Расчет элементов прямоугольного сечения с симетричной

Расчет элементов прямоугольного сечения с симетричной арматурой на косое
внецентренное сжатие (п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84)
Исходные данные:
Размеры элемента:
- Расчетная длина элемента l0 = 200 см = 200 / 100 = 2 м;
- Пролет элемента l = 200 см = 200 / 100 = 2 м;
- Расстояние между сечениями элемента, закрепленными от смещения
lf = 200 см = 200 / 100 = 2 м;
Коэффициенты условия работы:
- Коэффициент условия работы бетона gb2 = 1,1 ;
Усилия:
- Нормальная сила N = 265,12622 тс = 265,12622 / 101,97162123 = 2,6 МН;
- Изгибающий момент (от всех нагрузок; относительно нейтральной оси)
M = 24,47319 тс м = 24,47319 / 101,97162123 = 0,24 МН м;
Размеры сечения:
- Высота сечения h = 60 см = 60 / 100 = 0,6 м;
- Ширина прямоугольного сечения b = 40 см = 40 / 100 = 0,4 м;
Толщина защитного слоя:
- Расстояние от равнодействующей усилий в арматуре S до грани сечения
a = 5 см = 5 / 100 = 0,05 м;
Характеристики продольной арматуры:
- Расчетное сопротивление растяжению для предельных состояний второй группы Rs, ser = 390 МПа;
- Расчетное сопротивление продольной арматуры растяжению Rs = 365 МПа;
- Расчетное сопротивление продольной арматуры сжатию Rsc = 365 МПа;
- Модуль упругости арматуры Es = 200000 МПа;
Характеристики бетона:
- Расчетное сопротивление бетона осевому сжатию для пред. состояний I группы R b = 14,5 МПа;
- Расчетное сопротивление бетона растяжению для пред. состояний I группы R bt = 1,05 МПа;
- Расчетное сопротивление бетона осевому сжатию для пред. состояний II группы Rb, ser = 18,5 МПа;
- Расчетное сопротивление бетона растяжению для пред. состояний II группы R bt, ser = 1,6 МПа;
- Модуль упругости бетона Eb = 27000 МПа;
Площадь наиболее растянутой продольной арматуры:
- Площадь наиболее растянутой продольной арматуры
As = 1111111 см 2 = 1111111 / 10000 = 111,1111 м 2;
Усилия при косом изгибе:
- Изгибающий момент относительно оси Y M y = 24,473 тс м = 24,473 / 101,97162123 = 0,24 МН м;
- Изгибающий момент относительно оси X Mx = 18,6098 тс м = 18,6098 / 101,97162123 = 0,1825 МН м;
- Нормальная сила N = 265,126 тс = 265,126 / 101,97162123 = 2,6 МН;
Размеры сечения при косом изгибе:
- Высота грани сечения нормальной оси Y hy = 40 см = 40 / 100 = 0,4 м;
- Высота грани сечения нормальной оси X hx = 60 см = 60 / 100 = 0,6 м;
Характеристики арматуры при косом изгибе:
- Количество промежуточных стержней по грани нормальной оси Y n y = 1 ;
- Количество промежуточных стержней по грани нормальной оси X nx = 0 ;
- Диаметр промежуточного стержня по грани нормальной оси Y
ds1, y = 2 см = 2 / 100 = 0,02 м;
- Диаметр промежуточного стержня по грани нормальной оси X
ds1, x = 0 см = 0 / 100 = 0 м;
- Диаметр углового стержня dso = 3,2 см = 3,2 / 100 = 0,032 м;
Расчетные длины элемента при косом изгибе:
- Расчетная длина элемента в плоскости действия момента М y
loy = 200 см = 200 / 100 = 2 м;
- Расчетная длина элемента в плоскости действия момента Мх
lox = 200 см = 200 / 100 = 2 м;
Результаты расчета:
1) Расчет элементов прямоугольного сечения с симетричной арматурой на косое внецентренное сжатие
(п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84) (начало расчета)
Площадь каждого из промежуточных стержней по грани нормальной оси X:
As1, x = 3,14159265 ds1, x 2/4=3,14159 · 0 2/4 = 0 м 2 .
Площадь каждого из промежуточных стержней по грани нормальной оси Y:
As1, y = 3,14159265 ds1, y 2/4=3,14159 · 0,02 2/4 = 0,000314159 м 2 .
Площадь углового стержня:
Aso = 3,14159265 dso 2/4=3,14159 · 0,032 2/4 = 0,0008 м 2 .
Площадь всей арматуры в сечении:
As, tot = 2 (As1, x nx+As1, y ny)+4 Aso =
=2 · (0 · 0+0,000314159 · 1)+4 · 0,0008 = 0,00383 м 2 .
Коэффициент:
b = (Mx /My ) (hy/hx)=(0,1825/0,24) · (0,4/0,6) = 0,50695 .
Площадь арматуры по грани нормальной оси X:
Asx = As1, x (nx+1)+(2 Aso-As1, x-As1, y) b/(1+ b) =
=0 · (0+1)+(2 · 0,0008-0-0,000314159) · 0,50695/(1+0,50695) = 0,000432567 м 2 (формула (151); п. 3.74 Пособие к
СНиП 2.03.01-84).
Площадь арматуры по грани нормальной оси Y:
Asy = As, tot/2-Asx =
=0,00383/2-0,000432567 = 0,00148 м 2 (формула (152); п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
Определение относительной высоты сжатой зоны бетона
Бетон - тяжелый.
Коэффициент:
a=0,85 .
Характеристика сжатой зоны бетона:
w = a-0,008 Rb gb2=0,85-0,008 · 14,5 · 1,1 = 0,7224 .
Напряжения в арматуре:
sSR = Rs =365 МПа .
Т.к. gb2 t 1 :
Предельные напряжения в арматуре сжатой зоны:
ssc, u=400 МПа .
Граничная относительная высота сжатой зоны:
xR = w/(1+( sSR/ ssc, u) (1-( w/1,1))) =
=0,7224/(1+(365/400) · (1-(0,7224/1,1))) = 0,55009 (формула (14); п. 3.14 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
2) Продолжение расчета по п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Определение момента Mx, действующего в плоскости нормальной оcи X.
Высота сечения:
h = hy =0,4 м .
Рабочая высота сечения:
h0 = h-a=0,4-0,05 = 0,35 м .
Ширина прямоугольного сечения:
b = hx =0,6 м .
Изгибающий момент (от всех нагрузок; относительно нейтральной оси):
M = Mx =0,1825 МН м .
As = Asx =0,000432567 м 2 .
Площадь арматуры промежуточных стержней на одной гране сечения:
Asl = Asy =0,00148 м 2 .
Площадь стержней основной арматуры у одной из граней сечения:
Ast = Asx =0,000432567 м 2 .
Способ учета влияния длительности действия нагрузки - принято максимальное влияние,
предусмотренное СНиП.
Расчетная длина элемента:
l0 = lox =2 м .
Определение коэффициентов:
Коэффициент:
an1 = N/( gb2 Rb b h)=2,6/(1,1 · 14,5 · 0,6 · 0,4) = 0,67921 .
Коэффициент:
d1 = a/h=0,05/0,4 = 0,125 .
Коэффициент:
asl = Rs Asl/( gb2 Rb b h (0,5- d1)) =
=365 · 0,00148/(1,1 · 14,5 · 0,6 · 0,4 · (0,5-0,125)) = 0,37631 .
Коэффициент:
ast = Rs Ast/( gb2 Rb b h)=365 · 0,000432567/(1,1 · 14,5 · 0,6 · 0,4) = 0,04125 .
Учет влияния прогиба на несущую способность внецентренно-сжатых элементов прямоугольного
сечения
Геометрические характеристики прямоугольного сечения
Момент инерции поперечного сечения бетона:
I = b h 3/12=0,6 · 0,4 3/12 = 0,0032 м 4 .
Площадь поперечного сечения бетона:
A = b h=0,6 · 0,4 = 0,24 м 2 .
Радиус инерции поперечного сечения бетона:
i = ; I/A =; 0,0032/0,24 = 0,11547 м .
3) Продолжение расчета по п. 3.54 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Т.к. l0/ i=2/0,11547=17,32052 > 14 :
Требуется учет влияния прогиба на несущую способность.
Бетон - тяжелый.
Коэффициент:
По табл. 16 Пособие к СНиП 2.03.01-84
b = 1.
Способ учета влияния длительности действия нагрузки - принято максимальное влияние,
предусмотренное СНиП.
Коэффициент, учитывающий влияние длительного действия нагрузки на прогиб:
fl = 1+ b=1+1 = 2 .
Определение случайного эксцентриситета продольной силы (по п. 1.21 СНиП 2.03.01-84):
Элемент - не входит в состав сборной конструкции.
Случайный эксцентриситет:
ea = max(l/600 ; lf/600 ; h/30)=max(2/600;2/600;0,4/30) = 0,01333 м .
Определение эксцентриситета продольной силы (по п. 3.50 СНиП 2.03.01-84):
Элемент - статически неопределимой конструкции.
Эксцентриситет продольной силы N относительно центра тяжести приведенного сечения:
e0 = M/N=0,1825/2,6 = 0,07019 м .
Эксцентриситет eo принмается не ниже случайного.
Т.к. e0=0,07019 м t ea=0,01333 м :
e0=0,07019 t ea=0,01333 (526,55664% от предельного значения) - условие выполнено .
Коэффициент:
de = e0/h=0,07019/0,4 = 0,17548 .
Коэффициент:
de, min = 0,5-0,01 (l0/h)-0,01 gb2 Rb =
=0,5-0,01 · (2/0,4)-0,01 · 1,1 · 14,5 = 0,2905 (формула (95); п. 3.54 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
Т.к. de=0,17548 < de, min=0,2905 :
Коэффициент:
de = de, min =0,2905 .
4) Продолжение расчета по п. 3.54 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Коэффициент:
a = Es/Eb=200000/27000 = 7,40741 .
Для прямоугольного сечения с одинаковой арматурой S и S':
Момент инерции сечения арматуры относительно центра тяжести сечения элемента:
Is = 2 As (h/2-a) 2=2 · 0,000432567 · (0,4/2-0,05) 2 = 0,000019466 м 4 .
Арматура расположена - по высоте сечения.
Коэффициент:
ma = (As, tot/(b h)) (Es/Eb)=(0,00383/(0,6 · 0,4)) · (200000/27000) = 0,11821 .
Условная критическая сила:
Ncr = (1,6 Eb b h/((l0/h) 2)) ((0,11/(0,1+ de)+0,1)/(3 fl)+ ma ((h0-a)/h) 2) =
=(1,6 · 27000 · 0,6 · 0,4/((2/0,4) 2)) · ((0,11/(0,1+0,2905)+0,1)/(3 · 2)+0,11821 · ((0,35-0,05)/0,4) 2) = 53,95845 МН
(формула (93); п. 3.54 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
N=2,6 МН r Ncr=53,95845 МН (4,81852% от предельного значения) - условие выполнено .
Коэффициент:
h = 1/(1-(N/Ncr))=1/(1-(2,6/53,95845)) = 1,05062 .
Проверка требования минимального процента армирования (п. 5.16 СНиП 2.03.01-84).
Арматура расположена по контуру сечения - равномерно.
Элемент - внецентренно-сжатый.
Площадь сечения бетона:
A = b h=0,6 · 0,4 = 0,24 м 2 .
I=b
Момент инерции поперечного сечения бетона:
· 0,4 3/12 = 0,0032 м 4 .
h 3/12=0,6
Радиус инерции поперечного сечения бетона:
i = ; I/A =; 0,0032/0,24 = 0,11547 м .
Т.к. l0/ i=2/0,11547=17,32052 t 17 и l0/ i=2/0,11547=17,32052 r 35
требуется расчет по следующим формулам .
Минимальный процент армирования:
amin=0,1 % .
amin=0,1 % r 100 2 As /A =100 · 2 · 0,000432567/0,24=0,36047 % (27,74137% от предельного значения)
- условие выполнено .
5) Продолжение расчета по п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Коэффициент:
hx = h =1,05062 .
Определение предельного изгибающего момента
Высота сжатой зоны бетона:
x = N/( gb2 Rb b)=2,6/(1,1 · 14,5 · 0,6) = 0,27168 м .
Т.к. x=0,27168 > xR h0=0,55009 · 0,35=0,19253 :
Относительная высота сжатой зоны:
x = ( an1+ asl)/(1+2 asl/ w) =
=(0,67921+0,37631)/(1+2 · 0,37631/0,7224) = 0,51695 .
Коэффициент:
x1 = x/ w=0,51695/0,7224 = 0,7156 .
Т.к. x=0,51695 r xR=0,55009 :
Предельный изгибающий момент определяется как правая часть формулы (117).
Предельный изгибающий момент:
Mo = gb2 Rb b h 2 (0,5 x (1- x)+ asl ( x1- d1) (1- x1- d1)-0,05 asl x1 2+ ast (1-2 d1)) =
=1,1 · 14,5 · 0,6 · 0,4 2 · (0,5 · 0,51695 · (1-0,51695)+0,37631 · (0,7156-0,125) · (1-0,7156-0,125)-0,05 · 0,37631 ·
0,7156 2+0,04125 · (1-2 · 0,125)) = 0,27804 МН м .
Mo > 0 - условие выполнено .
6) Продолжение расчета по п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Предельный изгибающий момент:
Mxo = Mo =0,27804 МН м .
Отношение Mx с учетом коэффициента h к Mxo:
mx = hx Mx /Mxo=1,05062 · 0,1825/0,27804 = 0,68961 .
mx r 1 (68,961% от предельного значения) - условие выполнено .
Определение момента My, действующего в плоскости нормальной оcи Y.
Высота сечения:
h = hx =0,6 м .
Рабочая высота сечения:
h0 = h-a=0,6-0,05 = 0,55 м .
Ширина прямоугольного сечения:
b = hy =0,4 м .
Изгибающий момент (от всех нагрузок; относительно нейтральной оси):
M = My =0,24 МН м .
As = Asy =0,00148 м 2 .
Площадь арматуры промежуточных стержней на одной гране сечения:
Asl = Asx =0,000432567 м 2 .
Площадь стержней основной арматуры у одной из граней сечения:
Ast = Asy =0,00148 м 2 .
Способ учета влияния длительности действия нагрузки - принято максимальное влияние,
предусмотренное СНиП.
Расчетная длина элемента:
l0 = loy =2 м .
Определение коэффициентов:
Коэффициент:
an1 = N/( gb2 Rb b h)=2,6/(1,1 · 14,5 · 0,4 · 0,6) = 0,67921 .
Коэффициент:
d1 = a/h=0,05/0,6 = 0,08333 .
Коэффициент:
asl = Rs Asl/( gb2 Rb b h (0,5- d1)) =
=365 · 0,000432567/(1,1 · 14,5 · 0,4 · 0,6 · (0,5-0,08333)) = 0,09899 .
Коэффициент:
ast = Rs Ast/( gb2 Rb b h)=365 · 0,00148/(1,1 · 14,5 · 0,4 · 0,6) = 0,14112 .
Учет влияния прогиба на несущую способность внецентренно-сжатых элементов прямоугольного
сечения
Геометрические характеристики прямоугольного сечения
Момент инерции поперечного сечения бетона:
I = b h 3/12=0,4 · 0,6 3/12 = 0,0072 м 4 .
Площадь поперечного сечения бетона:
A = b h=0,4 · 0,6 = 0,24 м 2 .
Радиус инерции поперечного сечения бетона:
i = ; I/A =; 0,0072/0,24 = 0,17321 м .
7) Продолжение расчета по п. 3.54 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Т.к. l0/ i=2/0,17321=11,54668 r 14 :
Учета влияния прогиба на несущую способность внецентренно-сжатых элементов прямоугольного
сечения не требуется (п. 3.3 СНиП 2.03.01-84).
Коэффициент:
h=1 .
Проверка требования минимального процента армирования (п. 5.16 СНиП 2.03.01-84).
Арматура расположена по контуру сечения - равномерно.
Элемент - внецентренно-сжатый.
Площадь сечения бетона:
A = b h=0,4 · 0,6 = 0,24 м 2 .
Момент инерции поперечного сечения бетона:
I = b h 3/12=0,4 · 0,6 3/12 = 0,0072 м 4 .
Радиус инерции поперечного сечения бетона:
i = ; I/A =; 0,0072/0,24 = 0,17321 м .
Т.к. l0/ i=2/0,17321=11,54668 < 17 :
Минимальный процент армирования:
amin=0,05 % .
amin=0,05 % r 100 2 As /A =100 · 2 · 0,00148/0,24=1,23333 % (4,05405% от предельного значения) условие выполнено .
8) Продолжение расчета по п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Коэффициент:
hy = h =1 .
Определение предельного изгибающего момента
Высота сжатой зоны бетона:
x = N/( gb2 Rb b)=2,6/(1,1 · 14,5 · 0,4) = 0,40752 м .
Т.к. x=0,40752 > xR h0=0,55009 · 0,55=0,30255 :
Относительная высота сжатой зоны:
x = ( an1+ asl)/(1+2 asl/ w) =
=(0,67921+0,09899)/(1+2 · 0,09899/0,7224) = 0,6108 .
Коэффициент:
x1 = x/ w=0,6108/0,7224 = 0,84551 .
Т.к. x=0,6108 > xR=0,55009 :
Предельный изгибающий момент определяется как правая часть формулы (118).
Относительная величина продольной силы при равномерном сжатии:
ana = 1+(Rs As, tot)/(Rb h b)=1+(365 · 0,00383)/(14,5 · 0,6 · 0,4) = 1,40171 .
Коэффициент:
x1R = xR/ w=0,55009/0,7224 = 0,76148 .
Относительная величина изгибающего момента:
amR = 0,5 xR (1- xR)+ asl ( x1R- d1) (1- x1R- d1)-0,05 asl x1R 2+ ast (1-2 d1) =
=0,5 · 0,55009 · (1-0,55009)+0,09899 · (0,76148-0,08333) · (1-0,76148-0,08333)-0,05 · 0,09899 · 0,76148 2+0,14112 ·
(1-2 · 0,08333) = 0,24889 .
Относительная величина продольной силы:
anR = xR+ asl (2 x1R-1)=0,55009+0,09899 · (2 · 0,76148-1) = 0,60186 .
Предельный изгибающий момент:
Mo = gb2 Rb b h 2 amR ( ana- an1)/( ana- anR) =
=1,1 · 14,5 · 0,4 · 0,6 2 · 0,24889 · (1,40171-0,67921)/(1,40171-0,60186) = 0,51637 МН м .
Mo > 0 - условие выполнено .
9) Продолжение расчета по п. 3.74 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Предельный изгибающий момент:
Myo = Mo =0,51637 МН м .
Отношение My с учетом коэффициента h к Myo:
my = hy My /Myo=1 · 0,24/0,51637 = 0,46478 .
my r 1 (46,478% от предельного значения) - условие выполнено .
Коэффициент:
as = Rs As, tot/( gb2 Rb b h) =
=365 · 0,00383/(1,1 · 14,5 · 0,4 · 0,6) = 0,36519 .
Проверка несущей способности по графику на черт. 42
Проверка условий возможности применения черт. 42:
as t 0,2 (182,595% от предельного значения) - условие выполнено .
Т.к. as=0,36519 > 0,2 и as=0,36519 r 0,4
требуется расчет по следующим формулам .
Т.к. an1=0,67921 t 0,4 и an1=0,67921 < 0,8
требуется расчет по следующим формулам .
По черт. 42а при an1=0,4
Предельное отношение Mo/Mxo:
mx, cr = 0,75999 .
mx=0,68961 r mx, cr=0,75999 (90,73935% от предельного значения) - условие выполнено .
По черт. 42а при an1=0,8
Предельное отношение Mo/Mxo:
mx, cr = 0,80119 .
mx=0,68961 r mx, cr=0,80119 (86,07322% от предельного значения) - условие выполнено .
По черт. 42б при an1=0,4
Предельное отношение Mo/Mxo:
mx, cr = 0,75577 .
mx=0,68961 r mx, cr=0,75577 (91,24601% от предельного значения) - условие выполнено .
По черт. 42б при an1=0,8
Предельное отношение Mo/Mxo:
mx, cr = 0,77619 .
mx=0,68961 r mx, cr=0,77619 (88,84551% от предельного значения) - условие выполнено .