6.6. Расчет пологих оболочек двоякой кривизны

6.6. РАСЧЕТ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ
Оболочка считается пологой, если ее геометрические размеры таковы,
1
5
что выполняется условие f  min l1 , l 2  , т.е. если стрела подъема f оболочки в
центре не превосходит 1/5 длины меньшей стороны оболочки в плане, либо
f1  0,1l1 , f 2  0,1l2 , где f1 , f 2 – стрелы подъема сторон контура, l1 , l2 –
размеры оболочки в плане.
Очевидно, что пологая оболочка двоякой кривизны, изображенная на рис.
6.19, характеризуется положительной гауссовой кривизной и обладает большой
жесткостью. Такие оболочки в настоящее время достаточно широко
применяются для устройства железобетонных большепролетных покрытий.
Теория пологих оболочек была разработана во 2-й половине 40-х годов В. З.
Власовым; она лежит в основе большинства методов расчета упомянутых выше
конструкций.
В теории пологих оболочек, помимо гипотез, указанных в п.6.1, делается
ряд специальных допущений.
Рассмотрим элемент срединной поверхности (рис. 6.19, (а)),
горизонтальная проекция которого есть прямоугольник со сторонами,
параллельными осям x и y. Углы наклона касательных к его сторонам
обозначим  1 и  2 (рис.6.19, (б)). В силу условий пологости оболочки, эти углы
достаточно малы, чтобы можно было принять
(6.43)
sin1  1 , cos1  1, sin 2   2 , cos 2   2 ,
откуда следует
(6.44)
dS1  dx , dS2  dy .
Поэтому считается, что
а) геометрия срединной поверхности пологой оболочки не отличается от
геометрии плоскости;
б) для пологих оболочек можно также принять, что 1 R1  k1  const ,
1 R2  k2  const ;
в) линии на срединной поверхности, проекции которых суть прямые,
параллельные осям x и y, являются линиями главных кривизн.
z
y
f
x
f1
l1
z ( x, y)
f2
l2
R2
R1
Рис. 6.19
Из (6.43) следует также, что можно не делать различия между нормалью к
срединной поверхности и вертикалью.
Для пологих оболочек, применяемых для устройства покрытий и
перекрытий, в большинстве случаев основной является вертикальная нагрузка
(собственный вес, полезная нагрузка). Поэтому в дальнейшем, считается
отличной от нуля только составляющая Z , действующая в направлении оси z.
Расчет пологой оболочки заключается в определении 15 неизвестных (6
усилий, 6 деформаций и 3 перемещений) являющихся функциями переменных
x и y (рис. 6.9).
Уравнения равновесия запишем по аналогии с уравнениями плоской
задачи (3.11) и теории изгиба пластинок (5.12) – (5.14).
N1 S
S N 2

 0,

 0,
x
y
x
y
M k M 2
M 1 M k

 Q1 ,

 Q2 ,
x
y
x
y
Q1 Q2

 N1k1  N 2 k 2   Z .
x
y
(6.45)
При k1  k2  0 , когда оболочка превращается в пластинку, последнее из этих
уравнений вырождается в (5.14).
Зависимости между внутренними усилиями моментного типа и
перемещениями принимаются такими же, как и в теории изгиба пластинок
 2w
2w 
M 1   D 2  v 2  ,
y 
 x
 2w
2w 
M 2   D 2  v 2  ,
x 
 y
(6.46)
2w
M k  1   D
.
xy
Сохраняются поэтому и выражения для перерезывающих сил.
Q1   D

 2
 w , Q2   D  2 w ,
x
y
(6.47)
2
2
  2 2.
x
y
(6.48)
где
2
Уравнение совместности деформаций (3.17) здесь принимает вид
 21  2 2  2
 2 
  2k w ,
2
xy
y
x
(6.49)
где
2
2
  k1 2  k 2 2
y
x
оператор, учитывающий кривизны оболочки k1 и k 2 .
2
k
(6.50)
Если мембранные усилия представить по аналогии с плоской задачей,
через функцию напряжений
2F
 2F
 2F
,
N1  2 , N 2  2 , S  
xy
x
y
(6.51)
то формулы закона Гука преобразуются к виду
1  2F
2F 
1  2F
2F 



1 
 v 2 , 2 
 v 2  ,
2

Eh  y 2
Eh
x 
y 
 x
21     2 F
,
 
Eh xy
(6.52)
Теперь, приведенные здесь уравнения (6.45) – (6.52), можно свести к двум
уравнениям относительно функции прогибов w и функции напряжений F. Если
в последнее из уравнений равновесия (6.45) подставить выражения (6.47) для
поперечных сил и выражения (6.50) для мембранных сил, то получим
 2 2
2 2 
2F
2F
 D 
 w  2  w   k1 2  k 2 2   Z .

x
y
y
x
 2

(6.53)
Если в уравнении совместности деформаций (6.49) деформации выразить с
помощью зависимостей (6.52) то получим
4F
4F
4F
 2 2 2  4   2k w .
4
x
x y
y
(6.54)
Воспользовавшись обозначениями (6.48) и (6.50) для операторов Лапласа  2 и
 2k и применив обозначение  2 2   4 , систему из двух разрешающих
уравнений (6.53) и (6.54) теории пологих оболочек можно представить
следующим образом
1 2
Z
k F  ,
D
D
Eh 2k w   4 F  0.
4w 
(6.55)
Выражения (6.55) представляют собой уравнения смешанного метода:
одна неизвестная функция F - силовая, другая w – есть перемещение. Первое из
уравнений получено из условий равновесия, второе – из условия совместности
деформаций. Наконец, операторы, расположенные симметрично относительно
главной диагонали, отличаются только знаком.
Легко заметить, что при R1  R2   , k1  k2  0 , т.е. тогда, когда
срединная поверхность оболочки вырождается в плоскость, система уравнений
(6.55) распадается на два самостоятельных дифференциальных уравнения в
частных производных. В этом случае первое из этих уравнений, является
бигармоническим уравнением плоской задачи, второе - основным уравнением
изгиба пластинок.
Функции w и F являются разрешающими. Это значит, что через них
можно выразить мембранные усилия (6.57), изгибающие и крутящие моменты
(6.46), поперечные силы (6.47), а воспользовавшись геометрическими
зависимостями и формулами (6.52) можно получить выражения для
перемещений u и v
 1  2F

2F 
u    2  v 2   k1w dx,
x 
 Eh  y


(6.56)
 1  F

 F
v    2  v 2   k 2 w dy.
x 
 Eh  x

2

2
Естественно, что при решении конкретных задач к системе разрешающих
дифференциальных уравнений (6.55) следует присоединить условия на контуре.
Рассмотрим расчет пологих оболочек двоякой кривизны с шарнирным
опиранием по всему контуру.
z
z ( x, y )
y
l1
l2
x
Рис. 6.20
Предположим, что пологая оболочка положительной гауссовой кривизны
закреплена по всему контуру, как показано на рис. 6.20. Граничные условия,
таковы:
при x  0 и x  l1 : v  0 , w  0 , N1  0 , M1  0 ;
(6.57)
при y  0 и y  l2 : u  0 , w  0 , N2  0 , M 2  0 .
Требуется построить решение системы дифференциальных уравнений
(6.55), удовлетворяющее условиям (6.57). Для этого представим искомые
функции в виде двойных тригонометрических рядов (решение В. З. Власова):
w x, y  
F  x, y  


 A
mn
sin
m 1 n 1


 B
mn
mx
ny
,
sin
l1
l2
sin
m1 n 1
(6.58)
mx
ny
.
sin
l1
l2
(6.59)
Здесь Amn и Bmn – неизвестные постоянные коэффициенты, m и n – числа
натурального ряда.
Величину внешней нагрузки Z  x, y  , стоящую в правой части первого
уравнения (6.55), разложим также в двойной тригонометрический ряд на
прямоугольной области 0  x  l1 , 0  y  l2 , то есть:
Z  x, y  



Cmn sin
m1 n 1
mx
ny
sin
.
l1
l2
(6.60)
Коэффициент Cmn – величина известная, определяемая согласно теории рядов
Фурье:
C mn
4

l1l 2
l1 l2

Z  x, y sin
0 0
mx
ny
sin
dxdy
l1
l2
.
(6.61)
Выражения (6.58) и (6.59) удовлетворяют граничным условиям (6.57).
Действительно, если развернуть эти граничные условия с помощью выражений
(6.46), (6.51) и (6.56), увидим, что, например, для x  0 и x  l1

 1  2F

2F 



v

k
w
  2
2  dy  0,
2 
Eh

x

x

 

(6.62)
 F
 w  w

0
,

 0.
y 2
x 2 y 2
В (6.62) входят производные по переменной x только четных порядков. А так
mx
как при x  0 и x  l , величина sin
и любая её четная производная
l1
w  0,
2
2
2
обращаются в нуль, то условия (6.57) удовлетворяются. То же можно показать
и для краев y  0 и y  l2 .
Для определения коэффициентов Amn и Bmn подставим ряды (6.58), (6.59)
и (6.60) в систему (6.55); для каждого члена ряда получим следующую систему
алгебраических уравнений
2
 m 2 2 n 2 2 
1  m 2 2
n 2 2 
1
 2  2  Amn   k 2 2  k1 2  Bmn  Cmn ,
l2 
D
l1
l2 
D
 l1
 m
n
 Eh k 2 2  k1 2
l1
l2

2
2
2
2

m 
n
 Amn   2  2
l2

 l1
2
2
2
2
2

 Bmn  0.

(6.63)
Решая ее, находим
 4  m2
n2 

 Cmn
D  l12 l22 
Amn 
,
2
2 4
2
2 2
m
n 
Eh  m
n 
 k 2 2  k1 2 
 8  2  2    4
l2 
D  l1
l2 
 l1
m2
n2 
2 Eh 
 k2

 k1 2 Cmn
D  l12
l2 
Bmn 
.
2
2 4
2
2 2




m
n
Eh
m
n
 k 2 2  k1 2 
 8  4  2    4
l
l
D
l2 
 1
 l1
2 
(6.64)
Для упрощения формул введем обозначения
l1
Ehl14
  , v 4 .
 D
l2
Тогда

(6.65)

2
Cmnl14
m2   2n2
Amn  4
,
 D m 2   2 n 2 4  v k 2 m 2  k1 2 n 2 2

Bmn 
Cmnvl12
2
m



k 2 m 2  k 4 2 n 2
2

4

  2 n 2  v k 2 m 2  k1 2 n 2

2
(6.65)
.
В случае действия равномерно распределенной нагрузки, то есть при
Z  x, y   q  const , выражение (6.61), которое применяется при расчете как
оболочек, так и пластинок, принимает вид
Cmn
 16q
, при m, n нечетных
  2 mn
 0,
при m, n четных
(6.67)
Подстановка (6.67) в (6.64) дает
Amn
где
16ql14
 6 amn ,
 D
Bmn 
16ql14 v
4
bmn ,
(6.68)
amn 
m

mn  m 2   n

2

2 2 4
  2n2

2

 v k 2 m 2  k1 2 n 2 

k 2 m  k1 n
2
bmn 


mn  m 2   n


2 2 4
2
,
(6.69)
2 2


 v k 2 m 2  k1 2 n 2 

2
.
Если подставить (6.66) в (6.58), (6.59), а затем в (6.51) (6.46) и (6.47) то получим
расчетные формулы
16ql14
w 6
 D
N1  
M1 

2
16qv
2
2

16ql12
M2 
4

mx
ny
,
sin
l1
l2


n 2 bmn sin
m 1 n 1



mnbmn cos
m 1 n 1



mx
ny
cos
,
l1
l2

 m
2
m 1 n 1


 
mx
ny
,
sin
l1
l2
mx
ny
,
sin
l1
l2
m 2 bmn sin
m 1 n 1
16ql12
4
amn sin
m 1 n 1

2
16qv


16q v
N2  
S 


 v 2 n 2 amn sin

n  vm2 amn sin
2 2
mx
ny
,
sin
l1
l2
(6.70)
mx
ny
,
sin
l1
l2
m 1 n 1


16(1  v)l12
mx
ny
,
Mk 
mnamn cos
cos
4
l
l

1
2
m 1 n 1


16ql1
mx
ny
,
Q1  3
m m 2   2 n 2 amn cos
sin
l
l
 m1 n1
1
2


16ql1
mx
ny
.
Q2 
n m 2   2 n 2 amn sin
cos
3
l
l

1
2
m 1 n 1

 
 


Быстрота сходимости рядов (6.70) определяется структурой их
коэффициентов. Каждый из них представляет собой дробь, числитель и
знаменатель которой являются многочленами относительно индексов m и n.
Чем больше степень знаменателя превышает степень числителя, тем быстрее
сходится ряд. Если, например, подставить в формулы для N1 и M 1 выражения
amn и bmn (6.69), то убедимся, что у полученных дробей знаменатели
одинаковы, в числителе же у выражения для N1 стоит многочлен четвертой
степени, а у выражения для M 1 – шестой. Ряд для N1 сходится быстрее, чем
для M 1 . Вообще, ряды для мембранных усилий сходятся быстрее, чем для
моментных.
В этом можно также убедиться сравнив форму эпюр тех и других усилий
(рис. 6.2). У мембранных усилий она гораздо более плавная.
В строительстве обычно применяются пологие оболочки с соотношением
размеров 1  l1 l2  2 ; чаще всего – квадратные. На рис. 6.21 показан
примерный вид эпюр внутренних усилий в квадратной оболочке при
равномерно распределенной нагрузке.
Из рисунка видно, что усилия моментного типа ( M1 , M 2 , M k , Q1 , Q2 )
быстро убывают по мере удаления от края: имеет место краевой эффект.
В средней части оболочки действуют только мембранные усилия ( N1 ,
N 2 , S ), т.е. там существует безмоментное напряженное состояние. В узловых
зонах развиваются главные растягивающие усилия, которые действуют по
диагональным сечениям (рис. 6.22).
При расчете железобетонной прямоугольной в плане пологой оболочки
двоякой кривизны нужно иметь в виду, что при равномерно распределенной
нагрузке возможно появление трещин двух типов. Сквозные трещины могут
развиваться ввиду наличия главных растягивающих напряжений по
диагональным сечениям у углов. Трещины второго типа (2 на рис. 6.22, (а))
связаны с изгибающими моментами краевого эффекта и возможны на нижней
поверхности оболочки.
Таким образом, в оболочке можно выделить приконтурную полосу, где
на нижней поверхности действует растягивающие напряжения (рис. 6.22, (б)).
Ширина этой полосы t зависит от параметра   1,17 f n , причем для
квадратной оболочки эта зависимость изображается графиком, приведенным на
рис. 6.22, (в).
Оболочка должна быть запроектирована так, чтобы в процессе ее
эксплуатации трещины не появлялись, или чтобы была ограничена ширина их
раскрытия.
I
x
N1
l/2
I
II
II
l/2
l/2
l/2
N2
y
M1
Сеч. I–I
M2
S
Q1
Mk
Сеч. II–II
Q2
N1= N2= M1= M2= Q1= 0
Рис. 6.21
S= Mk= Q2= 0
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
10

16
12
t =l
8
4
0,04 0,08 0,12
(а)
(б)
Рис. 6.22
(в)
