Номер - Кафедра Высшей Математики

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
Дисциплина "Дифференциальные уравнения,
алгебра и аналитическая геометрия»
Факультет
Инженерной механики
Курс 1
Номер
недели
1
1-2
3-4
5-6
7-8
9-10
группы МИ- 12 - 1 - 4
Весенний семестр 2012/2013
учебного года
Лектор доцент С.Е.Носов
Лекции
2
Неопеределенный интеграл и его свойства.
Интегрирование по частям. Замена под знаком
неопределенного интеграла.
Интегрирование дробно-рациональных функций. Понятие
комплексного числа. Неприводимый многочлен. Понятие
простой дроби. Теорема о разложении на простые дроби.
Метод выделения полного квадрата.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Подстановки Эйлера. Интегрирование
Тригонометрических функций. Универсальная
тригонометрическая подстановка.
Определенный интеграл Римана. Свойства. Класс
интегрируемых функций. Интегрируемость суммы и
произведения функций.
Определенный интеграл как функция верхнего предела
интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Замена под
знаком определенного интеграла. Интегрирование по
частям.
Колво
часов
3
2
УЧЕБНЫЙ ПЛАН :
Всего часов
76
Лекции
Практич. занятия
18
54
Практические занятия
Колво
часов
5
6
2
4
Интегрирование подведением под знак
дифференциала. Интегрирование по частям
.
Интегрирование дробно-рациональных функций
2
Интегрирование иррациональных выражений.
6
Интегрирование тригонометрических выражений
6
Применение формулы Ньютона-Лейбница. Замена
переменной.
6
Форма контроля
(Рейтинговая оценка)
6
Контрольная работа №1 на
подведение под
дифференциал (10 баллов)
6
Контрольная работа №2 по
теме неопределенный
интеграл
1
2
2
11-12
Приложения определенного интеграла. Вычисление
площади, длины спрямляемой кривой, объема тела.
Несобственный интеграл первого и второго рода..
Признак сравнения. Сходимость в смысле главного
значения по Коши.
Числовые ряды. Необходимый признак сходимости.
Признак сравнения. Интегральный признак Коши.
Признаки Даламбера и радикальный Коши.
Абсолютная и условная сходимость. Признак
Лейбница.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Область
сходимости степеннго ряда. Ряды Тейлора. Понятие
функционального ряда и равномерной сходимости.
Дифференцирование и интегрирование степенного
ряда.
2
Вычисление длин, площадей и объемов.
6
2
Исследование сходимости несобственных
интегралов.
6
2
Исследование сходимости числовых рядов.
6
2
Исследование сходимости степенных рядов.
6
13-14
15-16
17-18
4
Литература: Письменный Д.Т. Курс лекций по высшей математике, ч.1,2. Айрис Пресс, 2002
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М.Наука, 1985, т.1,2.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М. Профессия, 2007.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.- М. Наука, 2000.
Лектор потока
Вопросы к экзамену (ХТ –О9-1-6, 3 семестр )
Носов С.Е.
5
6
Контрольная работа №3 Определенный
интеграл 15 баллов
Контрольная работа №4
Числовые и степенные ряды.
20 баллов
1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка (общее решение, начальное условие, частное решение, теорема существования ).
3. Уравнения с разделяющимися переменными.
4. Однородные уравнения.
5. Линейные уравнения первого порядка.
6. Уравнение Бернулли.
7.Дифференциальные уравнения второго порядка.
8. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
9. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства решений.
10. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
11. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
12 Линейная зависимость и независимость решений.
13. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
14. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Фундаментальная
система решений.
15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью
f(x)P
x)eax.
n(
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью
ax




f
(
x
)

e
P
(
x
)
sin
bx

Q
x
cos
bx
n
m
17. Метод наложения решений.
18. Метод вариации произвольных постоянных (линейное уравнение второго порядка).
19. Дифференциальные уравнения высших порядков.
20. Определение функции нескольких переменных. Изображение. Предел.
21. Непрерывность функции двух переменных . Основные свойства непрерывных функций двух переменных.
22. Частные производные первого порядка. Геометрический смысл.
23. Полный дифференциал(теорема).
24. Производная сложной функции.
25. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
26. Неявные функции и их дифференцирование.
27. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
28. Наибольшее и наименьшее значения функций двух переменных.
29. Скалярное поле и его геометрическое изображение.
30. Производная по направлению.
31. Градиент. Связь градиента с производной по направлению.
32. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
33. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
34. Задача о вычислении объема цилиндрического тела.
35. Определение двойного интеграла. Свойства. Теорема существования.
36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
38. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла.
39. Приложения двойного интеграла.
40. Тройной интеграл. Свойства.
41. Вычисление тройного интеграла.
42 Приложения тройного интеграла.
Примерный вариант экзаменационного билета.
(3 семестр)
Теоретические вопросы:
1. Уравнение Бернулли. (4 балла)
2. Градиент. Связь градиента с производной по направлению. (4 балла)
Практические задания:
1. Найти общее решение уравнения
2xyyx y
2 2
(5 баллов)

xy

xy
6,y x 1  2
2. Найти частное решение уравнения 2
(5 баллов)
x



y

2
y

y

3
e

x

1
3. Найти общее решение уравнения
(6 баллов)
2
y
3z
.Найти
4. zarcsin
y 2 x
x
5. Вычислить данный интеграл
(5 баллов)
2
lny
1
0
x
dye dx
(6 баллов)
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
2
2
2
4

x

y

z

x

y

z
в точке М(2;3;6) .
(5 баллов)