Оператор векторного произведения

1
Лекция 5
Ускорение точки
Векторный способ
Определение: Ускорением точки называется вектор
W=dV/dt=d2r/dt2
(12)
Замечание: Если скорость точки постоянна по модулю (равномерное движение), то по
свойствам векторной производной ускорение нормально к скорости.
Координатный способ
По свойствам векторной производной
Wx=Vx*=x**, Wy=y**, Wz=z**
(13)
Теперь можно найти вектор ускорения:
W2=Wx2+Wy2+Wz2,
Cos(x,W)=Wx/W, Cos(y,W)=Wy/W, Cos(z,W)=Wz/W
Естественный способ
n
W= dV/dt=t d*/dt + *dt/dt =
Wn
= **t+*dt/d d/dt = **t+*2kn
(15)
Таким образом ускорение имеет две составляющиеM
касательную и нормальную:
W=Wt+Wn;
Wt=**t;
Wn= *2kn
(16)
Рис.8 W
2
2
2
W =Wt +Wn
Равномерным называется движение с постоянной по модулю скоростью:
V=Const (s*=Const).
При равномерном движении ускорение точки равно нормальному
Wn
ускорению. Оно существует, если кривизна траектории конечна.
При равномерном движении ускорение точки обращается в ноль только на
V
прямых участках и в точках перегиба траектории.
(14)
W

W=0
Wn
Рис.9
Равнопеременным называется движение точки с постоянным касательным
ускорением: **=Сonst=Wt
Интегрируя, получаем:
*= Wtt+C1,
(17)
где С1- постоянная интегрирования, которую следует найти из начальных условий:
t=0: = 0, *=V0
(18)
Находим: С1=V0. Повторное интегрирование дает закон равнопеременного движения точки по кривой:
= Wt t2/2+V0t+ 0
(19)
Ë6
1
2
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Теорема о распределении скоростей в твердом теле
Матрица поворота твердого тела.
Рассмотрим два положения твердого тела: в начальный момент времени t=0, и в текущий момент
t (Рис. 1). Вектором в теле назовем любой вектор а, соединяющий две
j
y
точки тела. Все векторы в теле постоянны по модулю и изменяют
k0
k
только свое направление, поворачиваясь вмесите с телом.
a
Свяжем с телом триедр единичных векторов i, j, k. Положение
j0
i
y
i0
триедра в начальный момент обозначим через i0 jo k0 Поскольку
a0
начальное положение неизменно, то с ним можно связать неподвижные
оси координат x, y, z, совместив их с ортами. Вектор в теле в этот
x
t=0
Рис.1
момент имеет положение a0 .
0
t=0: а(0)=a0=x0i0+y0j0+z0k0=Const
(1)
В момент времени t вектор а можно записать как в проекциях на неподвижные оси x, y, z,
a(t)=x(t)i0+y(t)j0+z(t)k0
(2)
так и на подвижные оси с ортами i, j, k
a(t) = x0i(t)+y0j(t)+z0k(t)
(3)
В (3) учтено, что проекции вектора на подвижные оси неизменны и равны его начальным проекциям на
неподвижные оси (1). Поэтому соотношение
xi0+yj0+zk0= x0i+y0j+z0k
(4)
вытекающее из (2) и (3), связывает
1) с одной стороны координаты двух положений вектора а в неподвижных осях x, y, z после
(слева) и до (справа) поворота,
2) в текущий момент времени t проекции вектора а на неподвижные и подвижные оси.
Умножая последовательно обе части равенства на орты неподвижной системы координат, находим
x = i0.а = i0 (x0i+y0j+z0k) = 11x0+ 12y0+ 13z0
y = j0.а = j0 (x0i+y0j+z0k) = 21x0+ 22y0+ 23z0
(5)
z = k0.а = k0 (x0i+y0j+z0k) = 31x0+ 32y0+ 33z0
Таким образом, получаем выражение текущих координат вектора движущегося тела через его
начальные координаты в системе x, y, z
 11 (t ) 12 (t ) 13 (t )
 x ( t )
 x0 




 
a(t)=Т(t) a0
Т(t) =   21 (t )  22 (t )  23 (t )
(6)
a ( t )   y ( t )
a 0   y 0  =Const






  31 (t )  32 (t )  33 (t )
 z(t ) 
 z0 
Здесь через  mn обозначены направляющие косинусы углов между ортами обеих систем координат,
изменяющихся при движении тела. Индексы являются номерами ортов (1 соответствует ортам i , 2 j,
3 k), и первым стоит номер орта неподвижной системы координат, а вторым подвижной. Например
23(t)=j0k(t). Направляющие косинусы являются, по сути, проекциями ортов одной системы на
направления ортов второй системы.
Поскольку формула (6) характеризует поворот всех векторов в теле вместе с телом, то Т
называется матрицей поворота тела.
Ë6
2
3
Пример: При повороте тела на угол  вокруг оси z (Рис.2) матрицу поворота легко вычислить в
соответствии с (6)
y’
 Cos  Sin 0
j
Тz=  Sin Cos 0
(7)



k0
j0
0 1
 0
k
y
Матрицы поворота вокруг осей х и у будут иметь такую же структуру, только
i

единица в них будет занимать место 11 и 22.
i0
x’
1
 Cos 0  Sin 
0
0 
x
Рис.2




Тx=  0 Cos  Sin 
Т y=  0
(8)
1
0 




 0 Sin Cos 
 Sin 0 Cos 
Рассматривая a и а0 как столбцы проекций вектора а в текущий момент t на неподвижные и
подвижные оси соответственно, и соотношение
a(t)=Т(t) a0
(9)
определяет переход от подвижной к неподвижной системе координат. Поэтому матрица Т является
одновременно и матрицей перехода от подвижной системы координат к неподвижной. Следует
подчеркнуть что направления поворота и перехода противоположны.
Исследуем свойства матрицы Т. Поскольку длина вектора в теле не изменяется, то его скалярное
произведение на самого себя и до и после поворота тела остается неизменным
a2= aTa=a0Ta0= a0T TTT a0
(10)
Значит
 1 0 0


T TT=E=  0 1 0
(11)


 0 0 1
где Е- единичная матрица. Как известно, произведение матрицы на ее обратную матрицу тоже равно
единичной матрице. Значит матрица, обратная матрице поворота, равна ее транспонированной
матрице.
T 1=T T
(12)
Такие матрицы называются ортогональными. Теперь можно записать соотношение обратное (9)
TТа=ТТТа0
a0=TТ a
(13)
Ë6
3