2 . С помощью числовой окружности (на проекторе дан 5 чертеж единичной окружности) получаем t t1 2k ; t t2 2k ; где t1 - длина дуги АМ, а t2 t1 . 2 С помощью понятия арккосинус корни t1 и t 2 уравнения cos t запишем так: 5 2 2 2 t1 arccos , t2 arccos . Теперь все корни уравнения cos t можно описать двумя 5 5 5 2 2 t1 arccos 2k , t2 arccos 2k или, обобщая, одной формулой: формулами 5 5 2 t arccos 2k . 5 2 2 Что такое arcсos ? Это число (длина дуги АМ), косинус которого равен и которое 5 5 принадлежит первой четверти числовой окружности – отрезку 0, . 2 2 Теперь рассмотрим уравнение cos t . С помощью числовой окружности получаем 5 t t1 2k ; t t2 2k; где t1 - длина дуги АМ, а t2 t1 . Математики обозначают число 2 2 t1 символом arcos и записывают все решения уравнения cos t следующим образом: 5 5 2 2 2 t1 arccos( ) 2k , t2 arccos( ) 2k или короче: t arccos( ) 2k 5 5 5 2 2 Что такое arcсos ( ) ? Это число ( длина дуги АМ), косинус которого равен и 5 5 которое принадлежит первой четверти числовой окружности – отрезку ; . 2 Теперь мы сделаем общий вывод о решении уравнения cos t а : Если а 1 , то уравнение cos t а имеет решения: t arccos a 2k . При 1) Рассмотрим уравнение cos t а 1 уравнение не имеет решений. В трех случаях предпочитают пользоваться более простыми соотношениями: если cos t 0 , то t k ; 2 если cos t 1, то t 2k ; если cos t 1 , то t 2k ; 2 2). Рассмотрим уравнение sin t . С помощью числовой окружности получаем 5 t t1 2k ; t t2 2k; где t1 - длина дуги АМ, а t 2 - длина дуги АP. Поскольку АP= ACPC,АС= , а РС=АМ, то получаем, что t 2 = -t1 2 С помощью понятия арксинус корни t1 и t 2 уравнения sin t запишем так: 5 2 2 t1 arcsin 2k , t2 arcsin 2k . 5 5 2 2 ? Это число ( длина дуги АМ), синус которого равен и которое 5 5 принадлежит первой четверти числовой окружности – отрезку 0, . 2 2 Теперь рассмотрим уравнение sin t . С помощью числовой окружности получаем 5 t t1 2k ; t t2 2k; где t1 - длина дуги LА, взятая со знаком минус, а t 2 - длина дуги КА, 2 взятая тоже со знаком минус. Математики обозначают число t1 символом arcsin обратили 5 внимание на два обстоятельства. Первое: дуги АМ и AL равны по длине и противоположны по направлению. Значит, 2 2 arcsin( ) arcsin . 5 5 Второе: АК=АС+СК=АС+LA=АС-AL=. Значит, и в этом случае получается, что t 2 = -t1. 2 Это дает возможность записать все решения уравнения sin t следующим образом: 5 2 2 t1 arcsin( ) 2k , t2 arcsin( ) 2k . 5 5 2 2 Что такое arcsin ? Это число, синус которого равен - и которое принадлежит 5 5 четвертой четверти числовой окружности – отрезку ;0 . 2 Сделаем общий вывод о решении уравнения sin t а : Что такое arcsin Если а 1, то уравнение sin t а имеет решения: t arcsin a 2k ; t arcsin a 2k . При а 1 уравнение не имеет решений. В трех случаях предпочитают пользоваться более простыми соотношениями: если sin t 0 , то t k ; если sin t 1 , то t 2k ; 2 если sin t 1, то t 2k ; 2 Полученные две формулы решений уравнения sin t а можно объединить одной формулой t ( 1) n arcsin a n . При четном n (n=2k) получается первая из двух написанных выше формул, а при нечетном n (n=2k+1) – вторая написанная формула. 3) Рассмотрим уравнение tgx a . Общее решение данного уравнения имеет вид x arctga k . 4) Рассмотрим уравнение ctgx a . Общее решение данного уравнения имеет вид x arcctga k . Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу, прежде всего, относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида cos t а , sin t а , tgx a , ctgx a .