Прогиб изгибаемого элемента прямоугольного сечения с

Прогиб изгибаемого элемента прямоугольного сечения с шарнирными опорами
(Пособие к СНиП 2.03.01-84; 4.29) (по примеру 57)
Исходные данные:
Размеры элемента:
- Пролет элемента l = 310 см = 310 / 100 = 3,1 м;
Размеры сечения:
- Высота сечения h = 12 см = 12 / 100 = 0,12 м;
- Ширина прямоугольного сечения b = 100 см = 100 / 100 = 1 м;
Толщина защитного слоя:
- Расстояние от равнодействующей усилий в арматуре S до грани сечения
a = 1,5 см = 1,5 / 100 = 0,015 м;
- Расстояние от равнодействующей усилий в арматуре S' до грани сечения
a' = 0 см = 0 / 100 = 0 м;
Характеристики продольной арматуры:
- Расчетное сопротивление растяжению для предельных состояний второй группы Rs, ser =
295 МПа;
- Расчетное сопротивление продольной арматуры растяжению Rs = 280 МПа;
- Расчетное сопротивление продольной арматуры сжатию Rsc = 280 МПа;
- Модуль упругости арматуры Es = 210000 МПа;
Характеристики бетона:
- Расчетное сопротивление бетона осевому сжатию для пред. состояний I группы Rb = 14,5
МПа;
- Расчетное сопротивление бетона растяжению для пред. состояний I группы Rbt = 1,05
МПа;
- Расчетное сопротивление бетона осевому сжатию для пред. состояний II группы Rb, ser =
18,5 МПа;
- Расчетное сопротивление бетона растяжению для пред. состояний II группы Rbt, ser = 1,6
МПа;
- Модуль упругости бетона Eb = 27000 МПа;
Площадь наиболее растянутой продольной арматуры:
(Стержневая арматура, диаметром 10 мм; 5 шт.):
- Площадь наиболее растянутой продольной арматуры
As = 3,9 см 2 = 3,9 / 10000 = 0,00039 м 2;
Площадь сжатой или наименее растянутой продольной арматуры:
- Площадь сжатой или наименее растянутой продольной арматуры
A's = 0 см 2 = 0 / 10000 = 0 м 2;
Усилия от нормативной нагрузки:
- Изгибающий момент от постоянной и длительной нормативной нагрузки
Ml = 0,7342 тс м = 0,7342 / 101,97162123 = 0,0072 МН м;
- Изгибающий момент от полной нормативной нагрузки
M = 0,85656 тс м = 0,85656 / 101,97162123 = 0,0084 МН м;
Предельный прогиб:
- Величина обратная к предельному значению относительного прогиба 1/[f/L] kf = 200 ;
Усилия при определении прогибов элементов с защемлением на опорах:
- Изгибающий момент в середине пролета Mm = 0,7342 тс м = 0,7342 / 101,97162123 =
0,0072 МН м;
Результаты расчета:
1) Прогиб изгибаемого элемента прямоугольного сечения с шарнирными опорами
(Пособие к СНиП 2.03.01-84; 4.29) (по примеру 57) (начало расчета)
Расчетная схема - свободно опертая балка.
Нагрузка - равномерно-распределенная.
Коэффициент:
rm=0,10417 .
Рабочая высота сечения:
h0 = h-a=0,12-0,015 = 0,105 м .
Сечение - прямоугольное.
Коэффициент армирования:
m = As/(b h0)=0,00039/(1 · 0,105) = 0,00371 .
Т.к. m r 0,005 :
Изгибающий момент от полной нормативной нагрузки:
Mtot = M =0,0084 МН м .
Значение I red и Mcrc определяется как для бетонного элемента:
Момент инерции приведенного сечения:
Ired = b h 3/12=1 · 0,12 3/12 = 0,000144 м 4 .
Момент, воспринимаемый сечением нормальным к продольной оси элемента при
образовании трещин:
Mcrc = 0,292 b h 2 Rbt, ser=0,292 · 1 · 0,12 2 · 1,6 = 0,00673 МН м .
Коэффициент:
lcrc = (1-; 1-Mcrc/Mtot )/2=(1-; 1-0,00673/0,0084 )/2 = 0,27706 .
Коэффициент:
rcrc = lcrc (1+3 lcrc)/12=0,27706 · (1+3 · 0,27706)/12 = 0,04228 .
Определение радиуса кривизны в середине пролета
Изгибающий момент:
M = Mm =0,0072 МН м .
Действие нагрузки - продолжительное.
Влажность воздуха - нормальная (40-75%).
Коэффициент:
n=0,15 .
Определение кривизны изгибаемых элементов с трещинами в растянутой зоне
Действие нагрузки - продолжительное.
Сумма моментов в продольной арматуре:
Ms = Ml =0,0072 МН м .
Для тяжелого и легкого бетона с трещинами в растянутой класса В10 и выше:
Коэффициент, учитывающий работу растянутого бетона:
yb=0,9 .
Определение высоты сжатой зоны с учетом раскрытия трещин для изгибаемого элемента
Для тяжелого и легкого бетона:
Коэффициент:
b=1,8 .
Коэффициент:
a = Es/Eb=210000/27000 = 7,77778 .
Рабочая высота сечения:
h0 = h-a=0,12-0,015 = 0,105 м .
Сечение - прямоугольное.
Коэффициент:
d = Ms/(b h0 2 Rb, ser) =
=0,0072/(1 · 0,105 2 · 18,5) = 0,0353 (формула (275); п. 4.16 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
Коэффициент:
ma = a As/(b h0) =
=7,77778 · 0,00039/(1 · 0,105) = 0,02889 (формула (278); п. 4.16 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
Коэффициент армирования:
m = As/(b h0)=0,00039/(1 · 0,105) = 0,00371 .
Арматура S' - отсутствует.
В формулах (276) и (279) подставлено h'f=0.
Коэффициент:
ff=0 .
Коэффициент:
l = ff =0 .
Относительная высота сжатой зоны:
x = 1/( b+(1+5 ( d+ l))/(10 ma)) =
=1/(1,8+(1+5 · (0,0353+0))/(10 · 0,02889)) = 0,17029 (формула (274); п. 4.16 Пособие к СНиП
2.03.01-84).
Арматура S' - отсутствует.
2) Продолжение расчета по п. 4.16 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Расстояние от центра тяжести площади сечения арматуры S до точки приложения
равнодействующей усилий в сжатой зоне над трещиной:
z = h0 (1-((2 a'/h0) ff+ x 2)/(2 ( ff+ x))) =
=0,105 · (1-((2 · 0/0,105) · 0+0,17029 2)/(2 · (0+0,17029))) = 0,09606 м (формула (279); п. 4.16
Пособие к СНиП 2.03.01-84).
В соответствии с п. 4.2 для изгибаемых элементов:
Действие нагрузки - продолжительное.
Момент внешних сил расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения,
относительно оси параллельной нулевой линии и проходящей через ядровую точку, наиболее
удаленную от растянутой зоны:
Mr = Ml =0,0072 МН м .
Определение момента сопротивления Wpl
Сечение - прямоугольное.
Коэффициент:
g1=0 .
Коэффициент:
g'1=0 .
Коэффициент:
m1 = As/(b h)=0,00039/(1 · 0,12) = 0,00325 .
Коэффициент:
m'1 = A's/(b h)=0/(1 · 0,12) = 0 .
Коэффициент:
a = Es/Eb=210000/27000 = 7,77778 .
Момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна с учетом
неупругих деформаций бетона:
Wpl = (0,292+0,75 ( g1+2 m1 a)+0,075 ( g'1+2 m'1 a)) b h 2 =
=(0,292+0,75 · (0+2 · 0,00325 · 7,77778)+0,075 · (0+2 · 0 · 7,77778)) · 1 · 0,12 2 = 0,00475 м 3
(формула (246); п. 4.3 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
3) Продолжение расчета по п. 4.17 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Коэффициент fls определяется по табл. 32:
Действие нагрузки - продолжительное.
Коэффициент, учитывающий длительность действия нагрузки:
fls=0,8 .
Коэффициент:
fm = Rbt, ser Wpl/Mr =
=1,6 · 0,00475/0,0072 = 1,05556 (формула (281); п. 4.17 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
Т.к. fm > 1 :
Коэффициент:
fm =1 .
Для изгибаемых элементов коэффициент ys определяется по формуле (280), принимая
последний член в правой части формулы (280) равным нулю.
Коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций по длине
элемента:
ys = 1,25- fls fm =
=1,25-0,8 · 1 = 0,45 (формула (280); п. 4.17 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
4) Продолжение расчета по п. 4.15 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Сечение - прямоугольное.
Расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее
удаленной от растянутой зоны:
r = 1/((Ms/(h0 z)) ( ys/(Es As)+ yb/(( ff+ x) b h0 Eb n))) =
=1/((0,0072/(0,105 · 0,09606)) · (0,45/(210000 · 0,00039)+0,9/((0+0,17029) · 1 · 0,105 · 27000 ·
0,15))) = 78,16193 м (формула (271); п. 4.15 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
Радиус кривизны в середине пролета:
rm = r =78,16193 м .
Бетон - тяжелый.
Коэффициент:
fb1=0,85 .
Действие нагрузки - продолжительное.
Изгибающий момент от кратковременной нагрузки:
Msh=0 МН м .
Для легкого или тяжелого бетона:
Влажность воздуха окружающей среды, % - 40-75 (нормальная).
Коэффициент:
По табл. 31 Пособие к СНиП 2.03.01-84
fb2 = 2 .
Радиус кривизны в середине пролета для сплошного тела:
rm, el = fb1 Eb Ired/(Ml fb2) =
=0,85 · 27000 · 0,000144/(0,0072 · 2) = 229,49865 м (формула (270); п. 4.14 Пособие к СНиП
2.03.01-84).
Прогиб:
f = ((1/rm) rm-((1/rm)-(1/rm, el)) rcrc) l 2 =
=((1/78,16193) · 0,10417-((1/78,16193)-(1/229,4987)) · 0,04228) · 3,1 2 = 0,00938 м (формула (312);
п. 4.29 Пособие к СНиП 2.03.01-84).
5) Продолжение расчета по п. 4.29 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Конструкция - сплошная плита, армированная тонкими сетками.
Т.к. h < 0,25 м :
Уточнение значений прогиба для сплошностенчатых плит толщиной менее 0,25 мм,
армируемых тонкими сетками
Т.к. (h0/(h0-0,007)) 3=(0,105/(0,105-0,007)) 3=1,22996 r 1,5 :
Прогиб:
f = (h0/(h0-0,007)) 3 f=(0,105/(0,105-0,007)) 3 · 0,00938 = 0,01154 м .
6) Продолжение расчета по п. 4.29 Пособие к СНиП 2.03.01-84
Учет влияния деформаций сдвига
Т.к. l/h=3,1/0,12=25,83333 t 10 :
учитывать влияние на прогиб элемента деформаций сдвига не требуется.
7) Продолжение расчета по п. 4.29 Пособие к СНиП 2.03.01-84
f=0,01154 м r (1/kf) l=(1/200) · 3,1=0,0155 м (74,45161% от предельного значения) - условие
выполнено .