Конец многочленов

Многочлены с рациональными коэффициентами.
Рассмотрим кольцо
многочленами).
m
Q[ x], Q  { , m  Z , n  N } . В Q[x ]
n
содержится
Z [x]
(элементы этого кольца назовём целочисленными
f ( x)  Q[ x] , то f ( x) ~ g ( x) , где g (x ) - целочисленный.
(Чтобы получить g (x ) , достаточно умножить f (x ) на НОК знаменателей его коэффициентов.)
Если g ( x )  Z [ x ] , то неприводимость g (x ) в Q[x ] влечёт неприводимость g (x ) в Z (x ) .
Задача: Показать, что если g ( x )  Z [ x ] , неприводим в Z (x ) (т.е. g (x ) нельзя представить в виде произведения двух целочисленных), то
g (x ) - неприводим в Q[x ] .
Рациональные корни многочленов из Z (x ) .
(На самом деле, ограничение на коэффициенты несущественно, т.к. f ( x)  Q[ x] ассоциирован g ( x)  Z ( x) , а значит их корни
Если
совпадают.)
g ( x)  Z [ x], c  Z
Лемма 1: Если
Док-во:
g ( x)  a 0 x  a1 x
ai  Z
(по условию).
n
n 1
По следствию из теоремы Безу
h( x)  b0 x
n 1
Коэффициенты
Тогда весь
 b1 x
bi
n2
- корень
g (x ) , тогда с является делителем свободного члена g (x ) .
 ...  a n 1 x  a n .
g (x )
делится на x – c, т.е. g(x) = (x - c)h(x), где
 ...  bn 2 x  bn 1 , где bi  Q .
находятся с помощью схемы Горнера.
bi  Z , тогда an  cbn1 . Итак, a n
Лемма 2: Если
g ( x)  Z [ x]
an
 bn1  Z , т.е. с – делитель a n . ЧТД.
c
a 0  1 (нормированный многочлен), то всякий его рациональный
нацело делится на с, т.к.
- многочлен со старшим коэффициентом
корень является целым корнем.
Док-во: Пусть
b
c

- рациональный корень
g (x ) , где
b
c
- несократимая дробь (НОД(b,c)=1).
g ( x)  x n  a1 x n 1  ...  a n 1 x  a n . Подставим  :
n
b
b
   a1  
с
c
n 1
b
 ...  a n 1    a n  0
c
n 1
n
b
b
b
n 1
   a1    ...  a n 1    a n * c
c
c
c
n
b
  a1b n 1  ...  a n 1bc n  2  a n c n 1

c

целое
число
несокр  я
дробь
Следовательно, с = 1, т.е.

b
b
1
- целое число. ЧТД.
Алгоритм нахождения всех рациональных корней
1.
g ( x)  a 0 x  a1 x
n
Умножим
Замена:
g (x )
на
n 1
g ( x)  Z ( x) :
 ...  a n 1 x  a n , a0  0, ai  Z .
a0n 1 :  ( x)  a0n 1 g ( x)  a0n x n  a1 a0n 1 x n 1  a 2 a 0n 1 x n 2  ...  a n 1 a0n 1 x  a n a 0n 1 .
y  a0 x .
 ( x)  f ( y )  y n  a1 y n 1  a 2 a0 y n 2  ...  a n 1 a0n 2 y  a n a0n 1 .
Получили целочисленный нормированный многочлен.
Связь между корнями
f ( y) .
Если  - рациональный корень g (x ) , то 
рациональный корень f ( y ) .
Обратно: если
y
g (x )
и
- рациональный корень
- рациональный корень
f ( y ) , то x 

x0
 ( x)( g ( x) ~  ( x)) , тогда в силу замены y  a0 x , 
- рациональный корень
Т.е. имеем взаимнооднозначное соответствие между рациональными корнями
рациональные корни
f ( y)
g (x )
и
 (x ) , а значит g (x ) .
f ( y ) , т.к. f ( y )  Z [ y ]
являются целыми и находятся среди делителей свободного члена
2. Находим все целые коэффициенты
f ( y)
-
- нормированный, то
f ( y ) , т.е. a n a 0n 1 .
(проверяем с помощью схемы Горнера все делители свободного члена).
y  a0 x , находим рациональные корни g (x )
3. Используя замену
Неприводимые многочлены в
в виде:
x

a0
, где

- целые корни
f ( y) .
Q[x ] .
«Критерий» Эйзенштейна (на самом деле – достаточное условие).
Пусть
g ( x)  Z [ x] , g ( x)  a 0 x n  a1 x n 1  ...  a n 1 x  a n
p
и
- простое число, такое что:
1)
a 0 не делится на р.
2) a1 , a 2 ,..., a n кратны р.
3)
an
Тогда
p2 .
не делится на
g (x )
- неприводим в
Q[x ] .
Док-во: (от противного)
Пусть
g (x )
его коэффициенты удовлетворяют условию «критерия», но при этом
g ( x)  (b0 x  b1 x
k
k 1
 ...  bk 1 x  bk )  (c0 x  c1 x
l
l 1
g (x )
- приводим, т.е.
 ...  cl 1 x  cl ), bi , c j  Z
n
g ( x )   a i x n i
i 0
С другой стороны,
a n  bk cl
n  i

g ( x)     b j ci  j  x ni . Приравниваем коэффициенты разложения g (x )
i 0  j 0

по степеням x:
a n 1  bk cl 1  bk 1cl
a n  2  bk cl  2  bk 1cl 1  bk 2 cl
Число a n кратно р по условию,  bk cl
кратно р,
 (например) cl
кратно р. Тогда
bk
не может делится на р, иначе
bk cl  a n
делилось
бы на р, что противоречит условию.
Переходим к следующему равенству:
a n 1  bk cl 1  bk 1cl
bk cl 1  a n 1  bk 1cl
 
кратно
Итак,
bk cl 1
кратно
кратно р, но
не кратно р,
bk
 cl 1
кратно р.
Переходя к следующим равенствам, получаем, что все
a n k  bk c0  ... . Тогда a0  b0 c0

cj
кратны р.
- кратно р, что противоречит условию «критерия». Значит
g (x )
- неприводим в
Z [ x], Q[ x] .
ЧТД.
кратно
Следствие: Для
Док-во:
n  N ,  многочлен g ( x)  Q[ x] , где g ( x)  n , g (x )
- неприводим в
Q[x ] .
g ( x)  x n  2  Q[ x], deg g ( x)  n, a 0  1 не кратно 2.
a1  0,..., a n  2
f ( x) 
Пример:
кратны 2, но
an  2
не кратно
x 1
1
p2

x p

x

...



1,
x 1
м ногочлен_ деления_ круга
2 2 . То по «критерию» g (x )
неприводим. ЧТД.
p
р – простое.
на _ р _ частей
Замена:
y  x  1, x  y  1 .
1
2 2
p 1 p 1
p
(1  y ) p  1 1  c p y  c p y  ...  c p y  y  1
f ( x)  g ( y ) 

 y p 1  c pp 1 y p  2  c pp  2 y p 3  ...  c 2p y  c1p  Z [ y ].
y
y
p
k
Старший коэффициент равен 1 не кратен р. Остальные коэффициенты: 0  k  p, c p 
(р в числителе несократим ни с одним из
k!( p  k )!
множителей знаменателя).
с kp
кратно р. Свободный член
c1p  p
не кратен
p 2 , т.е. для g ( y )
выполнены условия «критерия», т.е.
g ( y)
неприводим.
Формула Виета.
Рассматриваем многочлены с произвольными числовыми коэффициентами, т.е. кольцо
k [x ] , где k – поле.
f ( x)  x  px  q (2 – я степень) и x1 , x2 - корни, то x1  x2   p, x1 x2  q .
n
n 1
 ...  a n 1 x  a n - нормированный многочлен степени п.
Пусть теперь f ( x)  x  a1 x
Известно:
2
- неприводим,
 f (x)
-
1 ,  2 ,..., n - все корни f (x) . Каждый корень входит в список столько раз, какова его кратность. Тогда
f ( x)  ( x  1 )( x   2 )...( x   n ) . Перемножаем скобки, получаем сумму произведений вида: x m ( i )( i )...( i ), k  m  n .
Пусть
1
2
k
Приводим подобные слагаемые (собираем коэффициенты при одинаковых степенях x).
При
xm :
 (
i1
{i1 ,i2 ,..., ik }{1, 2,..., n}
)( i2 )...(  ik ) 
Приравниваем коэффициенты
f (x)
 
i1 i2
1i1 i2 ... ik  n
... ik
.
к полученным при соответствующих степенях, получаем:
a0  1  1
m  n  1 : a1  ( 1   2  ...   n )
m  n  2 : a 2  ( 1 2   1 3  ...   n 1 n )
m  n  3 : a3  ( 1 2 3   1 2 4  ...   n  2 n 1 n )
m  n  n : a n  (1) n  1 2 ... n .
Это формулы Виета.
Пример: Имеем числа 1,2,3,4,5. Найти сумму всех чисел, их попарных произведений, произведений любых трёх из них, любых четырёх из них
и всех чисел.