ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАБОРА КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ В ПРОЦЕССЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАБОРА КОЛИЧЕСТВЕННОЙ
ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
В ПРОЦЕССЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
© 2000 г.
В.Д. Ногин, И.В. Толстых
(195251 Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, СПбГТУ)
Аннотация
На основе строгого определения относительной важности критериев для достаточно широкого класса многокритериальных задач указываются два подхода к обоснованному сужению
множества Парето с использованием конечного набора количественной информации об
относительной важности критериев.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 98-01-00622)
1. Введение
Если о многокритериальной задаче, включающей множество возможных решений и
определенный на этом множестве набор критериев (векторный критерий), нет никакой другой информации кроме сведений о том, что имеющиеся критерии следует максимизировать,
то, как известно, поиск оптимальных (наилучших) решений следует производить в пределах
множества Парето [1].
Лицо, принимающее решение (ЛПР), в практике принятия решений нередко располагает некоторыми сведениями о равноценности и/или неравноценности определенных критериев или же целых групп критериев. Более того, оно (т.е. ЛПР) способно количественно выразить соответствующую степень важности.
Для того чтобы логически обоснованно использовать эту количественную информацию в процессе принятия решений, ЛПР необходимо иметь в распоряжении строгое определение относительной важности критериев. Такого рода определение было предложено
одним из авторов в [2,3]. Оказалось, что использование количественной информации о том,
что одна группа критериев является более важной, чем другая (с некоторыми коэффициентами в виде двух наборов числовых параметров из интервала (0,1)) позволяет отбросить
значительную часть Парето-оптимальных решений как заведомо неприемлемую с точки
зрения имеющейся информации. Иными словами, указанного типа информация дает возможность построить определенную оценку сверху для искомого множества оптимальных
(наилучших) решений, являющейся более точной, чем множество Парето.
Метод построения оценки сверху для двухкритериальных задач был предложен в [4,
§ 7.6], а затем распространен на общий случай в [5,6], хотя во всех этих работах еще отсутствуют понятия относительной важности критериев.
2
В настоящей работе рассматривается достаточно широкий класс многокритериальных задач, ограниченный принятием двух разумных допущений и обсуждается возможность
построения оценки сверху для неизвестного множества оптимальных решений в случае, когда имеется целый набор количественной информации об относительной важности критериев. Отмечены две возможности построения указанной оценки сверху. Первая связана с
использованием результатов работы [5,6], вторая – более простая с точки зрения реализации
– по существу сводится к построению множества Парето относительно некоторого нового
(чаще всего большей размерности) векторного критерия, вычисленного на основе «старого»
по простым формулам.
1. Математическая модель выбора решений
Рассмотрим модель выбора решений (X, f, ), включающую три объекта: X – множество (произвольной природы) возможных или допустимых решений, f = (f1, f2, …, fm) 
числовая m-мерная векторная функция (векторный критерий), определенная на множестве
X, и   бинарное отношение строгого предпочтения ЛПР, заданное на множестве X (т.е. 
 X  X). Запись x  x , таким образом, означает, что ЛПР из двух решений x и x отдает
предпочтение решению x, иными словами, для него решение x «лучше», чем x.
Задача выбора состоит в отыскании с использованием векторного критерия f множества оптимальных (наилучших) для ЛПР решений, которое обозначим через OPT X
(OPT X X). В частности, это может быть и одноэлементное множество.
Если множество X и критерий f при решении практических задач, как правило, известны, то этого нельзя сказать об отношении строгого предпочтения , описывающего
«вкусы» ЛПР. Чаще всего об отношении  имеется лишь некоторая фрагментарная информация, на основе которой невозможно логически обоснованно построить множество
OPT X .
Практически все специалисты в области принятия решений склонны считать, что неизвестное множество OPT X лежит во множестве недоминируемых решений NDOM X, т.е.
OPT X  NDOM X,
(2.1)
*
*
где NDOM X = {x X : x x  x X}.
Первое допущение, которое будем использовать в дальнейшем изложении, состоит в
принятии аксиомы Парето.
Аксиома Парето. Для любых x, x  X выполняется
f(x)  f(x)  x  x.
Знак  означает, что имеют место нестрогие неравенства fi (x)  fi (x), i = 1, 2, … , m, причем f (x)  f (x).
Эту аксиому можно рассматривать как определенную информацию об отношении
предпочтения , выраженную в терминах векторного критерия f. Она показывает, что ЛПР
заинтересовано в получении по возможности бóльших значений по каждому из имеющихся
в его распоряжении критериев.
Введем в рассмотрение критериальное пространство (пространство оценок) m −
m-мерное векторное пространство, которому принадлежат значения критерия f, т.е. f (X) 
m. Отношение строгого предпочтения  естественным образом индуцирует в m бинарное
отношение m по правилу
f(x) m f(x)  x  x
для всех x, x  X.
3
Второе допущение заключается в предположении, что введенное отношение m является сужением некоторого, заданного на всем критериальном пространстве m, иррефлексивного, транзитивного и инвариантного относительно положительного линейного преобразования бинарного отношения M . Здесь инвариантность отношения M понимается
обычным образом:
, сm, y, ym, y M y  (y + с) M ( y + с) .
В работах [3,6] установлено, что при сделанных во втором допущении предположениях относительно M (и только при них), это отношение является конусным с острым выпуклым конусом, не содержащим начало координат. Обозначим этот конус через K M  m.
Там же отмечено, что для достаточно широкого класса практически значимых задач оба
сделанных выше предположения можно считать выполненными.
2. Основные определения, связанные с относительной важностью
критериев
Рассмотрим два произвольных возможных решения x, x  X. Если оценки этих решений совпадают, т.е. f (x) = f (x), то решения x и x естественно считать равнозначными для
ЛПР. Если же имеет место соотношение f (x)  f(x) или f (x)  f (x), то в силу аксиомы Парето верно x  x или x  x, соответственно.
Рассмотрим случай, когда не выполняется ни одно из трех приведенных выше соотношений. В этом случае найдутся непустые непересекающиеся множества A  I и B  I ,
где обозначено I = {1, 2, …, m}, такие, что
fi (x) > fi (x) для всех i  A,
fj (x) > fj (x) для всех j  B,
fs (x) = fs (x) для всех s I \ (A  B).
(3.1)
Предположим, что при выполнении соотношений (3.1) ЛПР из двух решений x и x выбрало
первое, т.е. x  x. Возникает вопрос: существуют ли какие-то разумные причины, способные объяснить выбор, сделанный ЛПР?
Решение x предпочтительнее x по всем критериям fi , для которых i  A , и в то же
самое время оно менее предпочтительно, чем x по всем критериям fj , для которых j  B.
Остальные критерии (номера которых не входят ни в A , ни в B) в расчет можно не принимать, поскольку они имеют одинаковое значение как для x, так и для x.
Почему же при переходе от решения x к x для ЛПР оказалось выгодным получить
«выигрыш» по критериям fi (i  A), несмотря на «проигрыш» по критериям fj (j  B)? На наш
взгляд, единственным разумным объяснением такого поведения ЛПР может служить неравноценность групп критериев fi (i  A) и fj (j  B). Критерии первой группы оказались для
ЛПР более важными по сравнению с критериями второй группы. Поэтому ради получения
«прибавки» по критериям более важной группы ЛПР согласилось на определенные «потери» по критериям менее важной группы.
Приведенные рассуждения ведут к следующему определению.
Определение 1. Пусть A, B  I, A  , B  , AB = . Говорят, что группа критериев A важнее группы критериев B с двумя наборами положительных параметров wi для
всех i  A и wj для всех j  B, если для x, x  X выполнение соотношений (3.1) вместе с
4
fi (x) – fi (x) = wi
fj (x) – fj (x) = wj
для всех i  A
для всех j  B
влечет x  x.
Определение 2. Предположим, что группа критериев A важнее группы критериев B с
наборами параметров wi для всех i  A и wj для всех j  B. Числа ij = wj /(wi + wj), iA,
jB, называются коэффициентами относительной важности группы A по сравнению с
группой B.
Очевидно, 0 < ij < 1. Пусть A = {i}, B = {j}, т.е. отдельный критерий i важнее отдельного критерия j с коэффициентом относительной важности ij . Чем ближе ij к нулю,
тем меньше степень важности критерия i по сравнению с критерием j. И чем ближе ij к 1,
тем указанная степень больше. При ij = 0,5 для получения прибавки в размере wi по критерию i ЛПР готово пожертвовать тем же самым количеством wj ( = wi ) по менее важному
критерию j.
Заметим, что в [7] изучен ряд общих свойств данных определений, на которых мы
здесь останавливаться не будем.
3. Сужение множества Парето на основе количественной информации об относительной важности критериев
Из аксиомы Парето следует включение NDOM  X  Pf ( X ) , где Pf (X) = {x*  X : f(x)
 f(x*)  x  X} – множество Парето-оптимальных решений (множество Парето). Отсюда с учетом (2.1) получаем
OPT X  NDOM  X  Pf (X).
(4.1)
Полученное, в частности, означает, что наилучшие решения многокритериальных задач
следует искать только среди множества Парето.
Во многих практических задачах множество Парето оказывается довольно широким
и выбор наилучших решений внутри него становится затруднительным. Таким образом,
встает вопрос о его сужении. Сужение множества Парето можно рассматривать как удаление из него тех решений, которые заведомо не принадлежат множеству OPT X. Введенные
в предыдущем пункте определения дают возможность предложить строгое, логически обоснованное сужение множества Парето на основе количественной информации об относительной важности критериев.
Теорема 1 [3]. Предположим, что группа критериев A важнее группы критериев B с
коэффициентами относительной важности ij  (0, 1) при всех i A, j  B. Тогда имеют место включения OPT X  Pg (X)  Pf (X), где g – p-мерная вектор-функция (p = m –  B +
 A   B ), составленная из тех компонент fi векторного критерия f, для которых i  I \ B ,
а также компонент gij  ij f i  1  ij  f j для всех i  A , j  B.
Здесь    используется для обозначения числа элементов во множестве .
Следствие 1. В случае A = {i} вектор-функция g имеет столько же компонент, что и
f, причем отличается от нее лишь j-ми критериями, j  B. Вместо каждого fj в ней присутствует выпуклая комбинация более важного и менее важного критериев вида
g j  ij f i  1  ij  f j .
Следствие 2 [3]. В условиях теоремы 1 максимальное значение p достигается в случае  A = [(m+1)/2],  B  = m –  A , где квадратные скобки обозначают целую часть числа.
5
Например, если в задаче имеется 10 критериев ( m  10) и какая-то группа из 5 критериев важнее оставшейся группы из 5 критериев (| A | = | B | = 5), то в соответствии с теоремой 1 новое число критериев (число компонент векторной функции g ) будет равно
p  10  5  5  5  30 .
Следующий простой пример иллюстрирует применение количественной информации об относительной важности критериев для сужения множества Парето в двухкритериальной задаче с тремя возможными решениями.
Пример. Пусть m = 2, X = {x, x, x} и f(x) = (5, 2), f(x) = (3, 2), f(x) = (1, 3).
Здесь множество Парето имеет вид Pf (X) = {x, x}, так как (5, 2)  (3, 2) и неравенства
(5, 2)  (1, 3), (1, 3)  (5, 2) не выполняются. Предположим, что имеется информация о
том, что первый критерий незначительно важнее второго, а именно 12 = 0.2. В соответствии
с теоремой 1 g  ( f 1 , 0.2 f 1  0.8 f 2 ) . Значит g(x) = (5, 2.6), g(x) = (1, 2.6), и поэтому Pg
(X) = {x}. Если предположить, что OPT X  , то в силу теоремы 1 получаем OPT X = {x}.
Тем самым, в данном примере информация об относительной важности критериев позволила однозначно определить наилучшее для ЛПР решение.
Теорема 1 показывает, что для учета одного сообщения об относительной важности
критериев f 1 , f 2 ,..., f m следует сформировать новый векторный критерий g , заменив менее
важные критерии f j (при j  B ) выпуклыми комбинациями ij f i  1  ij  f j более важных
и менее важных критериев. При этом в случае | A |  1 будет выполнено p  m , т.е. размерность нового критерия g будет больше размерности f . Согласно теореме 1 новое множество Парето Pg ( X ) , вообще говоря, ýже множества Pf ( X ) , причем при подобном сужении
не потеряно ни одно оптимальное для ЛПР решение, так как OPT X  Pg (X).
Далее к решению многокритериальной задачи с векторным критерием g можно подойти так же, как к решению исходной задачи с f . В частности, если от ЛПР будет получена новая информация об относительной важности критериев g 1 , g 2 ,..., g p , то на основе теоремы 1 можно перейти к следующей задаче, множество Парето которой еще ýже, и т.д. Следует, однако, заметить, что при оценке относительной важности вновь образованных критериев ЛПР может оказаться в затруднительном положении, поскольку новые критерии не
обязательно будут иметь явно выраженный «физический» смысл. По этой причине для учета
набора информации об относительной важности крайне желательно, чтобы все сообщения
из этого набора были связаны с первоначальным критерием f .
4. Совместность набора количественной информации об относительной важности критериев
Если для сужения множества Парето используется целый набор информации
об относительной важности критериев, то прежде всего следует позаботиться о том, чтобы
этот набор не был внутренне противоречивым (несовместным).
Обозначим через Nm все те векторы пространства m, у которых одновременно есть
по крайней мере одна положительная и одна отрицательная компоненты.
Выполнение соотношений (3.1) означает, что для векторов y = f (x) и y = f (x) выполняется включение y – y  Nm.
Можно проверить (см. [3]), что при выполнении сформулированного в п.2 второго
допущения указание некоторой одной пары векторов y, y  m, y – y  Nm , для которой оценка y предпочтительнее y (т.е. y M y или, что то же самое, y – y  K M ) означа-
6
ет наличие информации о том, что определенная группа критериев важнее некоторой
другой группы критериев. Более важной будет та группа критериев, номера которых соответствуют положительным компонентам вектора y – y, а менее важной – с номерами, соответствующими отрицательным компонентам указанного вектора.
Теперь предположим, что имеется набор подобного рода векторов
ui , vi m,
ui – vi  Nm,
i = 1, 2, …, k.
(5.1)
Определение 3 [3]. Говорят, что набор информации об относительной важности
критериев (5.1) является совместным, если на m существует некоторое иррефлексивное,
транзитивное и инвариантное относительно положительного линейного преобразования
бинарное отношение предпочтения  N , для которого выполнено ui N vi , i = 1, 2, …, k.
Вопрос о совместности набора информации полностью решается в следующем
утверждении, которое представляет собой определенную переформулировку предложения
6.1 из [6].
Теорема 2. Набор информации об относительной важности критериев (5.1) является
совместным тогда и только тогда, когда система линейных уравнений
  i e i    i u i  v i   0
m
k
i 1
i 1
не имеет ненулевых неотрицательных решений относительно 1, 2, …, m, 1, 2, …, k .
Здесь ei  i-й единичный орт пространства m.
Геометрически условие совместности набора информации из теоремы 2 означает, что
выпуклый конус, порожденный векторами e1 ,..., e m , u1  v 1 ,..., u k  v k , является острым и не
совпадает со всем пространством m.
Опираясь на теорему 2, легко проверить, что информация о том, что некоторая группа критериев A важнее какой-то другой группы критериев B является совместной. Совместной будет и информация, состоящая из двух сообщений о том, что критерий i важнее
некоторого критерия j и он же (критерий i ) важнее другого критерия k . Такой же вывод
имеет место и для набора информации о том, что критерий i важнее критерия k и другой
критерий j важнее того же критерия k .
5. Использование набора количественной информации об относительной важности критериев
В работах [5,6], по существу, описан один из возможных подходов использования
набора информации об относительной важности критериев для сужения множества Парето,
хотя понятия относительной важности критериев в них отсутствуют. Реализация этого подхода сводится к решению определенной задачи оптимизации относительно некоторого многогранного конуса [1]. Для решения этой задачи в случае конечного множества возможных
решений может быть предложена соответствующая вычислительная процедура, основанная
на применении известного симплекс-метода, которая в нечетком случае описана в [6]. Далее
предлагается иной, более простой подход, основу которого составляет пересчет исходного
векторного критерия по определенным несложным формулам.
Следующий результат, принадлежащий И.В. Толстых, представляет собой прямое
обобщение теоремы 1.
7
Теорема 3. Пусть имеется непустой совместный набор информации о том, что группа критериев As важнее группы критериев Bs с коэффициентами относительной важности
ijs  0,1 при всех i  As , j  Bs , s  1,2,..., k (1  k  m / 2) . Предположим, что подмножества
номеров
Ai  I
и
Bi  I
удовлетворяют
условиям
Ai  ; Bi  ;
Ai  B j  ;
k
k
s 1
s 1
Ai  A j  ; Bi  B j  ; для всех i, j  1, 2,..., k ; i  j. Обозначим A   As , B   Bs . То-
гда имеет место соотношение
OPT X  Pg  X   Pf  X  ,
где g – p-мерная вектор-функция ( p  m  B 
(6.1)
k
 As  Bs
), составленная из тех компо-
s 1
нент f i векторного критерия f, для которых i  I \ B , а также компонент
g ijs  ijs f i  1  ijs  f j
при всех i  As , j  Bs , s  1,2,..., k .
(6.2)
Доказательство. Кроме введенных ранее обозначений будем использовать также
следующие:
m – подмножество векторов из  m с неотрицательными компонентами без нулевого
вектора;
x, y  x1 y1  x2 y2  ...  xm ym – скалярное произведение в пространстве m;
d s ( s  1,2,..., k ) – векторы из множества N m , которые появляются благодаря наличию
информации об относительной важности критериев группы As по отношению к группе кри-
териев Bs . В п. 5 было отмечено, что наличие информации об относительной важности
группы критериев As по отношению к группе B s с коэффициентами относительной важности ijs равносильно указанию принадлежности конусу K M некоторого вектора d s  N m со
всеми нулевыми компонентами, за исключением тех из них, которые располагаются на номерах из множеств As и B s . Более того, все компоненты с номерами из первого множества
(т.е. As ) положительны, а все компоненты с номерами из второго множества – отрицательны, причем их значения таковы, что они реализуют коэффициенты относительной важности
ijs из условий данной теоремы, s  1,2,..., k .
Если ЛПР при выборе из двух возможных решений x и x  сделало свой выбор в
пользу решения x (т.е. x  x' ), то это равносильно выполнению соотношения f x   M f x' ,
или, что то же самое, f x   f x'  K M . Принятие аксиомы Парето для отношения  M геометрически означает, что верным является включение  m  K M .
k


Пусть K  cone  m  (  d s )  – выпуклая коническая оболочка множества без нулевого
s 1


элемента. Благодаря условию совместности имеющейся информации об относительной
важности критериев введенный конус K является острым и выпуклым (без нуля), причем
8
его образующие содержатся среди векторов e1 ,..., e m , d 1 ,..., d k . Кроме того, выполняются
включения m  K  K M , так как d s  K M , s  1,2,..., k .
Рассмотрим конус C, двойственный конусу K:
C  { y  m : x, y  0 для всех x  K } \ {0} .
На основании выпуклого анализа [8] решетка граней конуса С двойственна решетке граней
конуса K. Геометрически С – конус, образующими которого являются некоторые нормали к
конусу K. Зная образующие K, получаем систему линейных неравенств
e i , y  0 для всех i  I
d s , y  0,
(6.3)
s  1,2,..., k ,
множество решений которой (без нуля) совпадает с конусом С.
Найдем совокупность векторов, образующих базис в пространстве решений системы
неравенств (6.3). Это будут такие векторы, множество линейных неотрицательных комбинаций которых совпадает со множеством решений системы (6.3).
Вектор e i при каждом i  I \ B является решением системы неравенств (6.3).
Введем векторы eijs  ijs e i  1  ijs e j для всех i  As , j  Bs , s  1, 2,..., k . Все ком-


поненты этих векторов неотрицательны, т.е. данные векторы удовлетворяют первой группе
системы неравенств (6.3). Каждое s -ое неравенство второй группы для указанных векторов
превращается в тривиальное равенство 0  0 , поскольку
при s  s0 (здесь s 0 определяется условием s 0  I \ ( As  Bs ) ) ненулевые компоненты вектора eijs0 умножаются на нулевые компоненты d s и наоборот;
при s  s0 за счет специального вида векторов d s (обеспечивающего соответствующие коэффициенты ijs ) в результате выполнения скалярного умножения получится нуль.
Таким образом, совокупность векторов, состоящая из e i при всех i  I \ B и eij при
s
всех i  As , j  Bs , s  1, 2,...k , принадлежит конусу С, причем среди этих векторов нет
«лишних», т.е. ни один из них нельзя представить в виде линейной комбинации каких-то
других с положительными коэффициентами. Количество векторов указанной совокупности
равно p  m  B  A1  B1  A2  B2  ...  Ak  Bk .
Установим, что система неравенств (6.3) не имеет других ненулевых решений, кроме
всевозможных линейных комбинаций с положительными коэффициентами векторов указанной выше совокупности.
С этой целью наряду с системой неравенств (6.3) введем соответствующую ей систему линейных уравнений
e i , y  0 для всех i  I
(6.4)
d s , y  0, s  1, 2,..., k .
Рассматривая всевозможные подсистемы из (m – 1) уравнений системы (6.4), простым перебором можно убедиться, что любое ненулевое неотрицательное решение такой
подсистемы, удовлетворяющее (6.3), с точностью до положительного множителя совпадает
9
с одним из векторов совокупности
e i при всех i  I \ B и eij при всех i  As , j  Bs ,
s
s  1, 2,...k .
Для удобства записи указанную совокупность из p векторов конуса C обозначим
через a i , i  1,2,..., p . Введем вектор-функцию g с компонентами g i  a i , f , i  1,2,..., p .
Истинна эквивалентность
f ( x )  f ( x )  K  ( a 1 , f ( x )  f ( x ),...,  a p , f ( x )  f ( x ) )  0  g ( x )  g ( x )
при всех x и x  из множества X , таких, что f ( x )  f ( x ) . Следовательно, NDOM K X =
= Pg ( X ) где NDOM K X  {x  X : f ( x )  f ( x)  K  x   X } . Отсюда с учетом левого включения (4.1) и K  K M следует левое включение (6.1). Справедливость правого включения
(6.1) вытекает из  m  K . Теорема доказана.
При учете набора информации об относительной важности критериев следует иметь
в виду обстоятельство, которое можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть критерий i важнее критерия j с коэффициентом относительной важности ij и, кроме того, критерий i важнее критерия k (kj) с коэффициентом ik . Данный набор информации, состоящий из двух сообщений не эквивалентен одному сообщению о том, что критерий i важнее
группы критериев {j, k} с коэффициентами ij и ik.
Из того, что критерий i важнее группы критериев {j, k} с коэффициентами относительной важности ij и ik следует, что критерий i важнее критериев j и k в отдельности с
теми же самыми коэффициентами, но не наоборот. Например, из (1, 1, 1) M (0, 2, 1), (1,
1, 1) M (0, 1, 2), вообще говоря, не следует (1, 1, 1) M (0, 2, 2).
Аналогично, из того, что каждый из критериев i и j в отдельности важнее критерия k,
следует бóльшая важность группы {i , j} по сравнению с критерием k, но не наоборот.
Следующие две теоремы получены В.Д Ногиным.
Теорема 4. Предположим, что имеется набор информации, состоящий из двух сообщений о том, что критерий i важнее критерия j с коэффициентом относительной важности
 ij и критерий i важнее критерия k с коэффициентом относительной важности ik . Тогда
справедливы включения (6.1), где g – (m+1)-мерная векторная функция вида
g s  f s для всех s  I , s  j, s  k
g j  ij f i  (1  ij ) f j ,
g k  ik f i  (1  ik ) f k
(6.5)
g m 1  ij ik f i  (1  ij )ik f j  (1  ik )ij f k .
Доказательство. Наличие в условиях теоремы информации об относительной важности критериев равносильно указанию принадлежности конусу K M двух векторов y , y  с
компонентами
y i  1, y j  ij /( ij  1), y s  0 для всех s  i, j ;
y i  1, y k  ik /( ik  1), y s  0 для всех s  i, k .
10
Обозначим через K выпуклый конус, порожденный векторами e1 ,..., e m , y , y  (без
нуля). Этот конус представляет собой множество всех векторов, допускающих представление в виде линейной комбинации
 1 e 1  ...   i 1 e i 1   i y    iy    i 1 e i 1  ...   m e m
векторов e1 ,..., e i 1 , y , y , e i 1 ,..., e m с неотрицательными коэффициентами  1 ,  2 ,...,  m , одновременно не обращающимися в нуль. Нетрудно проверить, что этот конус – острый.
Докажем совпадение данного конуса с множеством ненулевых решений системы линейных неравенств
ys  0
для всех s  I \ { j, k }
ij y i  (1  ij ) y j  0
ik y i  (1  ik ) y k  0
(6.6)
ij ik y i  (1  ij )ik y j  (1  ik )ij y k  0
Укажем общее решение этой системы из ( m  1) неравенств. С этой целью рассмотрим соответствующую ей систему линейных равенств (уравнений), которую выписывать не будем,
но обозначим ее через (6.6′).
В системе (6.6′) ( m  1) уравнений. Для отыскания общего решения (6.6) достаточно просмотреть (одномерные) решения всех возможных подсистем системы (6.6′), получающиеся
из (6.6′) удалением каких-то двух уравнений.
Начнем удалять из (6.6′) по два уравнения. Сначала рассмотрим случай, когда в каждую
такую пару уравнений входит последнее. При удалении двух последних уравнений получим
систему с ненулевым решением e k . Если вместе с последним удалить ( m  1) -е, то придем к
системе с решением e j . Исключение из (6.6′) последнего уравнения вместе с одним из
уравнений вида y s  0 при s  i приводит к системе, обладающей решением e s . Если же к
последнему удаляемому уравнению добавить y i  0 , то полученная таким образом система
уравнений не будет иметь ни одного ненулевого решения, которое было бы одновременно
решением системы неравенств (6.6).
Перейдем к разбору случая, когда из системы (6.6′) удаляется пара уравнений, одним из
которых является предпоследнее уравнение. Если вместе с предпоследним удалить предшествующее ему уравнение, то получим систему, среди ненулевых решений которой нет ни
одного, удовлетворяющего (6.6). Исключая предпоследнее уравнение вместе с одним из
уравнений вида y s  0 при s  i , получим систему с решением e s . Если же вместе с предпоследним удалить уравнение y i  0 , то придем к системе с решением y  .
Аналогично разбирается случай удаления ( m  1) -го уравнения вместе с одним из уравнений y s  0 . При этом будет найдено лишь одно ненулевое неотрицательное решение y 
при s  i , удовлетворяющее (6.6).
Исключение из (6.6′) пары уравнений вида y s  0 не приведет к новым решениям.
11
В итоге получена совокупность векторов e1 ,..., e i 1 , y , y , e i 1 ,..., e m , порождающих конус
решений системы неравенств (6.6) и совпадающая с системой векторов, порождающих конус K . Тем самым, совпадение конуса K с множеством решений системы неравенств (6.6)
доказано.
Из m  K  K M следует выполнение включений NDOM  X  NDOM K X  Pf ( X ) , где
NDOM K X определяется так же, как в доказательстве теоремы 3. Нетрудно понять, что
NDOM K X  Pg ( X ) . Поэтому из последних включений вместе с левым включением (4.1)
немедленно получаем (6.1).
При помощи сходных рассуждений может быть доказана следующая
Теорема 5. Пусть имеется набор информации, состоящий из двух сообщений о том, что
критерий i важнее критерия k с коэффициентом относительной важности ik и критерий
j важнее критерия k с коэффициентом относительной важности  jk . Тогда выполнены
включения (6.1) для вектор-функции g вида
g s  f s для всех s  I , s  k
g k  ik (1   jk ) f i   jk (1  ik ) f j  (1  ik )(1   jk ) f k
(6.7)
Располагая набором информации об относительной важности, при помощи простых
формул (6.2), (6.5) или (6.7) можно легко сформировать новый векторный критерий g и,
построив множество Парето Pg ( X ) , тем самым, получить определенную оценку сверху для
искомого множества оптимальных решений. В случае конечного множества возможных
решений X для построения множества Парето обычно применяются различного рода переборные алгоритмы.
Замечание. И.В. Толстых получила обобщения теорем 4 и 5 [9,10]. Например, когда
имеется набор из l сообщений о том, что критерий i1 важнее критерия k с коэффициентом
относительной важности 1k , критерий i 2 важнее критерия k с коэффициентом относительной важности 2 k , и т.д. критерий il важнее критерия k с коэффициентом относительной важности lk , включения (6.1) выполняются для вектор-функции g вида
g s  f s для всех s  I , s  k ,
sk
 fi  fk .
s 1 1   sk
l
gk  
s
Список литературы
1. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач.
М.: Наука, 1982.
2. Noghin V.D. On the theory of relative importance of criteria. – In Abstracts of International
Congress on Computer and Applied Mathematics. St. Petersburg. SPbSU. 1993. P. 34-34.
3. Noghin V.D. Relative importance of criteria: a quantitative approach //Journal of Multi-Criteria
Decision Analysis. 1997. V. 6, P. 355-363.
12
4. Ногин В.Д и др. Основы теории оптимизации. М.: Высшая школа, 1986.
5. Noghin V.D. Estimation of the set of nondominated solutions //Numerical Functional Analysis
and Optimization. 1991. V. 5&6. P. 507-515.
6. Noghin V.D. Upper estimates for a fuzzy set of nondominated solutions //Fuzzy Sets and Systems, 1993. V. 67. P. 303-315.
7. Ногин В.Д. Определение и общие свойства относительной важности критериев. – В трудах XXIX научной конф. ПМ-ПУ «Процессы управления и устойчивость». СПб. СПбГУ,
1998. C. 373-381.
8. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. М.: Мир, 1991. Т.
1. С. 360.
9. Толстых И.В. Учет набора дополнительной информации об относительной важности
критериев в многокритериальных задачах. – В тезисах докл. междунар. научно-практ.
конф. «Системный анализ в проектировании и управлении». СПб. СПбГТУ, 1998. С. 41.
10. Толстых И.В. Учет набора дополнительной информации об относительной важности
критериев в задаче с нечетким конусным отношением предпочтения. – В трудах междунар. научной конф. по мягким вычислениям (SCM-99). СПб. СПбЭТУ, 1999. С. 134-136.
Ногин Владимир Дмитриевич, д.ф.-м.н., акад. МАН ВШ, профессор кафедры высшей математики СПбГТУ, д.т.: (812) 301-67-60, дом. адрес: 197341, СПб, ал. Котельникова 3-47.
Толстых Ирина Вениаминовна, ст. преп. той же кафедры, аспирантка СПбГУ.
Адрес места работы:
195251, СПб, ул. Политехническая 29, ФМФ, кафедра высшей математики.
Ногин В.Д.
Толстых И.В.