64,
n  121,
n  16,
n  144,
n  64,
  6.
  7.
  8.
  9.
  10.
  11.
  2.
  3.
  4.
41-50. В результате проверки n контейнеров установлено, что число
изделий Х, поврежденных при транспортировке и разгрузке, имеет
эмпирическое распределение, сведенное в таблицу, где xi - количество
поврежденных изделий в одном контейнере, ni - частота этого события, т.е.
число контейнеров, содержащих xi поврежденных изделий. При уровне
значимости α требуется проверить гипотезу о том, что случайная величина Х
распределена по закону Пуассона. Использовать критерий согласия Пирсона
(Х2).
41. n=50; α=0,05
42. n=200; α=0,02
43. n=100; α=0,05
44. n=200; α=0,01
45. n=100; α=0,02
46. n=100; α=0,05
47. n=150; α=0,02
48. n=50; α=0,05
49. n=200; α=0,01
50. n=100; α=0,02
51-60. Данные наблюдений над двумерной случайной величиной
(Х; Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших
квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X .
y
x  x  .
y x  y  rb
x
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61-70. Найти спектральную плотность стационарной случайной
функции Х(t), если ее корреляционная функция имеет вид
61.
1   ,   1,
k x   
 1 .
0,
63.
1  0,2  ,   5,
k x   
 5 .
0,
65.
1  0,5  ,   2,
k x   
 2 .
0,
66. k x   e
 0, 3 
67.
1  0,25  ,   4,
k x   
 4 .
0,
68. k x   e
 0, 2 
69.
1

1  2  ,   2 ,
k x   
1
0 ,

.
2

62. k x   e
64. k x   e
70. k x   e
 0, 5 
2 

.
.
.
.
.
71-80. На вход линейной стационарной динамической системы,
описываемой данным дифференциальным уравнением, подается
стационарная случайная функция Х(t) с математическим ожиданием m x и
корреляционной функцией k x   . Найти: а) математическое ожидание;
б) дисперсию случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся
режиме.
2 
mx  6,
k x   5e .
71. Y t   3Y t   X t   4 X t ,
72. 3Y t   Y t   4 X t   X t ,
mx  5,
k x   6e
2 
.
73. Y t   2Y t   5 X t   6 X t ,
mx  5,
k x   e

.
74. 3Y t   5Y t   X t   X t ,
mx  2,
k x   2e
3 
75. 2Y t   Y t   X t   3 X t ,
mx  4,
k x   3e

76. Y t   3Y t   3 X t   X t ,
mx  9,
k x   5e
77. 4Y t   3Y t   X t   2 X t ,
78. Y t   3Y t   3 X t   X t ,
.
3 
mx  3,
k x   e
mx  12,
k x   e
.
5 
2 
.
.
.
79. 2Y t   3Y t   X t   5 X t ,
mx  3,
k x   2e
5 
80. Y t   4Y t   3 X t   2 X t ,
mx  8,
k x   3e
2 
.
.
6.2. Часть II. Статистическое моделирование
случайных величин.
Формулировка задания: построить статистическую модель заданной
нормальной случайной величины Х.
Исходные данные:
1. Объем выборки n=50.
2. Математическое ожидание М(Х)
и среднеквадратическое
отклонение σ(Х) нормальной случайной величины Х для 10 вариантов
задания представлены в таблице 1.
3. r – случайное число.
Таблица 1
Порядок построения статистической модели
1. По таблице 3 равномерно распределенных случайных чисел,
приведенной в приложении 3, начиная с числа 10 левого верхнего угла найти
заданное случайное число r (см. задание) и подряд построчно выбрать и
записать 50 двухзначных случайных чисел.
2. Каждому случайному числу ri , i  1,...,50 придать значение из
интервала (0; 1), например 10  0,10; 09  0,09; 73  0,73; 25  0,25; 33  0,33
и т.д., и поставить в соответствие значение x0i , i  1,...,50 нормированной
нормальной случайной величины Х0 по следующему правилу:
ri  0,5 : ri  0,5  Ф x0i   x0i (по таблице 2 приложения 2 величине
Ф x0i  поставить в соответствие положительное число x0i . Например,
r3  0,73  0,5 : 0,73  0,5  0,23  0,61  x03 );
ri  0,5 : 0,5  ri  Ф x0i    x0i (по таблице 2 приложения 2 число x0i ,
соответствующее величине Ф x0i  , взять со знаком минус. Например,
r1  0,10  0,5 : 0,5  0,1  0,4  1,28  x01 );
ri  0,5 : 0  Ф x0i   x0i  0 .
Суть изложенного правила объясняется с помощью рис. 1.
Рис. 1. Плотность вероятностей нормированной нормальной случайной величины Х0
ri  P   X 0  x0i   0,5  Ф x0i   x0i
3. Каждому значению x0i , i  1,...,50 , поставить в соответствие
значение xi , i  1,...,50 , заданной нормальной случайной величины Х:
xi  x0i    X   M  X .
12
 50
2
x
   xi  xв  
 i
 .
 в   i1
4. Найти xв  i 1 ,


50
49




5. Построить гистограмму плотности относительных частот
nj
для k=7, 8, 9,10.
f j* 
n  hk
x
 xmin
Здесь j=1, …, k, k  max
- число частичных интервалов наблюдения
hk
случайной величины Х, hx – длина частичного интервала наблюдения
случайной величины Х, xmin  min{ xi , i  1,...,50}, xmax  max{ xi , i  1,...,50}.
6. Выбрать наилучшую гистограмму по критерию Гn:
50



2
k
Г n 50  min   f i  f *j ,
k  j 1



k  7 ,8,9,10,


где
fj 


 x  M X  2 
j
exp

2X 
2 2 X  

1
- плотность вероятностей случайной
1

величины Х в точке x j  xmin   j  hk , j  1,....,k .
2

7. Повторить расчет для выборок объемом n = 100 и 200. Убедиться в
проявлении закона устойчивости относительной частоты, как общей
тенденции уменьшения величины критерия Гn с увеличением объема
выборок n.
7. Оформление курсовой работы
Титульный лист курсовой работы оформляется в соответствии с
приложением 1 ( см. стр. 45 ).
Текст пишется от руки обычной или шариковой ручкой на одной
стороне белой бумаги формата А4 (297 Х 210 мм) чернилами (пастой) одного
цвета, но не красного и не зеленого. Каждая страница текста должна иметь
поля слева – 30 мм, справа – 10 мм, сверху и снизу – 20 мм в соответствии с
ГОСТами ЕСКД по оформлению текстовых документов.
Все страницы, включая рисунки, таблицы, схемы, диаграммы, графики,
должны иметь единую порядковую нумерацию. Номер страницы
проставляется в правом верхнем углу.
Диаграммы, графики, рисунки, блок–схемы выполняются в карандаше,
тушью, черными чернилами на формате А4, или кратном ему, на белой
бумаге, или кальке, или миллиметровой бумаге. Все иллюстрации
обозначаются сокращенно, например, “Рис. 2.3” с соответствующим
номером.
Цифровой материал представляется в виде таблиц. Каждая таблица
должна иметь тематический заголовок. Таблицы нумеруются выше заголовка
таблицы в верхнем правом углу, например, “Таблица 1.3” (символ № не
пишется).
В конце приводится список литературы, использованной при
разработке курсовой работы.
Располагать литературу в списке рекомендуется в такой же
последовательности, в какой она упоминается в тексте.
В приложения курсовой работы выносятся все вспомогательные
расчеты, программы для ЭВМ и т.п. Приложение должно иметь
содержательный заголовок и пронумеровано, например, “ПРИЛОЖЕНИЕ 1”.
Брошюровка курсовой работы производится в следующем порядке:
титульный лист, задание на курсовую работу, оглавление, текст работы,
приложения к ней и 4-5 чистых страниц.
В конце работы ставится личная подпись и дата сдачи работы на
проверку.
Преподаватель проверяет курсовую работу, делает замечания, которые
фиксируются в конце работы и в тексте на полях. После устранения всех
недостатков курсовая работа допускается к защите, что удостоверяется
подписью преподавателя: “к защите”. Выставляется дата допуска.
8. Защита курсовой работы
Защита работы проводится по тестовым заданиям для I части и в форме
качественной беседы для II части. Формулировка вопросов и ответы на них
фиксируются в конце работы на чистых страницах. Приведем примеры
тестовых заданий для I части курсовой работы.
Вопрос №1. В урне 3 белых, 5 черных и 7 красных шаров. Наугад
вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара либо белые, либо
черные.
Вопрос №2. Написать выборочное уравнение прямой регрессии Y на
X, если известно, что xв  19,45, yв  9,26, xв2  395,75, ув2  91,90,
 nxy xy  18860 , n  100.
Вопрос №3. Вероятность появления события в каждом из 900
независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что
относительная частота отклонится от вероятности по абсолютной величине
не более чем на 0,02.
Вопрос №4. Дискретная случайная величина Х задана законом
распределения
Найти функцию распределения и построить ее график.
Вопрос №5. Плоскость разграфлена параллельными прямыми так, что
получаются квадраты со стороной 20 см. На плоскость брошена монета
радиуса 1 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной
прямой.
Вопросы по II части курсовой работы носят качественный характер и
существенно зависят от характера ошибок и недочетов, допущенных
студентом в процессе выполнения работы. Приведем примеры вопросов по II
части курсовой работы.
Вопрос №1. Как меняется гистограмма плотности относительных
частот с увеличением k?
Вопрос №2. В чем состоит свойство устойчивости относительной
частоты?
Вопрос №3. Как меняется гистограмма плотности относительных
частот нормально распределенного количественного признака с ростом
М (Х); с уменьшением  (Х) теоретического распределения?
9. Сдача экзамена по курсу
После защиты курсовой работы студент сдает экзамен. Экзамен
проводится по билетам. Каждый билет содержит два теоретических вопроса
и одну задачу. Приведем пример экзаменационного билета.
Билет №41
1. Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных
генеральных совокупностей при известном и неизвестном
среднеквадратическом отклонении. Критерий Стьюдента.
2. Способы задания случайных функций. Виды случайных функций.
Характеристики случайных функций. Их определение из данных опыта.
3. Задача. В экзаменационном билете два теоретических вопроса и одна
задача. Вероятность того, что студент решит задачу равна 0,7. Из 50
теоретических вопросов он знает 25. Какова вероятность того, что студент
ответит правильно на весь билет?
Задания на контрольную работу для студентов-заочников специальности ИСЖ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
В РОИТ МИИТ изданы различные учебно-методические пособия,
помогающие студенту сделать контрольную работу, написать курсовую
работу. Ниже приведен список.
Методические пособия
 Синдаловский Г.Х. Высшая математика. Основные понятия
теории вероятностей. – М.: РГОТУПС, 1997.
 Гушель Н.П. Начальные понятия комбинаторики: Учеб. пособ. –
М.: ВЗИИТ, 1992.
 Малышева И.А. Теория вероятностей и массового обслуживания:
Рабочая программа, методические указания и контрольные
задания для студентов-заочников II курса специальности УПП. –
М.: ВЗИИТ, 1991.
 Малышева И.А. Теория массового обслуживания. Методические
указания по выполнению контрольных задач для студентов III
курса специальностей ИСЖ и ЭВМ. – М.: РГОТУПС, 2002.
 Малышева И.А. Теория массового обслуживания. Рабочая
программа и задания на контрольную работу для студентов III
курса специальностей ИСЖ и ЭВМ. – М.: РГОТУПС, 2002.
Пример методических указаний к решению задач по теории
вероятностей
Классическое определение вероятности события А
m
P  A  ,
n
где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих
появлению события А, а n – общее число элементарных исходов испытания,
если эти элементарные исходы равновозможные и образуют полную группу.
Для решения задач теории вероятности используют понятие числа сочетаний.
Числом сочетаний из n элементов по k в каждом, называют число
соединений, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n
элементов и которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний из n по k обычно обозначается Сnk
n!
Сnk 
k ! n  k !
n! (то есть n факториал) означает произведение всех натуральных чисел от
единицы до n, т.е.
n!  1 2  3...n.
5!
1 2  3 4  5

 10
Например С53 
3! 5  3! 1 2  3  1 2 
Пример: В партии из 20 деталей имеется 18 стандартных. Наудачу отобраны
5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 4
стандартных.
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу
способов, которыми можно извлечь 5 деталей из 20 деталей, то есть С 5
20
(числу сочетаний из 20 элементов по 5 элементов)
Число элементарных исходов, благоприятствующих интересующему нас
событию (что среди 5 деталей ровно 4 стандартных) можно сосчитать
следующим образом: четыре стандартных детали можно взять из 18
стандартных деталей С 4 способами; при этом оставшаяся одна деталь
18
5  4  1 должна быть нестандартной. Взять одну нестандартную деталь из
 20 18  2 двух нестандартных можно С12 способами.
Итак, число благоприятствующих исходов равно
18!
2! 1516 17 18 1 2
С 4  С1 



 6120
18 2 4!14! 1!1!
1 2  3 4
11
Общее число элементарных исходов
20! 16 17 1819  20
C5 

 15504
20 5!15!
1 2  3 4  5
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих
наступлению события к общему числу всех исходов. При этом оставшаяся
одна деталь  5  4  1 должна быть нестандартной. Взять одну
нестандартную деталь из  20 18  2  двух нестандартных можно С1
2
способами.
Итак, число благоприятствующих исходов равно
18!
2! 1516 17 18 1 2
С 4  С1 



 6120
18 2 4!14! 1!1!
1 2  3 4
11
Общее число элементарных исходов
20! 16 17 1819  20
C5 

 15504
20 5!15!
1 2  3 4  5
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих
наступлению события к общему числу всех исходов.
P
6120 765 255


15504 1938 646
Справедливы следующие теоремы:
1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
Вероятность появления одного из двух несовместных событий,
безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.
P  A  B   P  A  P  B 
2. Теорема умножения вероятностей независимых событий:
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий.
P  A  B   P  A  P  B 
3. Теорема умножения вероятностей зависимых событий:
Вероятность совместного появления двух событий равна
произведению одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.
P( AB)  P( A)  P B
( A)
Обратите внимание на то, что теорема 2 является частным случаем теоремы
3, так как для независимых событий P B - вероятность события В при
( A)
условии наступления события А, то есть условная вероятность, равна
безусловной вероятности P( B) .
4. Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность
появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления
P( A  B)  P( A)  P(B)  P( AB)
Теоремы верны не только для двух событий, но и для большого числа.
Пример 1. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле
равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с
вероятностью, меньшей 0,4 , можно было ожидать, что не будет ни одного
промаха?
Введем обозначения событий:
Событие A - ни при одном выстреле не будет промаха.
Событие A - при первом выстреле не будет промаха.
1
Событие A - при втором выстреле не будет промаха.
2
…
Событие Ai - при i-м выстреле не будет промаха (i=1,2,3…n)
Интересующее нас событие A состоит в совмещении событий A , A … An
1 2
A  A  A  A ... An
1 2 3
P( Ai )  0.8 , при i= 1,2,3…n
События Ai независимы в совокупности, поэтому применим теорему
умножения независимых событий.
P( A)  P( A  A ... An )  P( A )  P( A )...P( An )  0.8
1 2
1
2
По условию задачи
0.8n  0.4
Следовательно
И lg0.8  lg0.4
Т.к. lg0.8  0
lg0.4
И
lg0.8
И получим, что n  5
Если события A , A … An независимы в совокупности и их вероятности
1 2
равны P , P … Pn ;
1 2
Пусть в результате испытания может наступить один из них, или любые два,
или любые три, или так далее, или все эти события, или не одного из них, то
справедлива теорема 5. Вероятность наступления события A , состоящего в
появлении хотя бы одного из A , A … An , независимых в совокупности,
1 2
равна разнице между единицей и произведением вероятностей
противоположных событий A , A ... An
1 2
P( A)  1  q  q ...qn
1 2
Если все события имеют одинаковую вероятность P, то вероятность
появления хотя бы одного из них
P( A)  1  q n
( q  1 p )
Пример. В электронную цепь последовательно включены три элемента,
работающие независимо один от другого. Вероятность отказа элементов
P  0.1 , P  0.2 , P  0.3
3
1
2
Найти вероятность того, что тока в цепях не будет. Так как элементы
включены последовательно, тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один
элемент.
Искомая вероятность
P( A)  1  q  q  q  1  (1  0.8)(1  0.2)(1  0.3)  1  0.9  0.8  0.7  0.496
1 2 3
Теорема 6. (формула полной вероятности)
Вероятность события А, которое может наступать лишь при появлении
одного из событий B , B ..., Bn , образующая полную группу, равна сумме и
1 2
произведений вероятностей каждой из гипотезна соответствующую
условную вероятность события А :
P( A)  P( B )  P ( A)  P( B )  P ( A)  ...  P( Bn )  P ( A) ,
Bn
1 B
2 B
1
2
где P( B ) + P( B ) +…+ P( Bn ) =1
1
2
Теорема 7. (Формула Байеса)
Пусть событие Ф может наступать лишь при условии появления одного из
несовместных событий (гипотез) B , B ,.., Bn , которые образуют полную
1 2
группу событий . Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез
могут быть переоцененные по формуле Байеса
P  P ( A)
B Bi
P ( Bi )  i
(i=1,2,…n)
A
P( A)
Пример. Число грузовых автомашин проезжающих по шоссе, на котором
стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по
тому же шоссе как 3:2 .Вероятность того, что будет заправляться грузовая
машина, равна 0.1; для легковой машины эта вероятность равна 0.2. К
бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовик.
Введем обозначения событий. А- событие заключающееся в том, что машина
подъехала на заправку. Сделаем 2 гипотезы. В -машина легковая. В 1
2
машина грузовая. Подсчитаем вероятность того, что выбранная наудачу
машина будет заправляться.
 
 
 
 
Р  А  Р В  Р  А  Р В  Р  А .
1 В1
2 В2
Р  А  0.2 . Р  А  0.1 .
В1
В2
2n 2
3
Р В   . P B  .
1 5n 5
2 5
2
3
P  A   0.2   0.1  0.14 .
5
5
Событие А произошло. Машина подъехала заправиться. Вероятность того,
3
 0.1 3
P B  P  A
2
B
2
5
что это грузовая машина: P B 

 .
2
P  A
0.14 7
Теорема 8 (Формула Бернулли). Вероятность того, что в n независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна Р
(а не наступления q=1-p), события наступят ровно К раз, равна:
Pn  K   Cnk  P k  q nk .
Пример. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей 2
мальчика (вероятность рождения мальчика равна 0.51). Обозначим А
событие, состоящее в рождении мальчика. Можно сказать, что производятся
испытания, при которых вероятность появления события А в каждом
испытании не зависит от исходов других испытаний и зависит от других
испытаний и равна Р=0.51. Вероятность того что в пяти независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность события А равна
Р=0.51(q=0.49) событие А наступит ровно 2 раза равна:
5!
P  2   C 2  P2  q52 
 0.512  0.493  0.312 .
5
5
2! 3!
С помощью этих теорем можно решить первую задачу.
 
 
Задача 2 . Относится к разделу непрерывные случайные величины.
Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает
значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные
изолированные значения. Дискретная случайная величина задается таблицей
или графиком, или аналитически. Характеристикой среднего значения
случайной величины служит математическое ожидание. Математическим
ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений
всех ее возможных значений на их
вероятности: M  X   X P  X P  ...X n Pn . Дисперсией случайной величины
11
2 2
Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной
2
величины от ее математического ожидания: D  X   M  X  M  X   (1) Так
2
же дисперсию удобно вычислять по формуле: D  X   M X 2   M  X   (2).
 
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют
квадратный корень из дисперсии   X   D  X  .Очевидно, невозможно
задать непрерывную случайную величину таблицей, так как она принимает
все значения из какого-либо конечного или бесконечного промежутка, таких
значений бесчисленное множество, перечислить их нельзя. Для задания
непрерывной случайной величины используют функции распределения.
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для
каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет
значение меньше х т.е. F  x   P  X  x  .Иногда вместо слов “функция
распределения’’ говорят “интегральная функция распределения’’. Эта
функция обладает следующими свойствами:
1.Значение функции распределяется
Линия принадлежит отрезку 0;1
O  X 1
2.Функция распределения, неубывающая функция
F X F X
если X > X
2
1
2
1
3.Вероятность того, что случайная величина X примет значение,
заключенное в интервале
 a, b  равна приращению интегральной функции распределения на этом
интервале.
P  a  x  b   F b   F  a 
4.Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно
определенное
Значение равное нулю P x  x  0
1
5.Если все возможные значения случайной величины X принадлежат
интервалу  a, b  , то
F  x   0 при x  a
F  x   1 при x  b
6.Справедливы следующие соотношения
lim F x  0 ; lim F  x   1
x  
x
Функцию распределения иначе называют интегральной функцией
распределения, потому что имеется дифференциальная функция
распределения или функция плотности распределения.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины
называют первую производную от функции распределения: f  x   F '  x  .
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет
значение, принадлежащее интервалу  a, b  определяется равенством
b
P  a  x  b    f  x dx
a
   


Зная плотность распределения, можно найти интегральную функцию
распределения
x
F  x    f  x dx

Свойства функции плотности:
1.Плотность распределения неотрицательна, то есть f  x   0
2.Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах

от  до  равен единице:  f  x dx  1

В частности, если все возможные значения случайной величины
b
принадлежат интервалу  a, b  , то  f  x dx  1
a
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X ,
возможные значения которой принадлежат всей оси X , определяется так:

M  x    xf  x dx , где

f  x  - плотность распределения случайной величины X .
В частности, если все возможные значения непрерывной случайной
величины X принадлежат интервалу  a, b  , то
b
M  x    xf  x dx
a
Медианой M  x  непрерывной случайной величины X называют, то ее
возможное значение, которому соответствует локальный максимум
плотности распределения.
Медианой M e  x  непрерывной случайной величины X называют, то ее
возможное значение, которое определяется следующим равенством:
P  x  M e  x    P  x  M e  x  
Дисперсия непрерывной случайной величины X определяется равенством
2

D  x     x  M  x   f  x  dx

Соответствующим формуле ( * * ) из части, посвященной дискретным
случайным величинам, или
Пример: Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
x0
 0


F  x   sin 2 x при 0  x 
4

1


x
4
1.Найдем плотность распределения X .
Плотность распределения равна первой производной от функции
распределения
x0
 0


F  x   F '  x   2cos 2 x при 0  x 
4

0


x
4
Заметим, что при x  0 производная F '  x  не существует.
 
2.Найдем вероятность того, что X примет значения из интервала  ; 
 12 4 
а) Можно воспользоваться формулой:
P  a  x  b   F (b)  F (a)



F    sin 2   sin  1
4
2
4


 1
F    sin 2  sin 
12
6 2
 12 


1 1
P   x    1  
4
2 2
 12
б) Можно воспользоваться формулой:
2x  t


 

 2dx  dt 
b
4
2
P  a  x  b    f ( x)dx   2cos 2 xdx         cos tdt  sin t
a

6  
2
12
 6
 


 4
2 

1 1
2
  1 2  2
6
3. Найдем математическое ожидание величины Х.



4
14
M ( x)   xf ( x)dx   x  2cos x2 xdx    2 x  cos 2 x  d  2 x  
20

0






2x  t 
 2
 
2




 1

1 
  0  0    t cos tdt  t sin t 2   sin tdt     cos t 2  
20
2
 22

0


0
0 




  
2
4
1 
 1
   1  
22  4 2
4. Найдем дисперсию случайной величины Х. Воспользуемся формулой:

2
D  x    x2 f ( x)dx   M  x   


2
4 2
2 1 2  1  3
 1
  2 x cos 2 xdx     
 
   
4
2
16
2
16
4 4 4 4


0
Непрерывные случайные величины могут быть распределены
равномерно. Равномерным называют распределение вероятностей случайной
величины X, если на интервале (а,b), которому принадлежат все возможные
1
значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f ( x) 
;
ba
вне этого интервала f ( x)  0 .
Непрерывные случайные величины могут быть распределены по
показательному закону. Показательным законом или экспоненциальным
называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X,
заданной плотностью
  xпри x  0
f ( x)  e

0 при x  0
 -положительная постоянная величина.
Непрерывные случайные величины могут быть распределены по
нормальному закону. Нормальным называют закон распределения
вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которой имеет
вид
2
  x a 
1
f  x 
 e 2 2
2 
где a – математическое ожидание,
 - среднестатистическое отклонение Х.
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
 ,  
 a 
  a 
  
 , где

  
  
P   x     
t2
1 x 2
  x 
dt - функция Лапласа
l
2 0
Вероятность данного отклонения ( т.е. вероятность того, что нормально
распределённая величина X отклонится от своего математического ожидания
a не более чем на  )
 

 
P  X  a <   2 
Во всех учебниках по теории вероятности имеются таблицы значений
функции Лапласа и соответствующей функции плотности.
Для нормального распределения справедливо “правило трёх сигм”
P  X  a <3   0,9973
Что означает, что 99,73% значений нормально распределенной величины X
лежит в интервале
 a  3 ; a  3  .
Хорошо видно на графике функции плотности нормально распределённой
случайной величины X .
Пример. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
нормально распределённой случайной величины X соответственно равны
10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания х примет
значении, заключенное в интервале (12; 14)
Функция плотности случайной величины х имеет вид:
( x10) 2
1
f ( x) 
l
8
2 2
Воспользуемся формулой:
P(
x  )  (
 a
 a
)  (
)


(12 x 14)  (2)  (1)  0,4772  0,3413  0,1359
Значения Ф взяты из таблицы значений функции:
t 2
1
 ( x) 
l 2 dt
2
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ
Основной объем учебной работы студент выполняет самостоятельно,
изучая рекомендуемую литературу, в соответствии с учебным материалом
рабочей программы, выполняя курсовую работу или контрольную работу
и подготовку к сдаче зачета по контрольной работе и экзамена по курсу
дисциплины, предусмотренные учебным планом. При необходимости
студент консультируется у преподавателя. Лекционные и практические
занятия в вузе во время учебной сессии являются установочными.
В процессе обучения рекомендуется использовать современные
версии пакетов прикладных программ для математических расчетов:
Mathematica, Matlab,Mathcad, Maple,Derive, Excel,Statistica. Применение
компьютерной техники и прикладных программ имеет целью сокращение
времени выполнения расчетов и оформления полученных результатов, но
не может заменить изучение и освоение метода решения задач. Поэтому
задачи и необходимые примеры с выполнением всех промежуточных
расчетов предварительно решаются вручную и лишь затем, при
необходимости использовать освоенные методы и будучи уверенным в
правильности их применения и получения ожидаемых результатов, в
целях сокращения времени на рутинную работу применяется
быстродействующая вычислительная техника.
МАТЕРИАЛЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО, ИТОГОВОГО
КОНТРОЛЯ
Защита работы проводится по тестовым заданиям для I части и в форме
качественной беседы для II части. Формулировка вопросов и ответы на них
фиксируются в конце работы на чистых страницах. Приведем примеры
тестовых заданий для I части курсовой работы.
Вопрос №1. В урне 3 белых, 5 черных и 7 красных шаров. Наугад
вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара либо белые, либо
черные.
Вопрос №2. Написать выборочное уравнение прямой регрессии Y на
X, если известно, что xв  19,45, yв  9,26, xв2  395,75, ув2  91,90,
 nxy xy  18860 , n  100.
Вопрос №3. Вероятность появления события в каждом из 900
независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что
относительная частота отклонится от вероятности по абсолютной величине
не более чем на 0,02.
Вопрос №4. Дискретная случайная величина Х задана законом
распределения
Найти функцию распределения и построить ее график.
Вопрос №5. Плоскость разграфлена параллельными прямыми так, что
получаются квадраты со стороной 20 см. На плоскость брошена монета
радиуса 1 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной
прямой.
Вопросы по II части курсовой работы носят качественный характер и
существенно зависят от характера ошибок и недочетов, допущенных
студентом в процессе выполнения работы. Приведем примеры вопросов по II
части курсовой работы.
Вопрос №1. Как меняется гистограмма плотности относительных
частот с увеличением k?
Вопрос №2. В чем состоит свойство устойчивости относительной
частоты?
Вопрос №3. Как меняется гистограмма плотности относительных
частот нормально распределенного количественного признака с ростом
М (Х); с уменьшением  (Х) теоретического распределения?
Сдача экзамена по курсу
После защиты курсовой работы студент сдает экзамен. Экзамен
проводится по билетам. Каждый билет содержит два теоретических вопроса
и одну задачу. Приведем пример экзаменационного билета.
Билет №41
1. Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных
генеральных совокупностей при известном и неизвестном
среднеквадратическом отклонении. Критерий Стьюдента.
2. Способы задания случайных функций. Виды случайных функций.
Характеристики случайных функций. Их определение из данных опыта.
3. Задача. В экзаменационном билете два теоретических вопроса и одна
задача. Вероятность того, что студент решит задачу равна 0,7. Из 50
теоретических вопросов он знает 25. Какова вероятность того, что студент
ответит правильно на весь билет?