Дифференцирование неявных функций

Дифференцирование неявных функций
Функция y  f (x) может быть задана в неявном виде уравнением F ( x, y )  0 , не
разрешенным относительно y . Например, уравнение x 2  y 2  R 2 или x 2  y 2  R 2  0
задает неявную функцию y от x .
Всякую явно заданную функцию y  f (x) можно представить в неявном виде
уравнением y  f ( x)  0 . Но не всякую неявно заданную функцию можно
представить в явном виде. Поэтому для нахождения производной функции
F ( x; y )  0 применяют следующие два способа.
1 способ:
1) продифференцировать обе части равенства по переменной x , т.е. x'  1 , а
производная от y равна y ' ;
2) полученное уравнение разрешить относительно y ' (выразить y ' ).
2 способ:
1) дифференцируем выражение F ( x, y ) по переменной x , т.е. x'  1 , при этом y
рассматриваем как число, т.е. y ' 0 . Это частная производная по x : Fx'  x; y  .
2) дифференцируем выражение F ( x, y ) по переменной y , т.е. y ' 1 , при этом x
рассматриваем как число, т.е. x' 0 . Это частная производная по y : Fy' x; y  .
3) находим производную функции y от x по формуле y  
Fx' x; y 
(*)
Fy' x; y 
Пример 1.
Найти y ' , если x 4  y 3  3xy  0 .
Решение: 1 способ: 4 x3  3 y 2 y  3( y  xy)  0  4 x3  3 y 2 y  3 y  3xy  0
 3 y 2 y  3xy  3 y  4 x3  y(3 y 2  3x)  3 y  4 x3  y 
2 способ: по формуле (*): y  
Fx' x; y 
4 x3  3 y 3 y  4 x3



Fy' x; y 
3 y 2  3x 3 y 2  3x
3 y  4 x3
.
3 y 2  3x
Пример 2.
Найти y ' , если ln xy   5 x 2 y  0 .
xy'  52 xy  x 2 y'  0 
y  xy'
 10 xy  5 x 2 y'  0
xy
xy
1

1 y'
1
y 10 x 2 y  1
   5 x 2 y '  10 xy  y '   5 x 2   10 xy   y ' 
.
x y
x
x1  5 x 2 y 
y

1
 10 xy
Fx' x; y 
y 10 x 2 y  1
2 способ: по формуле (*): y   '
.
 x

2
1


Fy x; y 
x
1

5
x
y
2
 5x
y
Решение: 1 способ:
Пример 3.
Найти y ' , если x 2  y 2  a 2  2 x  2ay
Решение: Приведем функцию к виду F ( x, y )  0 : x 2  y 2  a 2  2 x  2ay  0 .
1 способ: 2 x  2 yy  2  2ay  0  x  y y  a   1  y 
2 способ: по формуле (*): y  
1 x
ya
Fx' x; y 
2x  2
1 x
.


'
Fy x; y 
2 y  2a y  a