∙Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 7 класс. 1. Доказать, что из любых трех целых чисел можно найти два, сумма которых делится на 2. 2. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей, если на последний остров сел один последний гусь? 3. Сколько в зоопарке кроликов и сколько кур, если у них вместе 2520 ног и 760 голов? 4. Докажите, что выражение 87 – 411 + 644 кратно 28. 5. На чудо - яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с нее два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет еще один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале? Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 9 класс. 1. В квадрате со стороной 10 см находится 51 таракан. Докажите, что найдутся 3 таракана, сидящие внутри круга, с радиусом одна целая три седьмых? 2. Найдите все целые х и у, для которых 2ху + х + у = 83? 3. Некто купил 30 птиц за 30 монет, уплатив за каждые 3 воробья по 1 монете, за каждые две синицы – тоже по 1 монете, а за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько куплено птиц каждого вида? 4. Найдите х и у в числе 5678ху, которое кратно 24? 5. Доказать, что если а*в кратно с и (а + в) кратно с, то и (а3 + в3) кратно с2? 6. Лягушка прыгает вдоль прямой линии. Сначала она прыгнула на 1 см, затем на 3 см в том или противоположном направлении, затем на 5 см в том же или в другом направлении и т.д. Могло ли случиться так, что она оказалась в исходной точке после 57-го своего прыжка? Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 8 класс. 1. Дядька Черномор написал на листе бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получится число 10? 2. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5? 3.Докажите, что выражение 3п+2 + 4 * 3п – 9 * 2п - 2п+2 кратно 13, п-натуральное число. 4. Найдите все пятизначные числа вида: 76 * 1 * , которые делятся на 36? 5. Решите в целых числах уравнение: х3 – х = 1013 Лаборатория «Одаренные дети» модуль «Математика» Олимпиадные задания 10 класс. 1. В квадрате со стороной 10 см находится 51 таракан. Докажите, что найдутся 3 таракана, сидящих внутри круга, с радиусом одна целая три седьмых? 2. В десяти сосудах содержится 1. 2. 3. 4. …….10 литров воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6. 7. 8. 9. 10? 3. Вычислите: 0,5 + tg(arcctg2/3)? 4. При каких значениях параметра а корни уравнения х2 – 2(а + 1)*х + 9а – 5 = 0 меньше 3?