к.р. 1 1c.Лас.

НовГУ. Заочная форма обучения.
I курс 1 семестр.
Задания по математике.
Контрольная работа №1
I. Решить неравенство.
2
1. 1
3
3
3.
1
3
2
x 1
1
1 x
0
x  3x  2
2
1
2
3
x  2 4  x2
3
1 x
2
1  0
x 2  2x
x 2  1 2x  2 x  1
3
1 0
5. 2
3
1
2
1
 1 x  3x  2  0
2
1 x2
2
2. 2
2
x 1
3
4.
2
3
x 1
1
x 2  3x  4 1
2 0
4
1
3
2
3  3x
x 1
2 0
 2 2x  x  1 4
6. 2
2
2
x2  x  2  2 3
2 0
7. x 2  4 2 x  4 x 2  3x  2  0 8. 2 x 2  x  1 3
1 x
1 2
2
4
3
3
x 2  2x  8  1 2
x2  4
3 4 0
9.
0
4
3
2
x2  x
3
2
x 1
2 0
10. 1
2
3 x  3x  4  2
II. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
1 1 1 


1.  1 1  1
 2 1 0 


 1  2  1


2.   1 1
1
1
0  1

  3 4  2


5.  1
0
1 
 6 6 5 


 4  1  1


6.  1 2  1
1 1 2 


  2 1  2


8.  1  2 2 
 3 3 5 


 3  2  1


9.  3  4  3 
2  4 0 


 2 1 1 


3.  1 2  1
1 1 2 


3 1 1


4.  1 1 1 
 4 1 4


 2  1  1


7.  3  2  3 
 1 1
2 

 4 1 0 


10.  3 1  1
1 0 1 


1
III. Решить систему уравнений а) с помощью формул Крамера, б) с помощью обратной
матрицы.
 x  y  2 z  1,

1. 2 x  y  3z  1,
3x  4 y  z  10.

 x  2 y  2 z  1,

2. 2 x  y  3z  7,
 x  3 y  z  4.

 x  4 y  2 z  8,

4.  3x  y  z  4,
 x  2 y  z  3.

2 x  y  3z  16,

3.  x  2 y  z  7,
 x  3 y  2 z  1.

 x  2 y  2 z  1,

5. 2 x  y  z  4,
3x  3 y  z  13.

 2 x  y  z  5,

6.  x  2 y  3z  4,
5 x  y  2 z  11.

 x  4 y  z  11,

7. 2 x  3 y  z  3,
 x  3 y  3z  1.

2 x  3 y  2 z  2,

8.  x  4 y  z  14,
3x  y  2 z  19.

 x  2 y  5 z  12,

9. 2 x  y  3z  5,
 x  4 y  4 z  19.

3x  y  z  12,

10. 5 x  2 y  z  15,
 x  3 y  2 z  10.

IV. Для каждого значения параметра а решить систему уравнений.
5 x  2 y  3a  7 z  2,

1. a  1x  y  a  2z  2a  5,
3x  y  2a  5z  1.

3a  2x  5 y  2 z  2,

2. a  1x  a  4 y  z  2a  1,
2a  1x  3 y  z  1.

 x  ay  2 z  1,

3.  x  2a  1 y  3z  1,
 x  ay  a  3z  2a  1.

ax  y  z  1,

4.  x  ay  z  1,
 x  y  az  1.

 x  3 y  2 z  5,

5. 3x  ay  az  4,
4 x  4 y  3z  9.

a  1x  ay  3z  2,

6.  x  3 y  z  3,
3x  2 y  2 z  5.

a  2x  ay  2 z  11,

7.  x  2 y  3z  6,
3x  2 y  z  5.

a  1x  y  z  1,

8.  x  a  1 y  2 z  2,
a  3x  3 y  5 z  a  4.

2
 x  a  2 y  2 z  a  2,

10. a  2x  a  1 y  z  3,
3x  a  3 y  3z  5.

2 x  ay  z  2a  1,

9.  x  2ay  2 z  2,
4 x  3 y  3a  2z  5.

V. Векторная алгебра.
c m; 0; 2 
I вариант. 1) При каком значении m векторы a 1;  1; 2, b 3;1; 0 и
компланарны?
2) Найти координаты вектора a , перпендикулярного векторам i и b  3i  j  k , если
a  2.
II вариант. 1) Найти угол между векторами a и b , если a  b  a  b .
2) Найти b , если a  6, a  b  11 и a  b  7 .
III вариант. 1) Найти угол между векторами a и b , если a  b  a  b .
2) Найти внутренний угол при вершине С треугольника АВС, если А(-1; -2; 4),
В(3; 2; -2), С(3; -2; 1).
IV вариант. 1) Единичные векторы a, b, c удовлетворяют условию a  b  c  0 . Найти
ab  bc  c a .
2) Найти угол между векторами
a
и
b , если
a  2b
и вектор 2a  b
перпендикулярен вектору a  3b.
V вариант. 1) Найти координаты единичного вектора a , перпендикулярного векторам
i  j и j  k , и такого, что a; i  j; j  k - правая тройка векторов.

2)
2e
1
Пусть

e1

и
e2

-
единичные
неколлинеарные
векторы.
Вычислить
 5e2  3e1  e2 , если e1  e2  3 .
VI вариант. 1)При каких значениях m тройка векторов a m;1; 0, b  1; 2;1, cm  1; 3; 2
будет правой?
2) Найти координаты вектора b , компланарного с векторами i и j , перпендикулярного
вектору a  4i  3 j  5k и такого что, a  b .
VII вариант. 1) Найти угол между векторами a и b , если 3a  b  3a  b .
2) Векторы a и b образуют угол 120 . Найти  из условий, что b  2 a и вектор
a   b перпендикулярен вектору a  b.
3
1

VIII вариант. 1) Найти координаты вектора b , если он коллинеарен вектору a 1;1;   ,
2

образует острый угол с ортом k и b  3 .
2) Найти a  b , если a  11,
b  23 и a  b  30 .
IX вариант. 1) Найти угол между векторами a и b , если a  b  a  b .
2) ) Векторы a и b неколлинеарны. Найти число  , если векторы
  1a  2b
и
3a  b коллинеарны.
X вариант. 1) Найти координаты единичного вектора a , перпендикулярного вектору
b  1; 2; 2  и образующего равные углы с векторами i и j .
2) Вектор a  3b перпендикулярен вектору 7a  5b и вектор a  4b перпендикулярен
вектору 7a  2b . Найти угол между векторами a и b .
VI. Аналитическая геометрия в пространстве.
I вариант. 1) Даны две вершины треугольника: А(- 4; - 1; 2) и В(3; 5; -6). Найти
координаты третьей вершины С, зная, что середина стороны АС лежит на оси y, а
середина ВС – на плоскости хОz.
2) Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
перпендикулярной двум плоскостям 2 x  y  5 z  3  0 и x  3 y  z  7  0 .
x y  4 z 1


3) Найти проекцию прямой
на плоскость x  y  3 z  8  0 .
4
3
2
II вариант. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Z и через точку
М(-3; 1; -2).
2 x  3 y  3z  9  0,
2) Привести к каноническому виду уравнения прямой 
 x  2 y  z  3  0.
x  2 y 1 z


3) Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
и
3
4
2
x  7 y 1 z  3


.
3
4
2
III вариант. 1) На оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А(1; -3; 7) и
В(5; 7; -5).
11x  2 y  10 z  15  0
2) Вычислить расстояние между плоскостями
и
11x  2 y  10 z  45  0 .
x y 4 z 3


3) Найти расстояние от точки М(1; 2; 3) до прямой
.
1
3
2
IV вариант.
1) Вычислить расстояние от точки
М(2; 0; -0,5) до плоскости
4 x  4 y  2 z  17  0 .
x 1 y  3 z


2) Найти точку пересечения прямой
и плоскости 3x  3 y  2 z  6  0 .
1
4
3
4
3) Написать уравнение плоскости,
x  3 y z 1
x 1 y 1 z
 

 .
и
2
1
2
2
1
2
проходящей
через
параллельные
прямые
V вариант. 1) На плоскости хОу найти точку, равноудаленную от точек А(-2; -3; 3),
В(6; -2; - 12) и С(7; - 11; - 4).
2) Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(- 1; 2; -3) перпендикулярно
x 1 y  2 z

 .
прямой
3
2
1
x 1 y  3 z 1


3) Найти расстояние от точки М(1; 2; 0) до прямой
.
2
3
1
VI вариант. 1) Даны вершины треугольника: А(2; - 1; 4), В(3; 2; -6), С(-5; 0; 2). Найти
длину медианы, проведенной из вершины А.
2) Вычислить расстояние от точки Р(-1; 1; -2) до плоскости, проходящей через три точки
М1(1; -1; 1), М2(-2; 1; 3), М3(4; -5; -2) .
3) Найти проекцию точки М(3; - 4; -2) на плоскость, проходящую через две
x5 y 6 z 3
x2 y 3 z 3




параллельные прямые
и
.
13
1
4
13
1
4
VII вариант. 1) На оси абсцисс найти точки, удаленные от точки А(-3; 4; 8) на
расстояние равное 12.
2)
Написать уравнение плоскости, проходящей через
начало координат
перпендикулярно двум плоскостям 2 x  y  3z  1  0 и x  2 y  z  0 .
2 x  2 y  z  10  0,
x7 y 5 z 9


3) Убедившись, что прямые 
и
параллельны,
3
1
4
 x  y  z  22  0
найти расстояние между ними.
VIII вариант. 1) Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OZ и точку
М(3; - 4; 7).
x 1 y 1 z


2) Найти точку пересечения прямой
и плоскости 2 x  3 y  z  1  0 .
1
2
6
x 3 y  2 z 8


3) Найти расстояние от от точки М(1; -1; -2) до прямой
.
3
2
2
IX вариант. 1) Найти координаты точек В и С, которые делят отрезок АД на три
равные части (АВ = ВС = СД), если А(- 4; 3; 7), Д(5; 0; -5).
2)
Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(1; 3; - 4)
относительно
плоскости 3x  y  2 z  0 .
x 1 y  4 z  2
x2 y4
z




3) Доказать, что прямые
и
скрещиваются.
1
6
2
2
2
1
Найти расстояние между ними.
X вариант. 1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М 1(3; 0; -2) и
М2(4; 3; -1) и параллельной оси OZ.
2x  3y  z  6  0
2) Найти объем пирамиды, ограниченной плоскостью
и
координатными плоскостями.
3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(4; -3; 1) параллельно
x y
z
x 1 y  3 z  4
 


прямым
и
.
6 2 3
5
4
2
5
VII. Линии второго порядка.
1.Через точку М(0; -1) и правую вершину гиперболы 3x 2  4 y 2  12  0 проведена
прямая. Найти координаты второй точки пересечения прямой и гиперболы.
x2 y2
2
2
2. Гипербола x  y  8 и эллипс

 1, a  b имеют общие фокусы. Найти
a2 b2
уравнение эллипса, если он проходит через точку (4; 6).
3. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки А(1; 2), В(0; -1),
С(-3; 0).
x2 y2
4. Эллипс, задаваемый уравнением

 1 , проходит через точку (1; 1) и имеет
a2 b2
3
эксцентриситет   . Найти уравнение эллипса.
5
5. Найти острый угол между асимптотами гиперболы x 2  3 y 2  3  0 .
6. Вершина параболы и ее фокус совпадают соответственно с точками А(-2; 0), F(2;0).
Написать уравнение параболы.
7. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусами являются точки F1 (-13; 0),
F2 (13; 0), а уравнения асимптот имеют вид y   2,4 x .
8. Написать уравнение эллипса, если его фокусами являются точки F1 (-4; 0), F2 (4; 0), а
расстояние между директрисами равно 12,5.
9. Написать уравнение окружности, которая проходит через точки М 1 (3; 1), М2 (-1; 3),
а ее центр лежит на прямой 3x  y  2  0 .
10. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусами являются точки F1 (-5; 0), F2 (5; 0),
а расстояние между директрисами равно 3,6.
6