1. магнитное поле постонного тока

Реклама
3. Электромагнетизм
3.1. Магнитное поле постоянного тока
3.1.1. Напряжённость магнитного поля Н = 79,6 кА/м. Определить
магнитную индукцию этого поля в вакууме В0.
Решение
1. Магнитная индукция В связана с напряжённостью магнитного
поля в однородной среде Н отношением
(1)
B   0 H ,
7
где   магнитная проницаемость среды, 0 = 410 Гн/м  магнитная
постоянная. Для вакуума и воздуха  =1, другими словами, в данном
случае
B   0 H  12,56 10 7  79,6 10 3  0,1Тл .
(2)
3.1.2. Магнитная индукция поля в вакууме равна В = 10 мТл.
Определить напряжённость магнитного поля Н.
Решение
1. Из уравнения (1) предыдущей задачи следует
B
10 2
кА
H

8
.
 0 112,56 10 7
м
3.1.3.
Найти
магнитную
индукцию в центре тонкого кольца
радиусом r = 5 см по которому
течёт ток силой I = 10 А.
Решение
1. Выделим бесконечно малый
элемент кольца dl, который можно
считать элементарным током. В
точке А, лежащей на оси кольца
индукция от этого элемента, в
соответствии с законом Био  Савара
 Лапласа будет равна
169
(1)


  0 I  
 0 I
dB 
d l  r , dB 
dl cos  ,
4 r 3
4 r 2
(1)
2. В рассматриваемом случае z =0,  = 00 поэтому r  z 2  R 2  R ,
интегрируя уравнение (1) в пределах от 0 до 2R, получим
2 R
 0 I
 0 I 1 12 ,56 10 7 10
B
dl


 125 ,6 мТл .
(2)
4 R 2 0
2 R
2  5 10 2
3.1.4. Напряжённость магнитного поля в центре короткой
катушки равна Н = 800 А/м. Радиус катушки R = 16 см. Из скольких
витков проволоки N состоит эта катушка, если сила тока I = 5 А?
Решение
1. Поскольку в условии задачи речь идёт о короткой катушке, то
формула для напряжённости соленоида, длинной катушки не
применима. В данном случае катушку необходимо рассматривать как
совокупность N круговых токов.
2. Определим вначале величину индукции магнитного поля катушки
в предположении, что расположена она в воздухе или вакууме и
воспользуемся уравнением (2) предыдущей задачи
 I
2HR 2  800  0,16
B   0 H,  0 H  N 0 ,  N 

 51 .
(1)
2 R
I
5
3.1.5. При какой силе тока I, текущего
по тонкому проводящему кольцу радиусом
R = 0,2 м магнитная индукция в точке А,
равноудалённой от всех точек кольца на
расстояние r = 0,3 м, станет равной В =
20 мкТл?
Решение
1. Запишем закон Био  Савара 
Лапласа для кругового тока
 0 R 2 I
,
(1)
2 r3
2. Определим из уравнения (1) силу тока I, создающего в заданной
точке А магнитное поле с индукцией В
2Br 3
2  2 10 5  0,027
I

 21,5 А .
(2)
 0 R 2 12,56 10 7  0,04
B
170
3.1.6. По проводнику в виде тонкого кольца
радиусом R = 10 см течёт ток. Определить
силу тока, если магнитная индукция поля в
точке А равна В = 1 мкТл. Угол  = 100.
Решение
1.
Определим
расстояние
r
из
прямоугольного треугольника АСО
R
R
sin   ,  r 
.
(1)
r
sin 
2. Воспользуемся далее уравнением (2)
предыдущей задачи
2Br 3
2BR
2 110 6  0,1
I


 31 A .
2
3
0R
 0 sin  12,56 10 7  5,2 10 3
(2)
3.1.7. Катушка длиной L = 0,2
м представляет собой N = 100
цилиндрических витков диаметром
d = 0,2 м. По проводнику течёт
ток силой I = 5 A. Определить
магнитную индукцию В в точке А,
лежащей на расстоянии x = 0,1 м от торца катушки.
Решение
1. Цилиндрическая катушка
длиной
L,
именуемая
в
простонародии
соленоидом,
состоящим из N витков (круговых
токов), образующих винтовую
линию. Для произвольной точки
М, лежащей на оси катушки в соответствии с законом Био  Савара 
Лапласа можно записать следующее уравнение
 0 N
BM 
Icos 1  cos  2  .
(1)
2 L
2. Для соленоида бесконечной длины 1 = 0, 2 = , уравнение (1) в
этом случае примет вид
N
B   0 I .
(2)
L
3. Поле на торцах катушки в центре витков при 1 = /2, 2 = 
определится следующим образом
171
 0 N
I.
(3)
2 L
4. Рассмотрим далее ситуацию, заданную по условию задачи, т.е.
когда точка, в которой следует определить индукцию, расположена на
оси катушки на удалении х от её торца.
B
5. Из прямоугольных треугольников АСК и ADM определим
косинусы соответствующих уравнению (1) углов 1 и 2
xL
x
.
(4)
cos 1 
, cos  2 
2
d
d2
2
2
 x  L
x 
4
4
6. Подставим значения cos1 и соs2 в уравнение (1)




0 N 
xL
x

B
I

,
(5)
2 
2 L  d2
d
2
2


 x  L 
x 

4 
 4
B

12,56 10 7 100  5 
0,3
0,1
  381 мкТл .



2  0,2
0
,
01
`

0
,
09
0
,
01

0
,
01


(6)
3.1.8. Длинный соленоид в виде цилиндрической катушки состоит из
проволоки диаметром d0 = 510  4 м, которая намотана так, что
витки плотно прилегают друг к другу. Определить напряжённость
магнитного поля внутри соленоида на его оси при силе тока I = 4 А.
Толщиной изоляции проводника пренебречь.
Решение
1. Магнитная индукция на оси соленоида определяется уравнением
N
B   0 I .
(1)
L
2. Выразим длину соленоида через количество витков N и диаметр
172
провода d0
N
I
I   0
.
(2)
d0 N
d0
3. Поскольку величина магнитной проницаемости  не задана, то
будем, как и в предыдущих задачах, считать  = 1. Напряжённость и
индукция магнитного поля связаны известным соотношением


B
B   0 H,  H 
.
(3)
 0
4. Перепишем уравнение (2) с учётов соотношений (3)
I
I
4
кА
.
(4)
 0 H   0 ,  H 

8
d0
d 0 5 10 4
м
L  d 0 N,  B   0
3.1.9. Обмотка катушки диаметром d = 0,1 м состоит из плотно
прилегающих друг к другу витков тонкой проволоки. Определить
минимальную длину катушки Lmin при которой величина магнитной
индукции в середине бесконечного соленоида, содержащего такое же
количество витков на единицу длины, отличается не более чем на 0,5%.
Силу тока считать одинаковой.
Решение
1. Допустимую ошибку будем искать в виде
B  B1
 2
,
B2
(1)
где В1  магнитная индукция поля внутри катушки конечной длины, В 2
 магнитная индукция поля внутри бесконечной катушки.
2. Магнитная индукция поля на оси соленоида конечной длины
определяется уравнением (1) задачи 3.1.7
 0 N
B1 
Icos 1  cos  2  ,
(2)
2 L
где N/L = n  количество витков, приходящееся на единицу длины, с
учётом этого
 0
B1 
nIcos 1  cos  2  .
(3)
2
3.
Для
соленоида
бесконечной длины уравнение
(3) перепишется следующим
образом
(4)
B2   0 nI ,
173
4. Подставим значения В1 и В2 из уравнений (2) и (3) в уравнение (1)
1
 0 nI   0 nIcos 1  cos  2 
1
2
(5)

 1  cos 1  cos  2  .
 0 nI
2
5. определим величины cos1 и cos2
L min
L min
cos 1 

,
(6)
2
2
2
d  L2min
 d   L min 
2   

2  2 
d
cos  2  sin    
.
(7)
2
d  L2min
6. Поскольку 2 =   1, то cos1 =  cos2, то
L min
L2
2
1    cos 1 
, 1     2 min2 .
d  L min
d 2  L2min
7. Подставим в уравнение (8) значение  = 510  3 и d = 0,1
1  0,052 0,01 L2min   L2min ,
откуда
L min 
9,9 10 3
 0,99 м .
110 2
(8)
(9)
(10)
3.1.10.
Найти
напряжённость
магнитного поля В на оси кругового витка
с током силой I = 100 А на удалении х = 2 м
от плоскости витка при его радиусе R = 4
м.
Решение
1. Выделим элементарную длину
кольца dl и определим индукцию этого
элементарного тока в заданной точке dB в
соответствии с законом Био  Савара 
Лапласа в предположении, что круговой
ток находится в вакууме ( = 1)

  0 I d l  r
.
(1)
dB 
4 r 3
2. В силу осевой симметрии суммарная составляющая вектора dBу
будет равна нулю, проекция вектора dBx определится в виде проекции

174

dBx  dB cos  ,
 0 Idl
cos  .
4 r 3
3. Величина Вх = В определится интегралом
2 R
I
B  0 3 cos  dl .
4r
0
4. В уравнении (4)
R
cos   , r  x 2  R 2 .
r
5. При подстановке уравнений (5) в уравнение (4) получим

0R 2I
2R 2 I
B 0

,
4 2 x 2  R 2 3 22 x 2  R 2 3
dBx 

B
12,56 10 7 16 100
2 4  16 
3
 11 мкТл .
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
3.1.11.
Круговые
витки
радиусами R1= 1 м и R2 =0,8 м с
токами I1 = 100 A , I2 = 150 А
расположены
в
параллельных
плоскостях на расстоянии x = 4 м
друг от друга. Найти магнитную
индукцию поля на оси витков в
точке, расположенной на равном
удалении от них. Рассмотреть
случаи, когда токи текут в одном и противоположных направлениях.
Решение
1. Рассмотрим случай, когда токи в витках текут в одном
направлении. Направление векторов магнитной индукции будут
совпадать по направлению, а модули векторов В будут определяться
уравнением (6), полученным в предыдущей задачи, т.е.
 0 R 12 I1
 0 R 22 I 2
, B2 
.
(1)
B1 
3
3
2
 x2



x
2   R 12 
2   R 22 
 4

 4

2. Модуль результирующего вектора магнитной индукции будет
равен геометрической сумме
(2)
BA1  B1  B2 ,
175
3. Подставим в уравнение (2) значения В1 и В2


 0 
R 12 I1
R 22 I 2
B A1 


3
3
2   x2
 x2
2 
2 
2

R
2

R


 
1 
2 
 4



  4



,



(3)

0,8 150 
 1 100

(4)
B A1  6,28 10 7 

  13 мкТл .
3
3
4  0,64  

 4  1
4. Если токи в витках будут течь в противоположных направлениях,
то уравнение (2) перепишется в следующем виде
(5)
BA 2  B2  B1  2 мкТл .
3.1.12. Во сколько раз  уменьшится
индукция магнитного поля в центре
кольца с током, если его согнуть по
диаметру под углом  = 450. Сила тока,
при этом, не меняется.
Решение
1. Определим магнитную индукцию
поя, создаваемого плоским круговым
витком с током, для чего воспользуемся
законом Био  Савара  Лапласа
 

0 I d l  r
,
(1)
dB0 
4 r 3
в рассматриваемом случае r = R, поэтому
 
 

0 I d l  R
I
(2)
dB0 
 0 3 dlR sin d l ; R .
3
4 R
4R
2. Для индукции в центре кольца уравнение (2) можно записать
следующим образом
  2 R
I
B 0  0 2 sin d l ; R  dl ,
(3)
4R
0
 
так как для всех элементарных участков витка d l ; R   2 , то










0 I
.
(4)
2R
3. В случае сгибания витка пополам по диаметру результирующий
B0 
176
вектор магнитной индукции поля можно
представить
в
виде
суммы
двух
  
составляющих B  B1  B2 , причём
I
1
B0  0 ,
2
4R
B  B12  B 22  2B1 B 2 cos 45 0 ,
B1  B 2 
(5)
(6)
0I
I
(7)
1  1  1,41  0,922 0 .
4R
2R
4.
Таким
образом,
отношение
напряжённостей
определится
соотношением
B

 0,922 .
(8)
B0
B
3.1.13. По двум круговым контурам одинакового радиуса R = 1 м,
расположенным в перпендикулярных плоскостях, текут токи равной
силы I = 10 A. Определить вектор магнитной индукции поля,
создаваемого в общем их центре о.
Решение
1. Модуль вектора магнитной индукции
круговых токов определяется, как известно,
уравнением
I
B1  B 2  B0  0 .
(1)
2R


2. Угол между векторами B1 и B 2 будет
 
составлять /2, т.е. cos B1 ; B2  0 , другими
словами
12,56 10 7 10
B  B12  B 22  1,41B0 
 6,28 мкТл .
2


177
(2)
3.1.14. По длинному проводнику
пропускается то силой I = 50 А.
Определить магнитную индукцию В в
точке А удалённой от проводника на
расстояние r0 = 5 см.
Решение
1. Для элементарного тока Idl
вектор магнитной индукции будет
определяться законом Био  Савара 
Лапласа
 

0 I d l  r
,
(1)
dB0 
4 r 3
который в скалярной форме примет вид
 I sin 
dB  0 2 dl .
(2)
4r
2. В уравнении (2) в общем случае проводника конечных размеров
присутствуют две переменные величины  и r, чтобы интегрировать по
одной
переменной
,
необходимо
выполнить
следующие
преобразования:
r
rd
dl 
, r 0
(3)
sin 
sin 
в этом случае
I
dB  0 sin d .
(4)
4r0
3. Модуль вектора индукции определится интегралом
2

0I
I 2
(5)
B
sin d  0 sin d ,
4r0
4r0 1
1
или, после интегрирования
I
B  0 cos 1  cos  2  .
(6)
4r0




4. При очень длинном проводнике 1 = 00, 2 = 1800, поэтому
 I 4 10 7  50
BA  0 
 200 мкТл .
2r0
2  5 10 2
178
(7)
3.1.15. Два длинных параллельных
проводника расположены на расстоянии d =
5 см друг от друга. По проводникам текут
одинаковые токи силой I1 = I2 = 10 A в
противоположных
направлениях.
Определить напряжённость магнитного
поля H в точке А, расположенной на
удалении r1 = 2 см и r2 = 3 см от
проводников.
Решение
1. Для определения индукции магнитного поля одним бесконечно
длинным проводником воспользуемся уравнением (7) предыдущей
задачи
I
I
B1  0 1 , B 2  0 2 .
(1)
2r1
2r2
2. Модуль Результирующего вектора магнитной индукции в
заданной точке А определится в виде геометрической суммы
  

(2)
B  B1  B2 , B  B12  B12  2B1B2 cos  ,
0I
2
1 1
2
B
I
1 1
2
 2
cos  , H 

 2
cos  , (3)
2
2
r1 r2 r1r2
 0 2 r1 r2 r1 r2


где   угол между векторами B1 и B 2
3. Угол  =DAC, поэтому в соответствии с теоремой косинусов
r 2  r22  d 2 4 10 4  9 10 4  2,5 10 3
cos   1

 0,01 ,
(4)
2r1r2
2  6 10 2
4. Подставим значения величин в уравнение (3)
B
H
10
6,28
1
1
2  0,01
А


 96 .
4
4
4 10
9 10
0,06
м
3.1.16.
Два
длинных
параллельных провода, по которым
текут в одном направлении
одинаковые токи I1 = I2 = 30 А,
расположены на расстоянии d = 5
см друг от друга. Определить
напряжённость
электрического
поля в точке А, отстоящей от
проводников на расстоянии r1 = 3 см и r2 = 4 см.
179
(5)
Решение
1. В данном случае угол  = 900,
потому что d  r12  r22 , в этой связи
в уравнении (3) предыдущей задачи
соs = 0, поэтому оно может быть
переписано следующим образом
H
I
1 1
30
1
1
А



 199
2 r12 r22 6,28 9 10 4 16 10 4
м
.
3.1.17. По двум бесконечно длинным прямым параллельным
проводникам в одном направлении текут токи I1 = 20 A и I2 = 30 A.
Вычислить величину магнитной индукции в точке А отстоящей от
каждого проводника на расстоянии r = 10 см, если расстояние между
ними составляет d = 10 см.
Решение
1. Поскольку r1 = r2 = d, то между векторами магнитной индукции В1
и В2 угол будет равен  = 600, cos = 0,5.
2. Запишем далее уравнения магнитной индукции для проводников
I
I
B1  0 1 , B 2  0 2 .
(1)
2r1
2r2
3. Определим геометрическую сумму векторов В1 и В2

B  B12  B 22  B1 B 2  0 I12  I 22  I1 I 2 ,
(2)
2r
2 10 7
(3)
B
400  900  600  87 мкТл .
0,1
180
3.1.18. Два бесконечно длинных провода
расположены перпендикулярно друг другу. По
проводникам текут токи I1 = 80 A, I2 = 60 A.
Расстояние между проводами составляет d
= 10 см. Найти величину магнитной индукции
В в точке М равноудалённой от проводников.
Решение
1. В данном случае векторы магнитной
индукции В1 и В2 перпендикулярны, т.е.  =
900. Геометрическая сумма этих векторов определится уравнением
B  B12  B 22 .
2. Определим модули слагаемых векторов в уравнении (1)
I
I
B1  0 1 , B 2  0 2 .
d
d
(1)
(2)
 0 2 2 4 10 7
I1  I 2 
6,4 10 3  3,6 10 3  400 мкТ
d
  0,1
.
(3)
3.1.19. Бесконечно длинный проводник,
по которому течёт ток силой I = 20 A,
согнут, как показано на рисунке под
прямым углом. Определить величину
магнитной индукции поля в точке
удалённой от места сгиба на расстояние r
= 5 см.
B
Решение
1. Изогнутый провод с током, при определении параметров,
создаваемого им магнитного поля, целесообразно представить в виде
двух проводников, концы которых соединены в точке перегиба.
2. Вектор магнитной индукции В в заданной точке А определится в
виде суммы векторов В1 и В2 полей, создаваемых отрезками длинных
проводников, составляющих угол  = 900.
3. Вектор магнитной индукции В2 обусловленный током в
горизонтальной части проводника в соответствие с законом Био 
Савара  Лапласа определится соотношением dB2 = 0[dl  r] = 0, т.е. его
модуль равен нулю, т.к. продолжение проводника пересекает заданную
точку.
4. Для определения модуля магнитной индукции В2 воспользуемся
181
уравнением (6), полученным в задаче 1.3.14
I
B  0 cos 1  cos  2  ,
4r
5. В данном случае 1  0, а 2 = 900, другими словами,
I
 I I 20 10 7
B 2  B  0 cos 0 0  cos 90 0   0  
 40 мкТл .
4r
4r r
5 10 2
(1)
(2)
3.1.20. По тонкому, бесконечно длинному
проводнику, имеющему форму, показанную на
рисунке, течёт электрический ток силой I = 100
А. Определить величину магнитной индукции
поля В в точке О, если радиус закругления равен
r = 0,1 м.
Решение
1. В данном случае проводник можно
представить состоящим из трёх геометрических
фигур: двух бесконечных проводников, лежащих
в одной плоскости и пересекающихся под прямым углом и и
проводника в виде четверти окружности.
2. Пусть проводник в виде дуги окружности создаёт поле в
магнитной
индукцией
В1,
а
прямолинейные отрезки  В2 и В3. Все
три вектора {В1, В2, В3} будут
направлены вдоль одной прямой,
поэтому
их
суммарный
модуль
определится как

(1)
B  B1  B2  B3 .
3. Запишем уравнение модуля
вектора магнитной индукции поля,
создаваемого четвертью окружности
I
I
B1  0  0 .
(2)
4  2r 8r
4. Магнитные индукции бесконечно длинных прямолинейных
проводников
I
I
B 2  0 , B3  0 .
(3)
4r
4r
5. Подставим уравнения (2,3) в уравнение (1)
182
0I 0I 0I 0I  1 1
1  0I   4




,
 

8r 4r 4r
r  8 4 4 
r 8
(4)
4 10 7 100 (  4) 7,14 10 5

 3,57 10 4 Тл  357 мкТл .
0,1
8
0,2
(5)
B
B
3.1.21. Бесконечный проводник, по которому течёт постоянный
ток силой I = 100 A, согнут под прямым углом. Определить величину
магнитной индукции в точках А и F, расположенных на биссектрисе
прямого угла и отстоящих от его вершины на d = 0,1 м.
Решение
1. Рассмотрим вначале поле в точке F. Как
и в предыдущих задачах, проводник
представим состоящим из двух отрезков
пересекающихся под прямым углом, векторы
магнитной индукции будут направлены по
биссектрисе прямого угла, т.е.
(1)
B  B1  B 2 .
2. Для определения величин В1 и В2
воспользуемся уравнением (2), полученным в
задаче 3.1.19
0I
cos 0 0  cos 90 0    0 I .
B1F 
(2)
2r
2r
0I
(3)
cos 45 0  cos 90 0    0 I 2
2r
2r 2
3. Определим далее удаление отрезков проводников от заданной
точки F
d
d2  r2  r2 , r 
.
(4)
2
4. Подставим данные из уравнений (2), (3), (4) в уравнение (1)
 I 2 0I 2 2 0I
(5)
BF  0


2 1 ,
2d
2d 2
2d
4 10 7 100
(6)
BF 
2  1  4,82 10 4 Тл .
2  0,1
B2F 


183


5. Определим параметры поля в точке
А по аналогии с точкой F
I
I
B1A  0 cos 0 0  cos 90 0   0 , (7)
2r
2r
I
B 2 A  0 cos135 0  cos 90 0  
2r
(8)
0I 2

.
2r 2
6. Подставим значения В1A и В2А из
уравнений (7), (8) в уравнение (1)
I
BF  0
2 1 ,
(9)
2d
4 10 7 10 2
BA 
0,41  8,2 10 5 Тл .
2  0,1


(10)
3.1.22. По бесконечно длинному
проводнику, изогнутому под углом 
= 1200, течёт постоянный ток
силой I = 100 А. Найти магнитную
индукцию В в точке А, удалённой от
места сгиба на расстояние d = 5 см.
Решение
1. Вектор магнитной индукции в заданной точке А будет
представлять собой векторную сумму индукций двух, пересекающихся
под углом  = 1200 бесконечных проводников, т.е.
  
(1)
B  B1  B2 .
2. Вектор магнитной индукции горизонтальной части проводника В1
будет равен нулю, потому что в соответствии с законом Био  Савара 
Лапласа, для точек лежащих на оси проводника справедливо уравнение
 

(2)
dB1  0 d l  r  0 .
3. Модуль вектора В2 определим по уравнению (1) задачи 3.1.19
I
B  0 cos 1  cos  2  ,
(3)
4r
в рассматриваемом случае 1  0, а 2 = , cos2 = cos =  0,5.
4. Определим кратчайшее расстояние от заданной точки А до
проводника


184
(4)
r  d  sin 60 0  d  0,87  4,33 10 2 м .
5. Подставим полученные значения величин углов 1, 2 и
расстояния r в уравнение и(3)
4 10 7 100
(5)
1  0,5  346 мкТл .
B
4  4,33 10 2
3.1.23.
По
контуру
в
виде
равностороннего треугольника течёт
постоянный ток силой I = 40 А. Длина
стороны треугольника а = 0,3 м. Найти
магнитную индукцию в точке пересечения
высот треугольника.
Решение
1. Представим заданную фигуру в виде
трёх отдельных проводников конечной
длины.
Поскольку
заданная
точка
равноудалена от каждого из проводников, по которым течёт ток
одинаковой силы, то векторы магнитной индукции В1, В2 и В3 будут
равны по модулю и будут направлены перпендикулярно плоскости
треугольника в сторону наблюдателя.
2. Результирующий модуль вектора магнитной индукции,
определится как

(1)
B  B1  B2  B3 .
3. Запишем соотношение для магнитной индукции прямолинейного
проводника конечных размеров, воспользовавшись уравнением (3)
предыдущей задачи
I
B  0 cos 1  cos  2  ,
(2)
4r
где 1 = 300, 2 = 1500, таким образом,
I
 I 3
3   0 I3 3
.
(3)
B  3 0 cos 30 0  cos150 0   3 0 


4r
4r  2
2 
4r
4. Определим далее величину r, которая составляет треть высоты h
равностороннего треугольника
h 1 2 a2 a

a 

3.
3 3
4
6
5. Подставим значение r из уравнения (4) в уравнение (3)
r
185
(4)
B
18 3 0 I
4a 3

9 0 I 9  2 10 7  40

 240 мкТл .
2a
0,3
(5)
3.1.24. По контуру в виде квадрата со стороной d = 0,2 м течёт
ток силой I = 50 А. Определить индукцию магнитного поля В в точке
пересечения диагоналей.
Решение
1. Отметим, что поле в данном случае
будет симметричным относительно центра
квадрата. Если квадрат представить в виде
четырёх проводников конечной длины d, то
векторы магнитной индукции будут: вопервых, одинаковы по модулю, во-вторых, 
направлены в одну сторону, а линии их
действия расположатся на одной прямой.
Результирующий же вектор магнитной
индукции
В
определится
в
виде
геометрической суммы

B  B1  B 2  B3  B 4 .
(1)
2. Определим модуль вектора индукции от одного отрезка
проводника
I
B1  0 cos 1  cos  2  ,
(2)
4r
где 1 = 450, 2 = 1350, другими словами
I
I
B1  0 cos 40 0  cos135 0   0 2 .
(3)
4r
4r
3. Расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до
проводника равно r = d/2, следовательно
2 I
B1  0 2 .
(4)
4d
4. Подставим значение В1 = В2 = В2 = В4 из уравнения (4) в
уравнение (1)
4  2 0 I
2 I
8 10 7  50
(5)
B  4B1 
2 0 2
 282 мкТл .
4d
d
0,2
3.1.25. По тонкому проволочному кольцу течёт электрический ток.
Не изменяя силы тока в проводнике, его превратили в квадрат. Во
186
сколько раз изменится величина магнитной индукции в центре
контура?
Решение
1. Поскольку периметр квадрата и окружности одинаков, то между
радиусом r и длиной стороны квадрата d можно записать следующие
соотношения
r
2r  4d,  d 
.
(1)
2
2. Запишем далее уравнения для индукции кругового витка с током
I
(2)
B Окр.  0 ,
2r
и квадрата равного периметра, воспользовавшись уравнением (5)
предыдущей задачи
4 I
B Кв.  20 2 .
(3)
r
3. Определим отношение индукций магнитного поля в центре
квадрата и окружности
B Кв. 4 0 I 2 2r
8

 2
2
BОкр.
 r 0I 
187
2  1,144 .
(4)
Скачать