формула замены переменных для двойного интеграла

306
§ 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции.
Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах.
Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и
сферических координатах
Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от
скалярной функции.
Пусть функции
x = x ( u, v , w), y = y ( u, v , w), z = z ( u, v , w)
(26)
взаимно однозначно отображают фигуру ( Φ1 ) , заданную в координатах u, v , w , на фигуру ( Φ) в декартовых прямоугольных координатах x , y , z . Величины u, v , w в этом
случае называются криволинейными координатами. Фиксируя поочередно одну из
переменных, получим координатные поверхности системы координат u, v , w :
u = const, v = const, w = const .
Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными. Положительные направления на них выбираются произвольно или определяются условиями задачи. Через каждую точку пространства R 3 проходят три взаимно
пересекающиеся поверхности и соответственно три координатные линии.
Название каждой из координатных линий соответствует обозначению той переменной, которая меняется вдоль нее.
Рассмотрим задачу замены переменных в интеграле по фигуре в общем случае.
Предположим, что функции (26) взаимно однозначны, непрерывны и имеют непрерывные частные производные на ( Φ1 ) : при этом элементарная фигура ( ΔΦ1i ) перехо-
дит в фигуру ( ΔΦ i ) , их меры соответственно равны Δμ1i и Δμi . Тогда справедлива
следующая формула замены переменных
∫ f1 ( u, v , w)dμ1 = ∫ f ( x , y , z )dμ
( Φ1 )
(Φ)
Здесь возникает задача отыскания зависимости между дифференциалами меры.
Вначале рассмотрим эту проблему в случае двойного интеграла.
Замена переменных в двойном интеграле.
Пусть в плоскости Оху задана область (D), ограниченная линией (L). Предположим, что осуществляется замена переменных
x = x ( u, v ), y = y ( u, v ) ,
(27)
причем функции x (u, v ), y (u, v ) взаимно однозначны и дифференцируемы в области
(D). Тогда формулы (27) устанавливают взаимно однозначное соответствие между
точками ( x , y ) ∈ D и ( u, v ) ∈( D ′)
307
v
y
(L)
(L)
P3
(D’)
v
P2
(D)
P4
P1
v
u
u
0
u
0
x
Если в плоскости Оху некоторая точка опишет замкнутую кривую (L), ограничивающую область (D), то в плоскости O ′uv соответствующая точка опишет замкнутую линию ( L ′) , ограничивающую область ( D ′) . Причем каждой точке P области (D)
будет соответствовать точка P ′ области ( D ′) . Таким образом, приведенные формулы
замены переменных (27) устанавливают взаимно однозначное соответствие между
точками областей (В) и ( D ′) . В общем случае прямым линиям u = const , v = const на
плоскости O ′uv будут соответствовать некоторые кривые на плоскости Оху, поэтому
координаты u и v точки Р называют криволинейными.
Разобьем область ( D ′) прямыми u = const , v = const на прямоугольные площадки. Тогда область (D) соответствующими кривыми линиями разобьется на криволинейные четырехугольники. Площадь элементарной фигуры P1′P2′P3′P4′ на плоскости
O ′ uv ΔS ′ = ΔuΔv . Площадь соответствующей ей элементарной фигуры P1 P2 P3 P4 на
плоскости Оху обозначим через ΔS , при этом, вообще говоря, ΔS ≠ ΔS ′ . Найдем величину ΔS , т.е. площадь достаточно малого четырехугольника P1 P2 P3 P4 координаты
вершин которого:
P1 ( x1 , y1 ) ,
x1 = x ( u, v ),
P3 ( x 3 , y 3 ) ,
x 3 = x (u + Δu, v + Δv ),
P2 ( x 2 , y 2 ) ,
P4 ( x 4 , y 4 ) ,
x 2 = x (u + Δu, v ),
x 4 = x (u, v + Δv ),
y1 = y (u, v )
y 2 = y (u + Δu, v )
y 3 = y (u + Δu, v + Δv )
y 4 = y (u, v + Δv )
При вычислении площади криволинейного четырехугольника P1 , P2 , P3 , P4 будем
считать линии P1 P2 , P2 P3 , P3 P4 , P4 P1 попарно параллельными прямыми (ввиду бесконечной малости).
Заменим приращения функций дифференциалами. Тогда координаты вершин
можно преобразовать к виду:
x1 = x ( u, v ),
x 2 = x(u, v ) +
∂x
Δu,
∂u
y1 = y (u, v ) ,
y 2 = y(u, v ) +
∂y
Δu ,
∂u
308
∂x
∂x
∂y
∂y
Δu + Δv , y 3 = y(u, v ) + Δu + Δv ,
∂u
∂v
∂u
∂v
∂x
∂y
x 4 = x(u, v ) + Δv ,
y 4 = y (u, v ) + Δv .
∂v
∂v
x 3 = x (u, v ) +
Полученные выражения дают основание считать четырехугольник параллелограммом. Тогда его площадь (по формуле из аналитической геометрии) будет вычисляться следующим образом:
ΔS = ( x 3 − x1 )( y 3 − y 2 ) − ( x 3 − x 2 )( y 3 − y1 ) ≈
∂x ⎞∂y
∂ x ⎛∂ y
∂y ⎞
⎛∂ x
≈⎜
Δu +
Δv⎟
Δv −
Δv ⎜
Δu +
Δv ⎟ =
⎝∂ u
∂v ⎠∂v
∂ v ⎝∂ u
∂v ⎠
∂x∂y
∂x∂y
∂x∂y ∂x∂y
ΔuΔv −
ΔuΔv =
ΔuΔv =
−
∂u∂v
∂v∂u
∂u∂v ∂v∂u
∂x ∂x
∂u ∂v
ΔuΔv ,
= mod
∂y ∂y
∂u ∂v
где mod A означает модуль определителя А.
Введем обозначение
∂x ∂x
∂u ∂v
=I
∂y ∂y
∂u ∂v
Определитель I называется функциональным определителем функций x( u, v ) и
y( u, v ) или якобианом ( честь немецкого математика Якоби).
Биографическая справка:
ЯКОБИ Карл Густав Якоб (Jacobi Carl Gustav
Jcob ) 10.12.1804 - 18.2. 1851. Немецкий математик, иностранный член - корр. и иностранный почетный член
Петербургской АН, член Берлинской и Парижской АН,
Лондонского королевского общества. Профессор Кенигсбергского университета(1829-1842). Один из создателей теории эллиптических функций. Ввел и изучил
θ − функции. Якоби принадлежат открытия в области
теории чисел, алгебры, вариационного исчисления, интегрального исчисления и теории дифференциальных
уравнений. Исследовал дифференциальные уравнения
динамики, указав ряд новых методов их решения. Якоби
ввел в рассмотрение функциональный определитель (якобиан) и указал его роль при
замене переменных в кратных интегралах и при решении уравнений в частных производных. Исследовал класс ортогональных многочленов (многочлены Якоби).
=
Следовательно, ΔS ≈ I ΔS ′ . Полученное равенство является приближенным.
Точность его возрастает в процессе уменьшения площади элементарных фигур и становится точным когда диаметры этих элементарных фигур стремятся к нулю. Тогда
309
⎛ ΔS ⎞
I = lim⎜
⎟
d → 0 ⎝ ΔS ′ ⎠
Тогда формула замены переменных для двойного интеграла примет вид
∫∫ f ( x , y )ds = (∫∫) f ( u, v ) I dudv
1
( D)
(28)
D
Замечание Переход к полярным координатам в двойном интеграле является
частным случаем замены переменных в двойном интеграле при u = r , v = ϕ . Тогда
x = x ( r , ϕ ) = r cos ϕ , y = y ( r , ϕ ) = r sin ϕ
∂x ∂x
∂ r ∂ ϕ cos ϕ − r sin ϕ
I=
=
=r.
∂ y ∂ y sin ϕ r cos ϕ
∂r ∂ϕ
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
В общем случае при замене переменных в тройном интеграле имеет место формула,
аналогичная формуле (28). Причем якобиан имеет вид
∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂w
∂y ∂y ∂y
.
(29)
I=
∂u ∂v ∂w
∂z ∂z ∂z
∂u ∂v ∂w
Формула замены переменных для тройного интеграла примет вид
(30)
∫∫∫ f ( x , y , z )dv = ∫∫∫ f1 ( u, v , w) I dudvdw .
(V )
(V )
Рассмотрим конкретный вид формулы (30) в случае перехода к цилиндрическим координатам. Здесь u = r , v = ϕ , w = z и связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:
⎧x = x ( u, v , w) = r cos ϕ ,
⎪
⎨ y = y ( u, v , w) = r sin ϕ ,
⎪
⎩ z = z ( u, v , w ) = z .
Тогда определитель Якоби
cos ϕ
I = sin ϕ
− r sin ϕ 0
r cos ϕ 0 = r ,
0
0
1
а формула замены переменных при переходе к цилиндрическим координатам примет
вид
f ( x , y , z ) dv = ∫∫∫ f ( r , ϕ , z )rdrdϕdz
∫∫∫
( )
( )
1
V
V
Как и в случае декартовой системы координат, вычисление тройного интеграла
сводится к трехкратному последовательному интегрированию, при этом обычно
внешний интеграл удобно брать по переменной ϕ , средний - по r и внутренний по -
310
по z. Для расстановки пределов интегрирования область проектируют на координатную плоскость Оху. Затем расставляют пределы интегрирования (как в случае полярной системы координат), а затем определяют пределы по переменной z ( от точки
входа в область интегрирования до точки выхода из нее).
Таким образом интеграл, после расстановки пределов интегрирования запишется в
виде
β
r2 ( ϕ )
z 2 ( r ,ϕ )
r1 (
z1 ( r ,
f ( x , y , z ) dv = ∫∫∫ f ( r , ϕ , z ) rdrdϕdz = ∫ dϕ ∫ rdr ∫ f ( r , ϕ , z ) dz .
∫∫∫
( )
( )
α
ϕ
ϕ
1
V
V
)
1
)
Пример Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
f ( P) dv
∫∫∫
( )
V
и
вычислить его значение в случае f ( P) = y . Область (V ) ограничена поверхностями:
y = 0, y = 2 x − x 2 , z = 0, z = a .
Учтем характер области:
y = 2 x − x 2 ⇒ x 2 + y 2 = 2 x ⇒ r = 2 cos ϕ
z
2
0
y
a
(Dxy)
0
2
y
x
x