Высшая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ИНЖЕНЕРНАЯ ШКОЛА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
Высшая математика
280102.65 «Безопасность технологических процессов и производств»
Квалификация выпускника – инженер
Форма подготовки очная/заочная
Инженерная школа
Кафедра безопасности жизнедеятельности в техносфере
курс __1,2/1,2,3__ семестр _1,2,3 _
лекции 180/64 (час.)
практические работы 126/36
всего часов аудиторной нагрузки__306/98__ (час.)
самостоятельная работа ___252/458___ (час.)
экзамен ___1/2/3_____ семестр
Учебно-методический комплекс составлен на основании требований государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования № 304 тех/дс от
5.04.2000г.
Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры алгебры,
геометрии и анализа «31 августа 2011.
Составила Ксендзенко Л. С.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ИНЖЕНЕРНАЯ ШКОЛА
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (РПУД)
Высшая математика
280102.65 «Безопасность технологических процессов и производств»
Квалификация выпускника – инженер
Форма подготовки очная/заочная
Инженерная школа
Кафедра безопасности жизнедеятельности в техносфере
курс __1,2/1,2,3__ семестр _1,2,3 _
лекции 180/64(час.)
практические работы 126/36 (час.)
всего часов аудиторной нагрузки__306/98__ (час.)
самостоятельная работа ___252/458___ (час.)
экзамен ___1/2/3_____ семестр
Рабочая программа составлена на основании требований государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования № 304 тех/дс от 5.04.2000г.
Рабочая программа дисциплины обсужден на заседании кафедры алгебры, геометрии и анализа
«31» августа 2011г.
Составила Ксендзенко Л. С.
Оборотная сторона титульного листа РПУД
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 20___ г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ ______________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 20___ г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ ____________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
I.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ.
Целью изучения курса Высшей математики является усвоение математических
методов, дающих возможность моделировать устройства, процессы и явления, исходя из выбранного студентом направления и будущей деятельности как специалиста.
Результатом изучения высшей математики должно стать умение обучаемых, решать математические задачи, обрабатывать и анализировать исходные данные, составлять математическую модель задачи.
Многоуровневая система образования в Российской Федерации предполагает на
первых двух уровнях получения базового Высшего образования и присвоение образовательно-квалификационной степени бакалавра наук по избранному направлению подготовки. На этом этапе предполагается повышение качества образования
на основе фундаментализации образовательных программ. Высшая математика относится к фундаментальным дисциплинам, государственный стандарт которой
имеет вид: Аналитическая геометрия и линейная алгебра; последовательности и
ряды; дифференциальное и интегральное исчисление; векторный анализ и элементы теории поля; гармонический анализ, дифференциальные уравнения, численные
методы, функции комплексного переменного.
Элементы функционального анализа, вероятность и статистика: теория вероятностей, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных. На основе этого образовательного стандарта и составлена настоящая рабочая программа курса высшей
математики. Результатом реализации рабочей программы предполагается выработать у студентов навыки и умения.
Знать и уметь использовать:
—
основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики;
—
математические модели простейших систем и процессов в естествознании и
техники;
—
вероятностные модели для конкретных процессов и проводить необходимые расчёты в рамках построенной модели.
Иметь опыт:
—
употребления математической символики для выражения количественных и
качественных отношений объектов;
—
исследования моделей и учётом их иерархической структуры с оценкой
пределов применимости полученных результатов;
—
использования основных приёмов экспериментальных данных;
—
аналитического и численного решения алгебраических уравнений;
—
исследования аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
II.
НАЧАЛЬНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ.
Базой для изучения курса Высшей математики является программа по математике средней школы, на основе которой обучаемые должны уметь:
—
производить арифметические действия над числами, заданными в виде
обыкновенных и десятичных дробей, с требуемой точностью округлять
данные числа и результаты вычислений, пользоваться калькулятором или
таблицами для вычислений;
—
проводить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции;
—
строить график линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и тригонометрической функций;
—
решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства, приводящиеся к ним, решать системы уравнений и неравенств
первой и второй степени и приводящиеся к ним, в том числе и простейшие
уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции;
—
решать задачи на составление уравнений и систем уравнений;
—
изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие
построения на плоскости;
—
использовать геометрические представления при решении алгебраических
задач, а методы алгебры и тригонометрии – при решении геометрических
задач.
III.
Название темы
Семестр
№
СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТЕЙ
КУРСА
1.
2.
3.
4.
5.
Виды учебной
работы, включая самостоятельную работу
студентов и
трудоемкость (в
часах)
ПЗ СР
лекции
I семестр
Раздел 1 «Линейная алгебра»
Матрицы. Виды матриц и опера- 1 4
4
4
ции над ними. Определитель матрицы. Вычисление определителей 2-го
и 3-го порядков.
Метод Крамера, системы m- 1 4
4
4
линейных
уравнений
с
nнеизвестными, метод Гаусса.
Матрицы и действия над ними,
1 4
4
4
обратные матрицы, решение систем
линейных уравнений с помощью
обратной матрицы.
Линейные пространства. Линей- 1 4
2
4
ное отображение – матрица. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.
Раздел 2 «Векторная алгебра»
Векторная алгебра – линейные 1 4
4
4
операции, линейная зависимость
векторов, базис, ортогональная про-
Формы текущего
контроля успеваемости
(по неделям семестра)
Форма
промежуточной аттестации
(по семестрам)
СР «Конечные суммы»
ИДЗ
«Определители и
системы»
ИДЗ «Скалярное
произведение векторов»
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15
екция, декартова прямоугольная и
полярная системы координат.
Скалярное, векторное, смешан1
ное произведение векторов, их приложения, основные задачи.
4
4
4
Раздел 3 «Аналитическая геометрия»
Прямая на плоскости – уравне1 4
4
4
ние прямой в отрезках каноническое
уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две точки,
уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом, условия параллельности и перпендикулярности прямых, расстояние от точки до
прямой.
Плоскость – уравнения плоско- 1 8
4
8
сти в отрезках, уравнение плоскости, проходящей, через три точки,
расстояние от точки до плоскости.
Прямая в пространстве – её ка- 1 8
4
8
ноническое, параметрическое уравнения, основные задачи на прямую
и плоскость в пространстве.
Кривые второго порядка – эл- 1 4
2
8
липс, гипербола, парабола их канонические уравнение и сведения о
них.
Преобразование декартовой си- 1 4
2
8
стемы координат: поворот и параллельный перенос. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду.
Поверхности второго порядка, их 1 4
2
8
канонические уравнения и сведения
о них.
Раздел 4 «Введение в математический анализ»
Определение функции в том 1 4
2
4
числе и функции нескольких переменных. Область определения и область значения функций. Способы
задания функций. Классы элементарных функций.
Числовая
последовательность. 1 4
2
4
Монотонные последовательности.
Предел последовательности. Теорема Вейерштрасса (без доказательства).
Предел одной функции одной 1
или нескольких переменных. Бесконечно большие и бесконечно малые
4
4
4
ИДЗ «Векторное и
смешанное произведение векторов»
СР «Векторы»
ИДЗ «Прямая на
плоскости»
КР «Прямая на
плоскости»
ИДЗ «Прямая и
плоскость в пространстве»
ИДЗ «Кривые второго порядка»
ИДЗ «Поверхности
второго порядка»
ИДЗ «вычисление
пределов»
№
Название темы
4
6
4
72
54
84
Семестр
функции. Алгебраические операции
над функциями имеющими предел.
Эквивалентные бесконечно малые
функции.
16.
Непрерывность функции в точке 1
и области, в том числе и для функции нескольких переменных. Односторонние пределы и классификация точек разрыва. Свойства функций непрерывных на замкнутом
множестве.
Всего за семестр
экзамен
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и трудоемкость (в часах)
СР
лекции ПЗ
2 семестр
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
1
2
3
4
5
6
7
Производная функции, её геометриче- 2
2
ский и механический смысл. Производная
постоянной, аргумента, суммы, произведения и частного
Производные элементарных функций; 2
2
производная сложной функции; производная обратной функции; непрерывность
дифференцируемой функции
Производная неявной функции. Произ2
2
водная функции, заданной параметрические;
гиперболические функции, и их свойства и
графики. Производные гиперболических
функций. Таблица производных
Дифференциал функции, его связь с про- 2
2
изводной. Геометрический смысл дифференциала. Свойства. Производные и дифференциалы высших порядков.
Теорема Ролля, Лагранжа, Коши. Рас- 2
2
крытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя
Неопределённый интеграл.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Первообразная, её свойства. Неопреде- 2
лённый интеграл и его свойства. Таблица
интегралов. Простейшие приёмы интегрирования
Интегрирование по частям. Замена пере- 2
менной в неопределённом интеграле. Интегрирование простейших дробей
2
2
2
2
1
2
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Комплексные числа: алгебраическая,
2
геометрическая, показательные формы.
Действия над комплексными числами, их
геометрическая интерпретация. Формула
Эйлера
Интегрирование выражений, содержащих в 2
знаменателе квадратный трёхчлен.
2
1
2
2
1
2
Разложение дробной рациональной функции 2
2
1
на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций
Интегрирование выражений, содержащих 2
2
1
тригонометрические функции.
Интегрирование некоторых иррациональ- 2
2
1
ных выражений. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
Исследование функций одной переменной.
2
Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа и Пеано. Приложения формулы Тейлора.
Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточные условия локального
экстремума. Наибольшее и наименьшее
значения функций
Выпуклости функции вверх и вниз в точке и на отрезке. Необходимое и достаточные
условия выпуклости (вогнутости). Точки
перегиба графика
Вертикальные и наклонные асимптоты.
Построения графика функции на основе исследования с помощью производных первого и второго порядка
Обзорная лекция по курсу первого семестра
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Функции нескольких переменных.
Функции нескольких переменных. Об- 2
2
ласть определения. Предел функции. Непрерывность. Частные производные
Дифференцируемость функции несколь- 2
2
ких переменных, полный дифференциал,
связь с частными производными. Достаточное условие дифференцируемости
Производные от сложных функций. Ин- 2
2
вариантность формы полного дифференциала. Неявные функции. Теорема существования. Производные неявной функции
Касательная плоскость и нормаль к по- 2
2
верхности. Геометрический смысл полного
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
дифференциала функции двух переменных.
Частные производные высших порядков.
Теорема о независимости результата дифференцирования от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков
Экстремум функции нескольких пере- 2
2
менных. Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие максимума и минимума. Функции нескольких переменных
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Задачи, приводящие к обыкновенным
дифференциальным уравнениям: общее решение, частное решение, начальные и краевые условия. Задача Коши для уравнения 1го порядка. Теорема о существовании и
единственности решения задачи Коши
(формулировка)
Дифференциальные уравнения первого
порядка: с разделяющимися переменными,
однородные, линейные, в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения высших
порядков. Задача Коши. Теорема о существовании единственности решения задачи
Коши (формулировка). Общее и частное
решение. Уравнения, допускающие понижение порядка
Линейные уравнения высших порядков.
Свойства линейного дифференциального
оператора. Линейно-зависимые и линейнонезависимые системы функций
Линейные однородные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система
решений. Структура общего решения. Линейные однородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа, вариации произвольной постоянной. Метод подбора
частного решения по виду первой части
Система дифференциальных уравнений.
Нормальные системы. Решение нормальных
систем методом исключений. Решение линейной системы матричным методом
Исследование решений уравнения колебаний. Фазовые «портреты» систем. Понятие об устойчивых и неустойчивых состояниях колебательной системы
Разностные схемы численного решения
Задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: аппроксимация, сходи-
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
мость, устойчивость. Метод Эйлера, метод
Рунге-Кутта 4-го порядка
Определённый интеграл и его приложения.
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Задачи, приводящие к понятию опреде- 2
лённого интеграла. Определённый интеграл,
как предел интегральных сумм. Основные
свойства определённого интеграла. Теорема
о среднем
Интеграл с переменным верхним преде- 2
лом. Теорема Барроу о производной интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям
Несобственные интегралы с бесконеч- 2
ными пределами и от неограниченных
функций. Теоремы сравнения. Абсолютная
и условная сходимости
Приближённые вычисления определён- 2
ных интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона
Приложения определённых интегралов к 2
вычислению площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах, к вычислению объёмов тел. Определение и вычисление длины дуги кривой. Дифференциал
длины дуги
Механические и физические приложения 2
определённого интеграла.
Кратные интегралы.
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
Задачи, приводящие к понятием двойного, тройного, криволинейного и поверстного
интегралов. Основные свойства кратных интегралов
Геометрический смысл двойного интеграла. Его вычисление в декартовых координатах. Переход от декартовых координат
к полярным. Двойной интеграл в полярных
координатах
Тройной интеграл в декартовых координатах. Замена переменной в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических
и сферических координатах
Определение криволинейных интегралов
I и II типов, их свойства и вычисление
Односторонние и двусторонние поверхности. Определение поверхностных интегралов I и II типов, их вычисление. Формулы Остроградского и Стокса. Связь поверхностных интегралов с тройными и криволинейными
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
43
44
45
46
47
48
№
Скалярное поле. Поверхности уровня
скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля
Векторное поле. Векторные линии. Физические параметры
Поток векторного поля через поверхность. Его физический смысл в поле скоростей жидкости
Дивергенция векторного поля, её физический смысл. Теорема Остроградского в
векторной форме. Соленоидальные поля, их
основные свойства
Линейный интеграл в векторном поле.
Циркуляция векторного поля, её физический
смысл. Теорема Стокса в векторной форме
Ротор поля, его определение и физический смысл. Потенциальные поля, условие
потенциальности. Вычисление потенциала
векторного поля
Всего за семестр
Название темы
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
экзамен
72
54
96
Семестр
Векторный анализ и элементы теории поля.
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и трудоемкость (в часах)
СР
лекции ПЗ
3 семестр
Теория вероятностей.
1
2
3
4
Элементы комбинаторики. Предмет теории вероятностей. Статическое определение вероятности. Алгебра событий
Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности.
Аксиомы теории вероятностей
Теоретико-множественное определение вероятности: пространство элементарных событий, вероятностное
пространство. Различные определения
вероятности, как частный случай вероятностного пространства
Условная вероятность. Теорема
умножения. Независимость событий.
Несовместимость и независимость
3
2
1
3
3
2
1
3
3
2
1
3
3
2
1
3
5
6
7
8
9
10
11
12
13
событий. Формула полной вероятности и формула Байеса
2
Случайная величина. Дискретные и 3
непрерывные случайные величины.
Функция распределения. Дифференциальный закон распределения или
плотность вероятности
2
Последовательность независимых 3
испытаний. Схема Бернули. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Параметры дискретных распределений: Пуассона, биноминальное,
геометрическое, гипергеометрическое
3
2
Начальные и центральные моменты. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины и их
свойства
2
Производящая функция и её свой- 3
ства. Числовые характеристики основных распределений
Ряды и их приложения.
Числовой ряд. Сходимость ряда.
Формулировка критерия Коша, необходимый признак сходимости. Действия со сходящимися рядами. Теорема сравнения
Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов
Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость.
Теорема Вейерштрасса о равномерной
сходимости. Степенные ряды. Круг
сходимости, радиус сходимости. Действия со степенными рядами: сложение, умножение на число, интегрирование, дифференцирование
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций
в ряд Тейлора
Приложение рядов к решению
дифференциальных уравнений, вычислению значений функций и при-
1
3
1
3
1
3
3
3
2
1
3
3
2
1
3
3
2
1
3
3
1
3
1
3
1
3
14
15
16
17
18
19
20
ближённое вычисление интегралов
1
Ортогональные системы функций. 3
Ряд Фурье по ортонормированной и
ортогональной системе функций. Коэффициенты Фурье. Полные и замкнутые системы функций. Теорема
о полных и замкнутых системах
1
Тригонометрический ряд Фурье. 3
Разложение в промежутке (-П,П) и
(-1/2; 1/2). Разложение чётных и нечётных функций. Теорема о сходимости ряда Фурье (формулировка)
Математическая статистика.
Задачи математической статистики.
Генеральная и выборочные совокупности. Повторная и бесповторные выборки. Репрезентативная выборка.
Способы отбора. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая
функция распределения. Полигон и
гистограмма
Статистические оценки параметров
распределения. Несмещённые, эффективные и состоятельные оценки. Генеральная и выборочные средние.
Устойчивость выборочных средних.
Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал
Методы расчёта сводных характеристик. Обычные, начальные и центральные моменты. Построение нормальной кривой по опытным данным
Функциональная, статистическая и
корреляционные зависимости. Выборочные уравнения регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратической регрессии. Выборочное корреляционное отношение
Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и сложные гипотезы. Ошибки первого и второго рода.
Статистический критерий проверки
нулевой гипотезы. Критическая об-
1
3
1
3
3
1
1
3
3
1
1
3
3
1
1
3
3
1
3
3
1
3
21
22
23
24
25
ласть. Критические точки
1
1
Проверка гипотезы о нормальном 3
распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
1
Обзорная лекция по курсу высшей 3
математики
Функции комплексного переменного.
Пределы, непрерывность функции 3
комплексного переменного. Элементарная функция комплексного переменного. Отображения осуществляемые с помощью элементарных функций
Производная функции комплекс- 3
ного переменного. Условия КошиРимана. Аналитические функции.
Геометрический смысл производной.
Камфорные отображения (определения). Производные высших порядков
Интеграл от функции комплексно- 3
го переменного, его свойства. Теория
Коши. Теорема Морена (формулировка). Первообразная функции комплексного переменного, её свойства
экзамен
Всего за семестр
1
1
3
2
1
1
36
3
2
2
18
72
ПЕРЕЧЕНЬ ТИПОВЫХ ВОПРОСОВ ДЛЯ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ.
I семестр.
1. Элементы линейной алгебры.
1. Определители и их свойства. Вычисление определителей.
2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
3. Миноры, алгебраические дополнения.
4. Матрицы и операции над ними.
5. Обратные матрицы. Элементарные Преобразования. Ранг матрицы. Теорема
Кронекера-Капели.
6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
7. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
2. Аналитическая геометрия.
1. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора.
2. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произведение векторов и его
3. Векторное и смешанное произведения векторов и их приложения.
4. Плоскость. Различные виды уравнений и основные задачи на плоскость.
5. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость.
6. Прямая на плоскости. Основные задачи.
7. Линии второго порядка: Эллипс, гипербола, парабола. Определения, вывод
формул, исследование.
8. Поверхности второго порядка: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, конус II-го порядка, цилиндры II-го порядка.
9. Линии, заданные в полярных координатах и параметрическими уравнениями.
2 семестр
3. Математический анализ.
1. Функции. Определение и способы задания функций.
2. Предел последовательностей и функций. Теоремы о пределах функций
3. Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции.
4. Основные теоремы о б.м.ф. и Б.Б.Ф.
5. Сравнение бесконечно малых функций.
6. Неопределённость функций. Определение, основные теоремы о непрерывных
функциях.
7. Производная, её геометрический и физический смысл. Правила и формулы
дифференцирования.
8. Уравнения касательной и нормали кривой.
9. Производная сложной функции, производная функции, заданной неявно и параметрически. Свойства производных.
10.Производные высших порядков.
11.Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения. Определение
дифференциала и свойства дифференциалов.
12.Теоремы о среднем: Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя-Бернулли.
13.Исследование поведения функций и их графиков. Достаточные условия экстремума, первое и второе. Необходимые условия экстремума. Монотонность функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба, асимптоты графика функции.
14.Первообразная, неопределённый интеграл. Свойства. Таблица интегралов.
15.Непосредственное интегрирование функции.
16.Формула интегрирования по частям. Интегрирование замены переменной (подстановкой).
17.Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных
функций.
18.Интегрирование функций, содержащий квадратный трехчлен.
19.Интегрирование тригонометрических функций.
20.Понятие функции нескольких переменных. Частные производные.
21.Полный дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций.
22.Частные производные высших порядков. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности.
23.Экстремум функции двух переменных.
III семестр.
Вопросы к экзамену по теории вероятностей:
1. Понятие испытания, события. Виды случайных событий. Примеры.
2. Относительная частота события. Статистическая устойчивость события А.
Определение статистической вероятности, её свойства. Пример.
3. Определение классической вероятности, её свойства. Примеры. Недостатки
классической вероятности.
4. Какие два способа называются несовместимыми? Примеры. Определение суммы событий. Полная сумма событий. Примеры.
5. Теорема сложения вероятностей совместимых событий. Следствия. Примеры.
6. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Примеры. События
независимые в совокупности.
7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Следствия. Примеры.
8. Вероятность появления только одного и хотя бы одного события. Примеры.
9. Формулы полной вероятности и Байеса. Априорные и апостериорные вероятности. Примеры.
10.Повторение независимых испытаний. Вывод формул Бернулли. Пример.
11.Наивероятнейшее число наступлений события при повторении испытаний.
Пример.
12.Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пример.
13.Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в
независимых испытаниях. Пример.
14.Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пример.
15.Функция Лапласа, её свойства и график.
16.Дискретные и непрерывные случайные величины. Определения и примеры. Закон распределения дискретной случайной величины.
17.Математические операции над дискретными случайными величинами. Примеры.
18.Математическое ожидание дискретной случайной величины. Его вероятностный
смысл. Свойства. Пример.
19.Дисперсия дискретной случайной величины. Её свойства. Пример. Среднеквадратическое отклонение.
20.Начальные и центральные моменты случайной величины. Связь между ними.
21.Интегральная функция распределения вероятностей. Свойства.
22.Дифференциальная функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Свойства.
23.Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
24.Закон биноминального распределения дискретной случайной величины. Пример.
25.Закон Пуассона распределения дискретной случайной величины. Пример.
26.Равномерное распределение НСВ. Пример.
27.Экспоненциальное распределение НСВ. Функция надёжности. Пример.
28.Нормальное распределение НСВ. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.
29.Интегральная функция нормального распределения.
30.Вероятность попадания в заданный интервал значений нормально распределённой случайной величины.
31.Правило трёх сигм. Понятие о теореме Ляпунова.
32.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева П. Л. Теорема Чебышева.
33.Сущность теоремы Чебышева и её значение для практики. Примеры.
34.Многомерные случайные величины. Примеры. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
35.Плотность распределения двумерной случайной величины. Свойства. Связь с
интегральной функцией. Распределения. Примеры.
36.Распределения составляющих двумерного случайного вектора.
37.Зависимые и независимые случайные величины.
38.Численные характеристики системы 2-х случайных величин. Корреляционный
момент. Коэффициент корреляции.
39.Коррелированность и зависимость случайных величин. Пример.
40.Нормальный закон распределения на плоскости.
41.Интегральная функция распределения двумерной случайной величины. Свойства.
Вопросы к экзамену по статистике:
1. Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность.
Повторная и бесповторные выборки, репрезентативная выборка.
2. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
Свойства.
3. Полигон и гистограмма.
4. Статистические оценки параметров распределения и требования, предъявляемые к ним.
5. Доверительный интервал.
6. Доверительный интервал статистической оценки математического ожидания
случайной величины, распределённый по нормальному закону.
7. Доверительный интервал статистической оценки среднеквадратического отклонения нормально распределённой случайной величины.
8. Методы моментов и наибольшего правдоподобия точечной оценки параметров
распределения.
9. Выравнивание частот. Пример.
10.Выравнивание частот в случае непрерывно распределённой случайной величины.
11.Нахождение теоретических частот в случае нормально распределённой случайной величины.
12.Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотеза. Ошибки I-го и
II-го рода.
13.Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Критическая область.
Критические точки.
14.Критерий согласия. Пирсона.
15.Критерий согласия Колмогорова.
16.Функциональная и статистическая зависимость. Условные средние. Корреляционная зависимость. Пример.
17.Две основные задачи теории корреляции.
18.Линейная корреляция. Определение параметров прямой регрессии по методу
наименьших квадратов.
19.Выборочный коэффициент корреляции. Его свойства.
20.Вычисление выборочного коэффициента корреляции методом 4-х полей.
21.Выборочное корреляционное отношение. Его свойства.
22.Простейшие случаи криволинейной корреляции.
IV. УЧЕБНО–МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
Основная литература
1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов естественно-научных
специальностей педагогических вузов / И.И. Баврин. – М.: Издательский центр
«Академия». - 2004. – 616 с.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для
втузов / В.П. Минорский. - М.: Издательство Физико-математич. Литературы. 2003. -336 с
3. Глухова О.Ю. Математика Ч. 1: учебно – методическое пособие / О. Ю. Глухова. – Кемерово. – КемГУ. - 2007. – 36 с.
4. Глухова О.Ю. Математика Ч. 2: учебно – методическое пособие / О. Ю. Глухова. – Кемерово. – КемГУ. - 2010. – 32 с.
Дополнительная литература.
1. Бекламишев Б. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Наука, 1980 г.
2. Бекламишев Б. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Высшая школа, 2002-2007
3. Бугров Я. С. Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление.
М.: Наука, 1997 г.
4. Кудрявцев В.А. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. – М.:
Наука. 1980 г.
5. Кудрявцев В.А. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. – М: АСТ
Астрель, 2001-2005
6. Воеводин В. В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1980 г.
7. Воеводин В. В. Линейная алгебра. – Спб: Лань, 2006г.
8. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. – М.:, 1980 г. – I;
1982 г. – II.
9. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 1988 г. –
т. 1-3.
10.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. – М.:
Интеграл Пресс, 2004 г. – т. 1-3.
11.Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Высшая
школа 1983 г.
12.Понтрягин Н. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения – М.: Наука,
1982 г.
13.Краснов М. Л. Кисилёв А. Н. Макаренко Г. Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981 г.
14.Краснов М. Л. Кисилёв А. Н. Макаренко Г. Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1971 г.
15.Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории комплексного переменного. – М.: Наука, 1982 г.
16.Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории комплексного переменного. – М.: Наука, 1989 г.
17.Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории комплексного переменного. – М.: Наука, 1976 г.
18.Привалов И. И. Введение в теорию комплексного переменного. – М.: Наука,
1977 г.
19.Привалов И. И. Введение в теорию комплексного переменного. – М.: Наука,
1967 г.
20.Привалов И. И. Введение в теорию комплексного переменного. – М.: Наука,
1999 г.
21.Александров П. С. Введение множеств в общую топологию. – М.: Наука, 1977 г.
22.Александров П. С. Введение множеств в общую топологию. – М.: Физматлит,
2009 г.
23.Новиков П. С. Элементы математической логики. – М.: Наука, 1973 г.
24.Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 2001 г.
25.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984 г.
26.Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. – М.: Наука, 1979 г.
27.Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. – М.: Лань, 2004 г.
28.Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1968 г.
29. Естигнеев В. А. Применение теории графов в программировании. – М.: Наука,
1980 г.
30.Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергоиздат,
1987 г.
31.Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980 г.
32.Давыдов Э. Г. Игры, графы, ресурсы. – М.: Наука, 1981 г.
33.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1987 г.
34.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – М.: Агар, 2000 г.
35.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – СПб.: Лань, 2003 г.
36.Розанов Ю. А. Лекции по теории вероятностей. – М.: Наука, 1980 г.
37.Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1982 г.
Электронные образовательные ресурсы
1. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая
математика для технических университетов. I. Линейная алгебра: Учебное
пособие.
-
Томск:
Изд-во
ТПУ,
2009.
-
310
с.
http://window.edu.ru/resource/598/75598
2. Зингер А.А., Зингер В.А., Сирота Ю.Н. Высшая математика. Определенный
интеграл: Учебно-методическое пособие. - СПб.: СПбГУАП, 2005. - 39 с.
http://window.edu.ru/resource/245/79245
3. Зингер А.А., Зингер В.А., Сирота Ю.Н. Высшая математика. Неопределенный интеграл: Учебно-методическое пособие. - СПб.: ГУАП, 2005. - 36 с.
http://window.edu.ru/resource/915/44915
Средства обеспечения освоения дисциплины.
Для успешного освоения курса высшей математики кафедрой разработано и издано в г. Минске в издательстве Высшая школа учебное пособие «Индивидуальные
домашние задания по высшей математике». Первые три части охватывают основной курс, а четвёртая часть посвящена теории вероятностей и математической статистике. Структура этих пособий позволяет отработать технологию учебного процесса: работа на практических занятиях, самостоятельная работа в аудитории, внеаудиторная самостоятельная работа, работа с хорошо успевающими студентами
над задачами повышенной сложности.
Рядом преподавателей кафедры были созданы отдельные обучающие – контролирующие программы: Приложения производной, Теория рядов, Элементы линейного программирования, Транспортная задача с реализацией на ЭВМ, Построение
дифференциальных моделей инжененро-технических задач. Для студентов горного
института создана программа реализации комплекс-метода при решении задач автоматизации горных работ. Для студентов строительного института разработана
программа реализации на ЭВМ численных методов решения алгебраических уравнений, определённых интегралов и дифференциальных уравнений.
В виде лабораторных работ изданы методические указания по математической
статистике: Численные характеристики выборки, Проверка гипотезы о нормальном
распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона, Коэффициент
корреляции, Уравнений линий регрессии.
МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ.
При кафедре нет специальных аудиторий и лабораторий. Занятия проводятся во
всех корпусах университета. На кафедре имеется парк из 20-и калькуляторов, позволяющих вести не слишком сложные вычисления, в том числе и в программированном варианте.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ.
В курс высшей математики входит ряд дисциплин, которые являются отдельными предметами изучения в классическом университете: Аналитическая геометрия,
Линейная алгебра, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Теория
функций комплексного переменного и имеющие разные базы для их изучения, поэтому возникает возможность параллельного чтения разных разделов курса высшей математики. В первом семестре с объёмом часов 68/68 возможно параллельное
изучение линейной алгебры и аналитической геометрии и математического анализа.
Одна из основных задач первого семестра научить студентов навыкам вычисления неопределённого интеграла, что является основополагающим для изучения материала второго семестра. В случае параллельного изучения неопределённый интеграл не попадает на конец семестра и часто из-за того, что праздники и другие
непредвиденные обстоятельства сокращают учебный процесс, он довольно скомкан. На конец семестра рациональнее вынести приложения дифференциального
исчисления, так как этот материал в урезанном варианте изучается в школьном
курсе. Во втором семестре можно отдельно читать разделы: обыкновенные дифференциальные уравнения, ряды, теорию функций комплексного переменного и теорию поля.
Для студентов обучающихся по заочной форме, в настоящее время кафедрой
разработаны новые методические указания, где приводятся рекомендации помогающие студентам согласно их графика учебного процесса, выполнить вовремя контрольные работы и изучить необходимый теоретический материал.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ИНЖЕНЕРНАЯ ШКОЛА
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
Высшая математика
280102.65 «Безопасность технологических процессов и производств»
Квалификация выпускника – инженер
Форма подготовки очная/заочная
Владивосток 2011
1. Введение. Линейная алгебра.
1.1.
Матрицы. Виды матриц и операции над ними. Определитель матрицы. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.
1.2.
Свойства определителей 3-го порядка. Вычисление определителей 4-го. Ранг
матрицы, обратная матрица.
1.3.
Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капели (без доказательств). Методы решения систем линейных уравнений.
1.4.
Линейные пространства. Линейное отображение – матрица. Собственные
числа и собственные векторы линейного преобразования.
2. Векторная алгебра.
2.1.
Вектор – направленный отрезок. Длина вектора. Коллинеарность, компланарность, равенство векторов.
2.2.
Базис, координаты, размерность. Ортогональная проекция вектора на ось и
плоскость. Системы координат. Декартова прямоугольная и полярная система координат. Деление отрезка в данном отношении.
2.3.
Скалярное произведение векторов и его приложения.
2.4.
Векторное произведение векторов, его свойства и приложения.
2.5.
Смешанное произведение векторов и его приложения.
3. Аналитическая геометрия.
3.1.
Алгебраические линии и поверхности. Геометрический смысл уравнения 1-го
порядка на плоскости и пространстве. Различные виды уравнения на плоскости.
3.2.
Прямая в пространстве – пересечение двух плоскостей, общее и каноническое.
3.3.
Основные задачи на прямую и плоскость, решаемые методами векторной алгебры.
3.4.
Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы, на основе
характеристических свойств этих кривых. Исследование свойств кривых второго порядка.
3.5.
Поверхности второго порядка: примеры уравнений, построение поверхностей
методом сечений.
4. Введение в математический анализ.
4.1.
Определение функции в том числе и функции нескольких переменных. Область определения и область значения функций. Способы задания функций.
Классы элементарных функций.
4.2.
Числовая последовательность. Монотонные последовательности. Предел последовательности. Теорема Вейерштрасса (без доказательства).
4.3.
Предел одной функции одной или нескольких переменных. Бесконечно
большие и бесконечно малые функции. Алгебраические операции над функциями имеющими предел. Эквивалентные бесконечно малые функции.
4.4.
Непрерывность функции в точке и области, в том числе и для функции нескольких переменных. Односторонние пределы и классификация точек разрыва. Свойства функций непрерывных на замкнутом множестве.
5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
5.1.
Производная функции, её геометрический и механический смысл. Производная постоянной, аргумента, суммы, произведения и частного.
5.2.
Производные элементарных функций; производная сложной функции; производная обратной функции; непрерывность дифференцируемой функции.
5.3.
Производная неявной функции. Производная функции, заданной параметрические; гиперболические функции, и их свойства и графики. Производные
гиперболических функций. Таблица производных.
5.4.
Дифференциал функции, его связь с производной. Геометрический смысл
дифференциала. Свойства. Производные и дифференциалы высших порядков.
5.5.
Теорема Ролля, Лагранжа, Коши. Раскрытие неопределённостей с помощью
правила Лопиталя.
6. Неопределённый интеграл.
6.1.
Первообразная, её свойства. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Простейшие приёмы интегрирования.
6.2.
Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределённом интеграле.
Интегрирование простейших дробей.
6.3.
Комплексные числа: алгебраическая, геометрическая, показательные формы.
Действия над комплексными числами, их геометрическая интерпретация.
Формула Эйлера.
6.4.
Интегрирование выражений, содержащих в знаменателе квадратный трёхчлен.
6.5.
Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций.
6.6.
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
6.7.
Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Интегрирование
иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок.
7. Исследование функций одной переменной.
7.1.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. Приложения формулы Тейлора.
7.2.
Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функций.
7.3.
Выпуклости функции вверх и вниз в точке и на отрезке. Необходимое и достаточные условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба графика.
7.4.
Вертикальные и наклонные асимптоты. Построения графика функции на основе исследования с помощью производных первого и второго порядка.
7.5.
Обзорная лекция по курсу первого семестра.
8. Функции нескольких переменных.
8.1.
Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции.
Непрерывность. Частные производные.
8.2.
Дифференцируемость функции нескольких переменных, полный дифференциал, связь с частными производными. Достаточное условие дифференцируемости.
8.3.
Производные от сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Неявные функции. Теорема существования. Производные неявной
функции.
8.4.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл
полного дифференциала функции двух переменных. Частные производные
высших порядков. Теорема о независимости результата дифференцирования
от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков.
8.5.
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие максимума и минимума. Функции нескольких
переменных.
9. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
9.1.
Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям: общее решение, частное решение, начальные и краевые условия. Задача Коши
для уравнения 1-го порядка. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (формулировка).
9.2.
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах.
9.3.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема о
существовании единственности решения задачи Коши (формулировка). Общее и частное решение. Уравнения, допускающие понижение порядка.
9.4.
Линейные уравнения высших порядков. Свойства линейного дифференциального оператора. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы
функций.
9.5.
Линейные однородные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Структура общего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
9.6.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа, вариации произвольной постоянной. Метод
подбора частного решения по виду первой части.
9.7.
Система дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Решение
нормальных систем методом исключений. Решение линейной системы матричным методом.
9.8.
Исследование решений уравнения колебаний. Фазовые «портреты» систем.
Понятие об устойчивых и неустойчивых состояниях колебательной системы.
9.9.
Разностные схемы численного решения Задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: аппроксимация, сходимость, устойчивость. Метод
Эйлера, метод Рунге-Кутта 4-го порядка.
9.10. Обзор по теме.
10.Определённый интеграл и его приложения.
10.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл, как предел интегральных сумм. Основные свойства определённого
интеграла. Теорема о среднем.
10.2. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу о производной
интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
10.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных
функций. Теоремы сравнения. Абсолютная и условная сходимости.
10.4. Приближённые вычисления определённых интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
10.5. Приложения определённых интегралов к вычислению площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах, к вычислению объёмов тел.
Определение и вычисление длины дуги кривой. Дифференциал длины дуги.
10.6. Механические и физические приложения определённого интеграла.
11.Кратные интегралы.
11.1. Задачи, приводящие к понятием двойного, тройного, криволинейного и поверстного интегралов. Основные свойства кратных интегралов.
11.2. Геометрический смысл двойного интеграла. Его вычисление в декартовых
координатах. Переход от декартовых координат к полярным. Двойной интеграл в полярных координатах.
11.3. Тройной интеграл в декартовых координатах. Замена переменной в тройном
интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
11.4. Определение криволинейных интегралов I и II типов, их свойства и вычисление.
11.5. Формула Грина. Связь криволинейных интегралов с двойными. Условие независимости от пути интегрирования.
11.6. Односторонние и двусторонние поверхности. Определение поверхностных
интегралов I и II типов, их вычисление. Формулы Остроградского и Стокса.
Связь поверхностных интегралов с тройными и криволинейными.
12.Векторный анализ и элементы теории поля.
12.1. Скалярное поле. Поверхности уровня скалярного поля. Производная по
направлению. Градиент скалярного поля.
12.2. Векторное поле. Векторные линии. Физические параметры.
12.3. Поток векторного поля через поверхность. Его физический смысл в поле
скоростей жидкости.
12.4. Дивергенция векторного поля, её физический смысл. Теорема Остроградского в векторной форме. Соленоидальные поля, их основные свойства.
12.5. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция векторного поля, её физический смысл. Теорема Стокса в векторной форме.
12.6. Ротор поля, его определение и физический смысл. Потенциальные поля,
условие потенциальности. Вычисление потенциала векторного поля.
13.Теория вероятностей.
13.1. Элементы комбинаторики. Предмет теории вероятностей. Статическое определение вероятности. Алгебра событий.
13.2. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Аксиомы теории вероятностей.
13.3. Теоретико-множественное определение вероятности: пространство элементарных событий, вероятностное пространство. Различные определения вероятности, как частный случай вероятностного пространства.
13.4. Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий. Несовместимость и независимость событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.
13.5. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Функция распределения. Дифференциальный закон распределения или плотность вероятности.
13.6. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернули. Предельные
теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Параметры дискретных распределений: Пуассона, биноминальное, геометрическое, гипергеометрическое.
13.7. Начальные и центральные моменты. Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины и их свойства.
13.8. Производящая функция и её свойства. Числовые характеристики основных
распределений.
14.Ряды и их приложения.
14.1. Числовой ряд. Сходимость ряда. Формулировка критерия Коша, необходимый признак сходимости. Действия со сходящимися рядами. Теорема сравнения.
14.2. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости
рядов.
14.3. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости. Степенные ряды. Круг сходимости, радиус сходимости. Действия со степенными рядами: сложение,
умножение на число, интегрирование, дифференцирование.
14.4. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в
ряд Тейлора.
14.5. Приложение рядов к решению дифференциальных уравнений, вычислению
значений функций и приближённое вычисление интегралов.
14.6. Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортонормированной и ортогональной системе функций. Коэффициенты Фурье. Полные и замкнутые системы функций. Теорема о полных и замкнутых системах.
14.7. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в промежутке (-П,П) и
(-
1/2; 1/2). Разложение чётных и нечётных функций. Теорема о сходимости ряда Фурье (формулировка).
15.Математическая статистика.
15.1. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочные совокупности. Повторная и бесповторные выборки. Репрезентативная выборка. Способы отбора. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция
распределения. Полигон и гистограмма.
15.2. Статистические оценки параметров распределения. Несмещённые, эффективные и состоятельные оценки. Генеральная и выборочные средние. Устойчивость выборочных средних. Точность оценки, доверительная вероятность.
Доверительный интервал.
15.3. Методы расчёта сводных характеристик. Обычные, начальные и центральные
моменты. Построение нормальной кривой по опытным данным.
15.4. Функциональная, статистическая и корреляционные зависимости. Выборочные уравнения регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения
прямой линии среднеквадратической регрессии. Выборочное корреляционное отношение.
15.5. Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и сложные гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Критическая область. Критические точки.
15.6. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
Критерий согласия Пирсона.
15.7. Обзорная лекция по курсу высшей математики.
16.Функции комплексного переменного.
16.1. Пределы, непрерывность функции комплексного переменного. Элементарная
функция комплексного переменного. Отображения осуществляемые с помощью элементарных функций.
16.2. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
Аналитические функции. Геометрический смысл производной. Камфорные
отображения (определения). Производные высших порядков.
16.3. Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства. Теория Коши. Теорема Морена (формулировка). Первообразная функции комплексного
переменного, её свойства.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ИНЖЕНЕРНАЯ ШКОЛА
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Высшая математика
280102.65 «Безопасность технологических процессов и производств»
Квалификация выпускника – инженер
Форма подготовки очная/заочная
Владивосток 2011
Тренировочный тест по высшей математике - 1 семестр
№
Варианты ответов
Задания
1
1а.
3 1 

 1 2
3  5
  B
 2  2 
.
 4 0  4 0  1 1 


2
34
3
-18
Найти сумму элементов 3 столбца матрицы В.
1б.
2 4 
 .
A  
  5 0
Найти A 1 .
 0,1

 0,25

0,2 
0 
 0  0,2 


 0,25 0,1
4
5
-26
28
0
0,25 

  0,2 0,1


0
0,2 

  0,25 1


14
0

 0,2

 0,25 
0,1 
Найти сумму элементов 3 строки матри1в.
цы A 1 , если
1  1 0 


A   2 4 3
 1
0 2 

2
7
0
19,-38,-2
19,-19,-1
 y  21 x  16

 z  14 x  9
 y  15 x  14

 z  23 x  7
1
5
7
19,38,2
19,19,1
19,57,3
 y  8 x  23

 z  12 x  19
 y  19 x  11

 z  27 x  18
 y  17 x  22

 z  31 x  40

4
7
Дана система уравнений.
2а.
 x  y  z  2

2 x  3 z  8
 ,  z , z.
3 x  2 y  5 Найти

Решить систему уравне3x  2 y  z  4

2б. ний 2 x  9 y  5z  2 ,
приняв в качестве базисных переменных
yи z
:
3а.
3б.
Найти прb  c a , если a  (2;7;3) ,
4
5
b  (6;5;3) , c  (4;3;4) .
a  (2;3;2) , b  (2;2;3) . Найти
14
17

cos(a , b ) .
Найти площадь треугольника с верши4а. нами в точках A(3;4;1) , B(2;2;2) ,
C (5;2;3) .
Известно, что
4б.
a b  3 , a  4 ,
6б

между a и b равен 3 . Найти b .
Уравнение прямой, проходящей через
точки A(4;2;3) и B(5;4;2) , имеет вид:
Уравнение прямой, проходящей через точку
М (5;2;0) перпендикулярно плоскости
3x  2 y  4 z  7  0 , имеет вид:
16
17
1
17

1
3
40
3
7
3
3
4
51
6 51
3 51
3
3
2
1
2
1
1
6
1
1
2
1
3
80
80
3
40
20
3
x 4 y  2 z 3


2
3
5
x 5 y  4 z 2


3
4
1
x 5 y 2
z


3
2
4
x 5 y 2 z


5
1
3
2 51
0

13
17
а угол
Определить  , при котором компланар5а. ны векторы a  (2;3;4) , b  (0;  ;2) ,
c  (3;4;0) .
Найти объем треугольной пирамиды с
5б. вершинами в точках A(1;0;0) , B(3;1;4) ,
C(5;1;0) , D(1;3;2) .
6а

0

4 51
5
7
3
7
x 5 y  4 z 2


4
2
5
x4 
y  2 z 3

5
2
x 3 y 2 z  4


1
2
3
x 1 y  2 z  3


4
2
3
x4 
y  2 z 3

2
1
x 3 y2 z 4


5
2
3
6в
7а
Определить, при каких  и  параллельны
x  2 y  4 z 1
x 1 y  3 z  5


прямые
и 6    2
3
5

Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки A(1;0;1) ,
B(4;1;1) , C (1;5;2) .
  10,   1
  10,   1
  10,   1
  1,   10
  1,   10
25x  y  5z  30  0
x  5 y  25z  24  0
x  5 y  25z  26  0
5x  25y  z  6  0
5x  y  25z  5  0
1
-7
-3
2
5
3
5
2
1
4
0 и 25
1и9
0 и 20
5 и 25
20 и 25
(3;2)
(3;2)
(2;3)
(2;3)
(3;2)
Гипербола с центром в точке (1;2)
Парабола с вершиной в точке (1;2)
Эллипс с центром
в точке (1;2)
Гипербола с центром в точке (1;2)
Эллипс с центром
в точке (1;2)
x2 y2

1
9
7
x2 y2

1
7
9
x2 y2

1
7
9
x2 y 2

 1
7
9
x2 y 2

 1
9
7

2
3
-5
3
5
-4
0
2
3
1
Определить, при каком A прямая
7б
x  3 y z 1
 
2
A
7 параллельна плоскости
Ax  5 y  3z  6  0 .
7в
Найти расстояние от точки М (1;2;3) до плоскости x  2 y  2z  6  0 .
8а
Найти собственные значения матрицы 12 16


8б
9
Найти координаты вектора
12 
a  (1;6) в базисе
b  (3;4) , c  (5;3) .
Определить вид и расположение кривой
8в
8г
2
x  2 y  2x  8 y  7  0
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если ее действительная
полуось
2c  8 .
9а
9б
2
a  3 , а расстояние между фокусами
lim
Вычислить x 
lim
Вычислить x  1
3x 2  5 x  8
5x2  x  2
x2  4x  3
x 1
3
1
3

1
2
9в
Вычислить
11
2 x3
Вычислить x 1
10а
10б
10  x  3
lim
Вычислить
y4
z
x5
lim
x 0
x ln(1  6 x)
lim (1 
x 
arcsin ( x )
 x y4
y3
12
3
(1  4 x 2 ) 2  1
7
6x2
. Найти
)
2x2
e
1
2

1
3
2
3
-1
0
3
2

0
2
3
1

4 arcsin
y .
3
7
e
x
4 arcsin
x
7
3
e
ln 2
4 arcsin
1 x
2 x  x2
. Вычислить

7
3
x
e
ln 4
180
210
0
cos x  2 x cos y
x 2 sin y  2 y
x 2 sin y  2 y
cos x  2 x cos y
32
(3   3 )
9
16
(3   3 )
9
8
(1   3 )
9
7
6
4 arcsin
e
x
4 arcsin(
1 x
x  x2
-240

3
7
x)
ln 2
x  x2
-160
280
( zx  zy ) в точке M (4;4) .
13а
dy
dx , если
Найти
sin x  x 2 cos y  y 2  0 .
z
13б
u2
v2
x 2 sin y  2 y
cos x  2 x cos y

cos x  2 x cos y
x 2 sin y  2 y
, где u  x sin y ,
v  y cos x . Найти z x
y


2.
при x 

3
,
64
( 3  3 )
3
32
(3 3   )
3
13в
Найти
dy
3
, если x  t ln t ,
dx
3 t
yt e
.
Найти асимптоты кривой
14а
14б
14в
14г
15а
15б
15в
y
3x3  5
x2  x  1
t et
3 et  t et
3 ln t  1
1
t et
y  3x  3
y  3x
y  3x  3
y  3  3x
y3
(;)
(1;1)
(;1)  (1;)
(;1)
(1;)
(;3)  (0;3)
(;0)  (3;)
(;3)  (0;)
(3;0)  (3;)
(;3)  (3;)
x  3 устр. разрыв;
x  0 скачок;
x  4 разрыв II рода
x  4 скачок

3 ln t  1
3et  t et
.
Найти интервал(ы) убывания функ5
ции y  x  5x .
Найти интервал(ы) выпуклости функ3
5
ции y  30 x  x .
 x3
, x0
 2
x 9
Дана функция y   x
.
 (
)
2 4  x , x  0
x  0 скачок;
x  4 разрыв II рода
Найти точки разрыва и установить их
характер.
Найти максимальную скорость возрастания функции z  x 2 y в точке
M (2;1) .
Найти производную функции
z  xy  2 y в точке M (1;3) в
направлении вектора a  (3;4) .
Найти экстремум функции
z  x2  y 2  1 , если x  2 y  5 .
4
15г
3 ln t  1
3e t  t e t
4
2
2
Функцию z  x  y  2 x  2 y
исследовать на экстремум в точках
A(1;1) и B(0;0) .
x  3 разрыв II рода;
x  0 скачок;
x  4 разрыв II рода
2
3 2
x  3 устр. разрыв;
x  0 скачок;
x  4 разрыв II рода
4 2
6 2
1
3
3
5
4
5
zmax (1;2)  6
zmax (3;1)  11
zmin (3;1)  11
zmax (5;0)  26
zmin (1;2)  6
А- точка максимума
В – точка максимума
А – точка минимума
В не является
точкой экстремума
А- точка максимума
В – точка минимума
А- точка минимума
В – точка максимума
А – точка минимума
В – точка минимума

2
3
2 2

1
5
16а
16б
17
18а
18б
Пусть система п линейных уравнений содержит k неизвестных, A - матрица коэффициентов при неизвестных , B - расширенная матрица. Выбрать все неверные утверждения:
А) Система уравнений совместна, если rang А = rang В;
Б) Система уравнений совместна, если rang А < rang В;
В) Система уравнений несовместна, если rang А < rang В;
Г) Система уравнений совместна, если rangА = rang В < k
Укажите все неверные равенства:
А) а  b  b  а ; Б) а b с  с b а ; В) а  b  b  а ; Г) а b с  b а с
Пусть заданы m векторов n – мерного пространства.
Указать все правильные утверждения:
А) Если m>n, то векторы не образуют базис.
Б) Если m<n, то векторы не образуют базис.
В) Если m>n, то векторы линейно зависимы.
Г) Если m=n, то векторы образуют базис.
Д) Если m<n, то векторы линейно независимы
Пусть f (x ) - числовая функция. Выбрать все правильные утверждения:
А) Если f (x ) монотонно возрастает и ограничена, то она имеет конечный предел.
Б) Если f (x ) монотонно возрастает, то она имеет бесконечный предел.
В) Если f (x ) монотонно убывает и ограничена, то она имеет конечный предел.
Г) Если f (x ) ограничена, то она имеет конечный предел
Д) Если f (x ) имеет конечный предел , то она ограничена
Выбрать все неправильные ответы:
А) Градиент – это вектор.
Б) Градиент – это число, равное максимальной скорости возрастания функции.
В) В направлении градиента функция возрастает быстрее всего.
Г) grad f ( x, y )  ( f x; f y )
Д) grad f ( x, y )  ( f x  f y)
А, В, Г
А, Б , Г
Б
А, Б
Б, Г
В, Г
А, Б
Б, В
А, В
А, Б , В
А, В
Б , В, Г
Г
А, Б , В
А, Г
А, В, Д
А, Б
А, Г
А, Б , Г
А, В, Г , Д
Д
Б, Д
А, Г
Г
А
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ИНЖЕНЕРНАЯ ШКОЛА
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Высшая математика
280102.65 «Безопасность технологических процессов и производств»
Квалификация выпускника – инженер
Форма подготовки очная/заочная
Владивосток
2011
Основная литература
1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов естественно-научных
специальностей педагогических вузов / И.И. Баврин. – М.: Издательский центр
«Академия». - 2004. – 616 с.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для
втузов / В.П. Минорский. - М.: Издательство Физико-математич. Литературы. 2003. -336 с
3. Глухова О.Ю. Математика Ч. 1: учебно – методическое пособие / О. Ю. Глухова. – Кемерово. – КемГУ. - 2007. – 36 с.
4. Глухова О.Ю. Математика Ч. 2: учебно – методическое пособие / О. Ю. Глухова. – Кемерово. – КемГУ. - 2010. – 32 с.
Дополнительная литература.
1. Бекламишев Б. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Наука, 1980 г.
2. Бекламишев Б. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Высшая школа, 2002-2007
3. Бугров Я. С. Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление.
М.: Наука, 1997 г.
4. Кудрявцев В.А. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. – М.:
Наука. 1980 г.
5. Кудрявцев В.А. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. – М: АСТ
Астрель, 2001-2005
6. Воеводин В. В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1980 г.
7. Воеводин В. В. Линейная алгебра. – Спб: Лань, 2006г.
8. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. – М.:, 1980 г. – I;
1982 г. – II.
9. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 1988 г. –
т. 1-3.
10.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. – М.:
Интеграл Пресс, 2004 г. – т. 1-3.
11.Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Высшая
школа 1983 г.
12.Понтрягин Н. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения – М.: Наука,
1982 г.
13.Краснов М. Л. Кисилёв А. Н. Макаренко Г. Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981 г.
14.Краснов М. Л. Кисилёв А. Н. Макаренко Г. Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1971 г.
15.Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории комплексного переменного. – М.: Наука, 1982 г.
16.Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории комплексного переменного. – М.: Наука, 1989 г.
17.Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории комплексного переменного. – М.: Наука, 1976 г.
18.Привалов И. И. Введение в теорию комплексного переменного. – М.: Наука,
1977 г.
19.Привалов И. И. Введение в теорию комплексного переменного. – М.: Наука,
1967 г.
20.Привалов И. И. Введение в теорию комплексного переменного. – М.: Наука,
1999 г.
21.Александров П. С. Введение множеств в общую топологию. – М.: Наука, 1977 г.
22.Александров П. С. Введение множеств в общую топологию. – М.: Физматлит,
23.2009 г.
24.Новиков П. С. Элементы математической логики. – М.: Наука, 1973 г.
25.Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 2001 г.
26.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984 г.
27.Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. – М.: Наука, 1979 г.
28.Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. – М.: Лань, 2004 г.
29.Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1968 г.
30.Естигнеев В. А. Применение теории графов в программировании. – М.: Наука,
31.1980 г.
32.Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергоиздат,
1987 г.
33.Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980 г.
34.Давыдов Э. Г. Игры, графы, ресурсы. – М.: Наука, 1981 г.
35.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1987 г.
36.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – М.: Агар, 2000 г.
37.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – СПб.: Лань, 2003 г.
38.Розанов Ю. А. Лекции по теории вероятностей. – М.: Наука, 1980 г.
39.Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1982 г.
Электронные образовательные ресурсы
1. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая
математика для технических университетов. I. Линейная алгебра: Учебное
пособие.
-
Томск:
Изд-во
ТПУ,
2009.
-
310
с.
http://window.edu.ru/resource/598/75598
2. Зингер А.А., Зингер В.А., Сирота Ю.Н. Высшая математика. Определенный
интеграл: Учебно-методическое пособие. - СПб.: СПбГУАП, 2005. - 39 с.
http://window.edu.ru/resource/245/79245
3. Зингер А.А., Зингер В.А., Сирота Ю.Н. Высшая математика. Неопределенный интеграл: Учебно-методическое пособие. - СПб.: ГУАП, 2005. - 36 с.
http://window.edu.ru/resource/915/44915