ZBМ-ММЭ-2-1 Контрольная 4 семестр 1. Дана функция двух переменных . Доказать данное тождество.

ZBМ-ММЭ-2-1
Контрольная 4 семестр
1. Дана функция двух переменных z  f ( x, y ) . Доказать данное тождество.
Вариант 1. z  cos y  ( y  x) sin y, ( x  y)
 2 z z
 .
xy y
Вариант 2. z 
y
1 z 1 z
z
, F

 2  0.
2 5
x x y y y
(x  y )
Вариант 3. z 
y2
z
z
 arcsin( xy), F  x 2
 xy  y 2  0.
3x
x
y
2
Вариант 4. z  ln( x 2  y 2  2 x  1),
Вариант 5. z  e xy , F  x 2
2
2z
2z
2  z

2
xy

y
 2 xyz  0.
xy
x 2
y 2
Вариант 6. z  ln( x  e  y ), F 
Вариант 8. z 
2z 2z

 0.
x 2 y 2
z  2 z z  2 z

 0.
x xy y x 2
x
 2 z z
, x

 0.
y
xy y
Вариант 9. z  sin( x  ay ),
x
y
Вариант 10. z  e ln y, x
2
2z
2  z

a
.
y 2
x 2
z
z
z
y

.
x
y ln y
2. Дана функция z  f x, y , точка А и вектор l . Найти градиент функции в точке А
и производную
z
 A .
l
Вариант 1. z  3x 2 y 2  5 y 2 x;
Вариант 2. z  2 x 2  3xy  y 2 ;
A1; 1;
A2; 1;
l  2i  j.
l  3i  4 j.
Вариант 3. z  ln 5 x 2  3 y 2 ;
A1; 1;
Вариант 4. z  3x 4  2 y 3 x 2 ;
A 1; 2;
Вариант 5. z  arctg xy 2 ;
A2; 3;
Вариант 6. z  5 x 2  6 yx;
A2; 1;
Вариант 7. z  ln 5 x 2  4 y 2 ;
Вариант 8. z  arctg 2 xy 2 ;
l  3i  2 j.
l  4i  3 j.
l  4i  3 j.
l  i  2 j.
A1; 1;
A1; 1;
l  2i  j.
l  2i  2 j.
Вариант 9. z  3xy 3  3x 3 y 2 ;
A1; 2;
Вариант 10. z  arcsin x 2 y 2 ;
1 1
A ; ;
2 2
l  2i  2 j.
l  2i  j.
3. Исследовать на экстремум функцию
Вариант 1. z  x 3  y 3  3xy,
Вариант 2. z  x 3  8 y 3  6 xy  1,
Вариант 3. z  x 2  xy  y 2  2 x  3 y,
Вариант 4. z  x 2  xy  y 2  3x  6 y,
x
2


Вариант 5. z  e x  y 2 ,
Вариант 6. z  3x 2  x 3  3 y 2  4 y,
Вариант 7. z  2 x 3  xy 2  5 x 2  y 2 ,
Вариант 8. z  y x  y 2  x  6 y,
Вариант 9. z  6 xy  9 y 2  9 x 2  4 x  4 y,
Вариант 10. z 
y2
x2
 2 xy 
 4 x  5 y.
2
2
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D.
Вариант 1. z  x 2  2 y 2  1 ;
D : x  0; y  0; x  y  3.
Вариант 2. z  3  2 x 2  xy  y 2 ;
D : x  1; y  0; y  x.
Вариант 3. z  5x 2  3xy  y 2  4 ;
D : x  1; y  1; x  y  1.
Вариант 4. z  x 2  xy  2 ;
D : 4 x 2  4  y  0.
Вариант 5. z  x 2  y 2  9 xy  27 ;
Вариант 6. z  x 2  3 y 2  x  y ;
Вариант 7. z  x 2  2 xy  2 y 2 ;
Вариант 8. z  x 2  xy ;
D : 0  y  3, 0  x  3.
D : x  1; y  1; x  y  1.
D : 0  y  2, 1  x  1.
D : 0  y  3, 1  x  1.
Вариант 9. z  x  xy  y ;
D : 2  y  3, 1  x  2.
Вариант 10. z  3x 2  5 y 2  6 x  20 y  5 ;
1.
Дана
функция
двух
D : 0  y  5, 0  x  5.


z  ln e x  e y .
переменных
2
2z 2z  2z 
  0.


x 2 y 2  xy 
Решение
Вычислим частные производные:




 z e e e e
z
ex

 x
,
2
2
x e  e y x
ex  ey
2
x
x
y
2x

e
e x y
x
ey

2
,
Доказать
тождество


 z e e e e
z
ey

 x
,
2
2
x e  e y y
ex  e y
2
2z
e x y

xy
ex  ey

y

2
x
y

2y


e
e x y
x
 ey

2
,
.
Подставляя полученные выражения в заданное уравнение, получим
e
e 2 x  y 
x
e

 e
y 4
e 2 x  y 
e
x
 0.

y 4
2. Дана функция z  arctg


x  y 2 , точка А(1; 2) и вектор l  4i  j . Найти градиент
функции в точке А и производную
z
 A .
l
Решение.
Вычислим значения частных производных в точке А.
z

x 1 
z

y 1 


1
xy


;
2y
xy
1

2 2
2 2
;
2 x
z
 A  1  1  1 .
x
1  25 2 52
z
 A  4  2 .
y
1  25 13
Тогда grad z  A 
i 2j
 .
52 13
Длина вектора l :
l  4 2  1  17 .
1
2
 4  1
z
 A  52 13  3 .
l
17
13 17
3. Исследовать на экстремум функцию z 
1
x y
xy  47  x  y   .
2
3 4
Решение.
Найдем частные производные первого порядка:
z
1
2
47
  y x
,
x
12
3
3
Находим
z
1
1
47
  y x .
y
2
12
4
стационарные
точки,
воспользовавшись
необходимым
условием
экстремума:
2
47
 1
 12 y  3 x  3  0,

 1 y  1 x  47  0,
 2
12
4
8 x  y  188,

 x  6 y  141.
Решая систему, находим х = 21, у = 20; стационарная точка М(21; 20).
Найдем значения производных второго порядка в точке М:
2z
2 2z
1 2z
1
 ,
 ,
  . Составим из полученных чисел определитель:
2
2
3 y
2 xy
12
x
2
 3
1

12

1
12  1  1  0.
1 3 144

2

Следовательно, в точке М(21; 20) функция имеет максимум: z max  z M   282 .
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  x 3  y 3  3xy в области
D : 0  x  2, 1  y  2.
Решение.
Данная область – прямоугольник.
1). Найдем стационарные точки, принадлежащие области D.
 z
 x  0
z
z
2
2
;
 3x  y ,
 3 y  x . Составим и решим систему уравнений: 

z
x
y
 0
 y
 x 2  y  0,
Решая систему, найдем точки Р1(0, 0) и Р2(1, 1).
 2
 y  x  0.
Значения функции в этих точках z1=0, z2= -1.
2). Исследуем функцию на границах области.
а) При х=0 имеем z  y 3 . Эта функция монотонно возрастает и на концах отрезка
 1, 2 принимает значения:
z
y  1
 1, z
y 2
 8.
б) При х=2 имеем z  8  y 3  6 y . Найдем значения этой функции в стационарной


точке и на концах отрезка  1, 2 . Имеем z   3 y 2  6 ; z   0 при y 2  2 , или, в данной
области, при y  2 ;
z y
2
 8  2 2  6 2  8  4 2 ; z y  1  13, z y  2  4.
в) При у= -1 имеем z  x 3  1  3x и z   3х 2  3  0 . Функция монотонно возрастает
от
z х0  1, z х2  13.
г) При у= 2 имеем z  x 3  8  6 x , z   3 х 2  6 ; z   0 при x  2 ; z
x 2
84 2 ;
z x0  8, z x2  6.
3) Сравнивая все полученные значения функции находим z наиб  13 в точке (2, -1);
z наим  1 в точках (1, 1) и (0, -1).