Аномальный магнитный момент мюона (g-2)

 Основы стандартной электрослабой модели.
 Слабый изоспин и гиперзаряд.
 Электрослабое взаимодействие. Связь слабого и
электромагнитного токов.
 Понятие о процедуре перенормировки. Лэмбовский сдвиг
и аномальный момент электрона.
Теория электрослабого взаимодействия
 В слабом взаимодействии ЗАРЯЖЕННЫЙ
ток связывает ЛЕВЫЕ компоненты
фермионов
J    L |   | eL  ,
J   eL |   |  L 
 Кварки входят в слабое взаимодействие
“повернутыми” комбинациями
J h  d L |   | uL 
u
u  u  

      

 d   d    d  cos  s  sin  
 Нейтральный ток
 + e  + e,
 + p  + p
 Нейтральный ток содержит как левые, так и
правые компоненты фермионов
 Не имеет V-A структуры
J 0   g Li  Li  Li  g Ri  Ri   Ri
i
i=e , ,  : gL = ½
gR =0
i= e ,  ,  : gL = - ½ + 
gR = 
i= u , c , t : gL = ½ -2/3 
gR = - 2/3
i= d , s , b : gL = -½ +1/3 
gR = + 1/3
 = sin2 W - угол Вайнберга
sin2W = 0.2324  0.0058 0.0059
(Forte S., hep-ph/0109219, 2001)
Несохранение четности – левые и правые
компоненты волновой функции фермионов
взаимодействуют с разной силой – две константы
взаимодействия?
Структура заряженного и нейтрального токов разная
Объединение электромагнетизма и слабого
взаимодействия
 W0  
Ю.Швингер, слабое взаимодействие –
разновидность электромагнетизма
масса?
 W0  B0
заряженные токи - (V-A), левые,
нейтральные токи – левые и правые
 Добавим электромагнитный ток – левый и
правый и смешаем его со слабым полем
Glashow, Salam – SU(2)U(1)
Стандартная модель – основные идеи
1) Локальные калибровочные симметрии
SU(2)W  W+ W- W0 - безмассовые
U(1)W  B0 - не фотон !
2) смешивание
W0  B0  Z0 + 
- безмассовые
3) Спонтанное нарушение симметрии +
4) Хиггсовское поле =
 массивные Z и W бозоны
 массивный H бозон
 безмассовый фотон
 единое электрослабое взаимодействие
1. Локальные калибровочные симметрии
Калибровочная инвариантность – основной принцип
Стандартной Модели
Локальное калибровочное преобразование:



i ( x ,t )
 ( x, t )  e
 ( x, t )
Возможность менять фазу в любой точке пространства
без изменения физических законов
Локальная калибровочная инвариантность
ТРЕБУЕТ (векторного, безмассового) поля
A=(V, A)
A

1  
 A    ( x, t )
e

Глобальные
U(1)
SU(2)
i
Локальные
 ' e 
B0
абелева
M=0

i
 ' e 
W+ W- W0
неабелева
M=0
Для создания единой схемы описания
заряженных и нейтральных токов были введены
слабый изоспин и слабый гиперзаряд
SU(2)W , U(1)W
Разная сила слабого взаимодействия для левых и
правых компонент волновой функции:
1
 L  (1   5 )
2
- дублет по слабому
изоспину
Левый электрон и левое нейтрино – дублет по
слабой группе SU(2)


e
e
L

L



1
 R  (1   5 )
2
- синглет по слабому
изоспину
Правый электрон, правое нейтрино – синглеты по
слабой группе SU(2)
(e ) ( )

R
e
R
 u   c   t   ve       
 p   T3  1 / 2 

                
 d   L  s  L  b  L  e  L    L    L  n   T3  1 / 2 
eR    T  T3  0
Сильный изоспин I
Слабый изспин T
 p
N   
n
½
 u   ve 
   
 d L  e L
, 
0
eR , u R , B 0
  
 
   0 
  
 
1
W  


W  W 0 
W  


Векторные поля, обеспечивающие локальную
калибровочную инвариантность для группы
SU(2) - W
взаимодействует с током слабого изоспина - J
с зарядом – g2
Заряженный слабый ток:
J    L |   | eL 

e
+
W
e
M  ig 2 J W

g2
Слабый гиперзаряд Y
U(1)W – группа комплексных фазовых
множителей
 i ( x ,t )

U  e  i ( x ,t ) ,    U  e
Q= T3 + Y/2
T3 – компонента слабого изоспина
Слабый гиперзаряд Y= 2(Q-T3)
T3
Y
 1/ 2 



1
/
2


  1
 
  1
0
-2
 1/ 2 



1
/
2


1 / 3 


1
/
3


uR
0
4/3
d’R
0
-2/3
 ve 
 
 e L
eR
u
 
 d L
КЭД
Векторное поле фотона, обеспечивающее
локальную калибровочную инвариантность для
группы U(1)E.M. - A
взаимодействует с током электрона - j
с зарядом – Q
M  iQj  A
j    
eA
eQ
Векторное поле, обеспечивающее локальную
калибровочную инвариантность для группы
U(1)W - B
взаимодействует с током слабого гиперзаряда – jY
с зарядом – g1
e
B
e
1/2g1
g1 Y 
M  i j B
2
jY    
Векторное поле, обеспечивающее локальную
калибровочную инвариантность для группы
SU(2)W - W
взаимодействует с током слабого изоспина – J
с зарядом – g2
e
W+
e+
g2
eW-
e
g2
e
0
W
e
g2
M  ig 2 J W

J     
CМ
g1 Y 
M  ig 2 J W  i j B
2

2. Cмешивание W0  B0  Z0 + 
1 1
W 
(W  iW2 )
2

Заряженные W -
3
W
Нейтральные поля  , B
Нейтральный слабый ток:
J 0   L |   |  L 
e
W0
e
B
e
g2
e
1/2g1
Cмешаем нейтральные поля:
A  B cosW  W3 sin W
Z   B sin W  W3 cosW
3
W
Выразим нейтральные поля
 , B через A и Z
B  A cosW  Z  sin W
W 3   A sin W  Z  cosW
Подставим в лагранжиан:
M  ig 2 J W   i
g1 Y 
j B 
2
 ig 2 J 3  ( A sin   Z  cos  )  i
g1 Y 
j ( A cos   Z  sin  ) 
2
g1 Y
 A {ig 2 J  sin W  i j cos W } 
2

3
g1 Y
 Z {ig 2 J  cos W  i j sin W }
2

3
Можно ли сделать
iQA  j
Можно, если:
1)
g1 Y
iQA j   A {ig 2 J  sin  W  i j  cos W }
2


3
Q  g 2 sin W  g1 cosW
2)
j  J
3

1 Y
 j
2
Связь электрического и слабых зарядов
?
sin2W = 0.2326  0.0018 0.0006
(Cern Couirier, Oct.2009, p.13)
– внешний параметр теории, определяется из
эксперимента
Надо знать две константы, например, Q и sinW:
g1
 tg W
g2
Q  g 2 sin W
g2 > Q – слабый заряд не мал !
Но масса переносчика все меняет…
j  J
3

1 Y
 j
2
- связь электромагнитного тока
и током слабого изоспина и гиперзаряда
Нейтральный ток:
g1 Y
 Z {ig 2 J  cos W  i j sin W }
2

3
Выразим jY через элм. ток j
g2
g2
 iZ {J   sin W j }
 i
J NC Z 
cos W
cos W

3
2
J NC  J 3  sin 2 W j
Нейтральный ток – смесь нейтрального тока
слабого изоспина и электромагнитного тока
Z-бозон – взаимодействует с любой частицей,
имеющей электрический заряд или слабый изоспин
Связь с эффективным взаимодействием Ферми:
 e + n  e + p
e
e
p
n
G
G
2

g2
8M W2
M  GJ b J
W
W
l
Надо придать массу промежуточным бозонам:
 отбросить требование калибровочной
инвариантности?
 включение массы ‘руками’ разрушает
перенормируемость теории
Невозможно ничего посчитать
Перенормировка
e +   e + 
e
e


-
e2
M  2 J Je
q
J e   e  e

e+
Интеграл
e
расходится


Если импульс виртуальных частиц p 
M(q2)   p dp 
Пусть pmax = 
 - параметр обрезания
e2
e2
2
e2 q2
4
M  2 [1 
ln(
)


O
(
e
)] J  J e
2
2
2
2
q
12
m
60 m
Пренебрежем членами типа O(e6)
e2
e2
2
e2 q2
M 4  2 [1 
ln( 2 ) 
]J  J e
2
2
2
q
12
m
60 m
M4 → при p → ; e=const
Кто сказал, что константа в фейнмановских
диаграммах e есть физический электрический
заряд eReal ?
eR2
1

4 137
Переопределим заряд:
2
e

eR2  e 2 [1 
ln( 2 )]
2
12
m
2
Тогда c точностью до O(e4):
2
2
eR
eR q2
M 4  2 [1 
]J  J e
2
2
q
60 m
Амплитуда M4 стала конечной !
Но заряд e  ,
А заряд eR  стал зависеть от q2 …
Перенормировка – вводим конечное число
параметров (заряды, массы), определяемых из
эксперимента.
Переопределяем амплитуду:
Бесконечности амплитуды  в
бесконечности физических переменных
(заряды, массы)
Но амплитуды во всех порядках становятся
конечными
Новый член в амплитуде кулоновского
взаимодействия
2
2
eR
eR q 2
M  2 [1 
]J  J e
2
2
q
60 m
должен изменить потенциал кулоновского
взаимодействия ядра с зарядом Z

ZeR
ZeR  (r )
V 

4r 60 2 m 2
2
4
Появляется дополнительное притяжение –
лэмбовский сдвиг
Перенормировка заряда – реально
наблюдаемый эффект
Другие диаграммы порядка 2eR4


e
e


e
e










e
e






Должны модифицировать ток!
J e  e e  e
Другой реальный эффект перенормировки:
Возникает аномальный магнитный момент

e 
e 
     g S
2m
2m

S=1/2,
g=2- гиромагнитное отношение

e
 
   (1  ) - аномальный момент
2m
2
g  2


g 2
 (1159655.4  3.3)  10 9 - теория
2
g 2
 (1159657.7  3.5)  10 9 - эксперимент
2
Аномальный магнитный момент мюона (g-2)
BNL, накопительное кольцо, поляризованные мюоны 3.09 ГэВ
a 
g 2
2
 (1.4-2.7)  эффект
(Bennett G.W. et al., hep-ex/0401008, 2004)
Перенормируемость теории
С точностью до членов O(e6) имеем 4 графика
изменяет пропагатор,
одинаков для e,,

e
e
e






e
e








e






изменяет ток – аномальный магнитный момент
изменяет заряд – вклад в лэмбовский сдвиг
Изменение тока – величина аномального магнитного
момента - разная для e,,
Модификация заряда от диаграмм, изменяющих ток,
в каждом порядке теории возмущений
сокращается
Остаются только вклады от диаграмм,
модифицирующих пропагатор.
Они одинаковы для e,,
Поэтому заряд e,, - одинаков!
Но константы – “бегут”
 ( 2 )
 (Q ) 
 ( 2 )  Q 2 
1
ln  2 
3
 
2
 - параметр обрезания
Q2  , (Q2)
На массе Z-бозона
 em
1

129
1
s 
8.40  0.14
1
2 
29.60  0.08
1
1 
98.42  0.27
Полное сокращение – перенормируемость –
свойство всех калибровочных теорий
Литература
1. Ф.Хелзен, А.Мартин. Кварки и лептоны. Москва, Мир,
1987, гл. 7, 13.