принятие решений на основе количественной

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ
ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
В.Д. Ногин
Санкт-Петербургский государственный технический университет
1. Выбор решений. Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с ситуациями, в которых ему приходится осуществлять выбор. Например, зайдя в магазин, мы выбираем тот или иной товар. Чтобы добраться до нужного места в городе или стране мы выбираем маршрут и соответствующий вид транспорта. Выпускник школы выбирает вуз, в котором он собирается учиться или же место работы, если он намерен работать. Как правило,
каждый мужчина и каждая женщина в определенные моменты своей жизни выбирают представителя противоположного пола для образования семьи.
Руководители различных уровней и рангов постоянно вынуждены заниматься формированием персонала, возглавляемых ими подразделений, выбирать ту или иную стратегическую линию поведения, принимать конкретные хозяйственные и экономические решения.
Специалисты в самых разных областях науки и техники, занимающиеся разработкой
всевозможных устройств и приспособлений, проектированием тех или иных сооружений,
конструированием новых моделей и типов автомобилей, самолетов и т.п. так же всякий раз
стремятся выбрать наилучшее инженерное, конструкторское или проектное решение.
Работники банков выбирают объекты для инвестирования, экономисты предприятий
и фирм планируют оптимальную экономическую программу и т.д. и т.п.
Приведенный список практических задач выбора можно было бы продолжать и
дальше. Ограничимся сказанным и выявим общие элементы, присущие всякой задаче выбора.
Прежде всего, должен быть задан набор решений, из которого следует осуществлять
выбор. Обозначим его X и будем называть множеством возможных решений. Природа
самих решений при этом не играет никакой роли; это могут быть проектные решения, варианты поведения, политические или экономические стратегии и т.д.
Собственно выбор (или принятие) решений состоит в указании среди всех возможных такого решения, которое объявляется выбранным (наилучшим, или оптимальным), хотя
в некоторых случаях происходит выбор не одного, а целого набора решений, являющегося
определенным подмножеством множества возможных решений X .
Обозначим множество оптимальных (выбранных) решений Opt X . Оно и представляет собой решение задачи выбора. Решить задачу выбора – означает найти множество
Opt X , являющееся определенным подмножеством множества возможных решений, т.е.
Opt X  X (см. рис.1). В частности, Opt X может быть и одноэлементным множеством.
X
OptX
Рис. 1.

Работа поддержана РФФИ (грант 98-01-00622)
2
Процесс выбора невозможен без наличия того, кто осуществляет этот выбор, преследуя свои собственные цели. Человека (или целый коллектив, подчиненный достижению
определенной цели), который производит выбор и несет полную ответственность по его последствия, называют лицом, принимающим решение (сокращенно: ЛПР).
2. Векторный критерий и отношение предпочтения. Обычно считается, что оптимальным является такое возможное решение, которое наиболее полно удовлетворяет желаниям, интересам или целям ЛПР. Стремление ЛПР достичь определенной цели нередко удается в математических терминах выразить в виде максимизации (или минимизации) некоторой числовой функции, заданной на множестве X . Однако в более сложных ситуациях
приходится иметь дело не с одной, а сразу с несколькими такими функциями. Так будет,
например, когда какое-то явление, объект или процесс рассматривается с различных точек
зрения и для формализации каждой точки зрения используется соответствующая функция.
Если явление рассматривается в динамике, поэтапно и для оценки каждого этапа приходится вводить отдельную функцию,  в этом случае также приходится учитывать несколько
функциональных показателей.
Нижеследующее рассмотрение посвящено ситуации, когда имеется несколько числовых функций f 1 , f 2 ,..., f m , m  2 , определенных на множестве X . В зависимости от содержания задачи выбора эти функции называют критериями оптимальности, критериями эффективности, целевыми функциями, показателями или критериями качества.
Проиллюстрируем введенные термины, рассмотрев задачу выбора наилучшего проектного решения. В этой задаче множество X состоит из нескольких конкурсных проектов
(например, строительства нового предприятия), а критериями оптимальности могут служить
стоимость реализации проекта f 1 и величина прибыли f 2 , которую обеспечит данное проектное решение (т.е. построенное предприятие). Если ограничить рассмотрение данной задачи лишь одним критерием оптимальности, практическая значимость решения такой задачи окажется незначительной. В самом деле, при использовании только первого критерия
будет выбран самый дешевый проект, но его реализация может привести к недопустимо малой прибыли. С другой стороны, на строительство самого прибыльного проекта, выбранного на основе второго критерия оптимальности, может просто не хватить имеющихся
средств. Поэтому в данной задаче необходимо учитывать оба указанных критерия одновременно. Если же дополнительно стараться минимизировать нежелательные экологические
последствия строительства и функционирования предприятия, то к двум указанным следует
добавить еще один – третий критерий и т.д. Что касается ЛПР, осуществляющего выбор
проекта, то в данной задаче таковым является глава администрации района, на территории
которого будет построено предприятие, при условии, что это предприятие является государственным. Если же предприятие – частное, то в качестве ЛПР выступает глава соответствующей фирмы.
Указанные выше числовые функции f 1 , f 2 ,..., f m образуют векторный критерий
f  ( f1 , f 2 ,..., f m ) ,
(1)
который принимает значения в m -мерном арифметическом пространстве  m . Это пространство называют критериальным пространством или пространством оценок, а всякое
значение y  f ( x )  ( f1 ( x ), f 2 ( x ),..., f m ( x ))   m векторного критерия f при определенном
x  X именуют векторной оценкой возможного решения x . Все векторные оценки образуют в пространстве  m множество возможных оценок
3
Y  { y   m | y  f ( x ) при некотором x  X } .
Задачу выбора, содержащую множество возможных решений X и векторный критерий f , обычно называют многокритериальной задачей. Изучению свойств таких задач посвящена многочисленная литература (см., например, [1]).
Предположим, что данные компоненты задачи выбора сформированы, четко описаны и зафиксированы. Опыт показывает, что в терминах критерия f чаще всего не удается
выразить всю гамму «пристрастий», «вкусов» и предпочтений данного ЛПР. С помощью
векторного критерия лишь намечаются определенные цели, которые нередко оказываются
весьма противоречивыми. Эти цели одновременно, как правило, достигнуты быть не могут,
и поэтому требуется определенная дополнительная информация для осуществления компромисса. Иначе говоря, если ограничиться лишь указанными выше двумя компонентами –
множеством возможных решений и векторным критерием, то задача выбора оказывается
«недоопределенной». Эта «недоопределенность» сказывается затем в слабой логической
обоснованности выбора оптимального решения на основе векторного критерия. Многочисленные процедуры выбора (процедуры построения множества Opt X ), предлагаемые в литературе по принятию решений, основанные лишь на знании векторного критерия, как правило, содержат элементы эвристики, и потому не имеют строгого логического обоснования.
Для того чтобы осуществить обоснованный выбор, следует помимо векторного критерия располагать какими-то дополнительными сведениями о предпочтениях ЛПР. С этой
целью необходимо включить в многокритериальную задачу еще один элемент, который
позволил бы выразить и описать эти предпочтения.
Рассмотрим два возможных решения x  и x  . Предположим, что после предъявления ЛПР этой пары решений, оно выбирает (отдает предпочтение) первому из них. В этом
случае пишут
x   x  .
Знак  служит для обозначений предпочтений данного ЛПР и называется отношением
строгого предпочтения, или короче – отношением предпочтения.
Следует отметить, что не всякие два возможных решения x  и x  связаны соотношением x   x  , либо соотношением x   x  . Иначе говоря, не из любой пары решений ЛПР
может сделать окончательный выбор. Вполне могут существовать такие пары, что ЛПР не в
состоянии отдать предпочтение какому-то одному решению этой пары, даже если это  пара
различных решений.
Описанная ситуация вполне соответствует реальному положению вещей. Более того,
если бы от ЛПР требовалась способность в произвольной паре возможных решений уметь
определять решение, более предпочтительное по сравнению с другим, то в таком случае
теория, построенная на указанном «жестком» требовании к ЛПР не представляла бы практического интереса. Подобные «всемогущие» ЛПР в жизни встречаются крайне редко!
Предположим, что ЛПР в процессе выбора ведет себя «достаточно разумно» и обсудим требования, которым в таком случае должно удовлетворять его отношение предпочтения.
Прежде всего, следует напомнить, что отношение предпочтения  по своей сути является отношением строгого предпочтения в том смысле, что выполнение соотношения x  x невозможно ни для какого возможного решения x , поскольку ни одно решение
не может быть лучше самого себя.
Рассмотрим ситуацию, когда первое решение предпочтительнее второго, а оно, в
свою очередь, предпочтительнее некоторого третьего решения. В таком положении здравомыслящий человек при сравнении первого и третьего решения всегда выберет первое. Здесь
4
происходит то же самое, что и при сравнении чисел с помощью строгого неравенства >.
Например, если 5  3 и 3  1 , то непременно выполнено 5  1 . В терминах возможных решений это может быть сформулировано следующим образом: для любой тройки возможных
решений x , x , x  из выполнения соотношений x   x  и x   x  обязательно следует справедливость соотношения x   x  . Это свойство отношения предпочтения называют свойством транзитивности. Далее будем предполагать, что отношение предпочтения  обладает свойством транзитивности.
3. Множество недоминируемых решений. Постановка всякой задачи многокритериального выбора включает
 множество возможных решений X
 векторный критерий f вида (1)
 отношение предпочтения  .
Само ЛПР в постановку задачи многокритериального выбора не включено. В этом
нет необходимости. Подразумевается, что все его устремления, вкусы, пристрастия и предпочтения, оказывающие влияние на процесс выбора, «материализованы» в терминах векторного критерия и отношения предпочтения.
Как указано выше, решение задачи многокритериального выбора заключается в
отыскании множества оптимальных решений Opt X . Выясним, каким образом сведения об
отношении предпочтения могут быть использованы в процессе решения задачи многокритериального выбора.
Рассмотрим два произвольных возможных решения x  и x  . Для них имеет место
один и только один из следующих трех случаев:
 справедливо соотношение x   x  , а соотношение x   x  не выполняется;
 справедливо соотношение x   x  , а соотношение x   x  не выполняется;
 не выполняется ни соотношение x   x  , ни соотношение x   x  .
Следует заметить, что четвертый случай, когда оба участвующих здесь соотношения



x  x и x   x  выполняются, невозможен, поскольку из этих соотношений благодаря
транзитивности отношения  сразу вытекает противоречие x   x  .
При выполнении соотношения x   x  (т.е. в первом случае) говорят, что решение x 
доминирует решение x  , или что x  доминируется решением x  .
Вернемся к задаче выбора. Если из двух возможных решений одно доминируется
другим, то, очевидно, доминируемое решение не может оказаться выбранным, оптимальным. Таким образом, всякое доминируемое решение можно исключить из списка решений,
претендующих на роль оптимальных.
Исключение всех доминируемых решений приводит к множеству, которое носит
специальное название и играет важную роль в принятии решений.
Множество недоминируемых решений определяется равенством
Ndom X  {x *  X | не существует x  X , такого, что x  x * } .
Поскольку удаление доминируемых решений из множества возможных решений не
приводит к потере ни одного оптимального решения, то имеет место включение
Opt X  Ndom X .
(2)
Включение (2) показывает, что выбор оптимальных решений следует производить
только среди недоминируемых решений.
5
4. Множество Парето1. Вернемся к задаче многокритериального выбора. В ней кроме
множества возможных решений X и отношения предпочтения  присутствует также векторный критерий f  ( f 1 , f 2 ,..., f m ) . Компонента f i векторного критерия характеризует
определенную цель ЛПР, а стремление достичь этой цели в математических терминах выражается в максимизации или минимизации этой компоненты на множестве X . Для определенности всюду далее будем считать, что ЛПР заинтересовано в получении по возможности бóльших значений каждой компоненты f i векторного критерия2.
Выбрав произвольное возможное решение x и вычислив значение векторного критерия f ( x )  ( f 1 ( x), f 2 ( x ),..., f m ( x)) на этом решении, получим набор m чисел, образующий
векторную оценку f ( x ) данного решения x . Таким образом, каждое возможное решение
имеет свою собственную векторную оценку.
Теперь рассмотрим два произвольных возможных решения x  и x  вместе с соответствующими им оценками f (x ) и f ( x ) . Допустим, что эти оценки связаны соотношением
f ( x )  f ( x ) ,
(3)
которое означает справедливость покомпонентных неравенств f i (x )  f i (x ) для всех номеров i  1,2,..., m , причем f ( x )  f ( x ) , т.е. хотя бы для одного номера i верно строгое
неравенство f i (x )  f i (x ) .
Выполнение неравенства (3) означает, что по всем компонентам первая векторная
оценка «не хуже» (точнее говоря, не меньше) второй векторной оценки, причем, по крайней
мере, какая-та одна компонента первой оценки «лучше» (строго больше) соответствующей
компоненты второй оценки. Поскольку, как принято выше, ЛПР заинтересовано в достижении максимального возможного значения по каждому критерию, то в имеющейся ситуации
ЛПР из двух представленных ему на выбор решений x  и x  явно выберет первое.
Иначе говоря, стремление ЛПР максимизировать каждую компоненту векторного
критерия можно выразить в терминах следующего требования: отношение предпочтения 
и векторный критерий f подчиняются аксиоме Парето, т.е. всякий раз из выполнения неравенства (3) следует справедливость соотношения x   x  :
f ( x )  f ( x ),
x , x   X  x   x  .
Если для некоторой пары возможных решений выполняется неравенство (3), то благодаря аксиоме Парето первое решение будет предпочтительнее второго. Значит, второе
решение ни при каких обстоятельствах не окажется оптимальным и его можно исключить
из последующего процесса выбора. Исключение всех подобного рода решений приводит к
множеству Парето.
Множество парето-оптимальных решений обозначается Pf ( X ) и определяется равенством
Pf ( X ) = {x *  X | не существует x  X , такого, что f ( x )  f ( x * )} .
1
2
Вильфредо Парето (1848-1923) – итальянский социолог и экономист.
Минимизация компоненты равносильна максимизации этой компоненты, взятой с обратным знаком.
6
Установим теперь взаимосвязь между недоминируемыми и парето-оптимальными
решениями. Если решение x  не является парето-оптимальным, то для некоторого возможного решения x  выполнено неравенство (3). Согласно аксиоме Парето отсюда следует, что
x   x  , а значит, x  – доминируемое решение. Таким образом, всякое решение, не являющееся парето-оптимальным, – доминируемое. Отсюда следует, любое недоминируемое решение должно быть парето-оптимальным. На теоретико-множественном языке этот факт
можно выразить в виде включения Ndom X  Pf ( X ) . С учетом (2) отсюда получаем следующую связь между введенными выше множествами:
Opt X  Ndom X  Pf ( X )  X .
(4)
В результате формализации конкретных практических задач выбора становятся известными множество возможных решений X и векторный критерий f . Знание векторного
критерия и множества возможных решений позволяет найти множество Парето (решений
и/или оценок). К настоящему времени свойства множества Парето изучены достаточно подробно (см. [1]), разработаны методы и алгоритмы его построения и все специалисты в области принятия решений единодушно полагают, что наилучшие решения многокритериальной задачи следует искать именно среди множества Парето. Поэтому построение множества
Парето нередко считают первым необходимым шагом в решении любой многокритериальной задачи.
Из рассмотрения простых примеров следует, что множество парето-оптимальных
решений в одном крайнем случае может состоять из одного-единственного элемента, а в
другом – каждое возможное решение будет парето-оптимальным. Если парето-оптимальное
решение единственно, то в такой задаче оптимальным может быть только это паретооптимальное решение. В общем случае, чем ýже множество Парето, тем более простым
представляется последующее нахождение множества Opt X . Однако, практика показывает,
что в реальных задачах множество Парето оказывается достаточно широким и его построение полностью не решает задачу принятия решений. Необходимы методы, которые позволили бы сузить область дальнейшего поиска оптимальных решений. Именно такого рода
метод разработан в рамках теории относительной важности критериев.
5. Начальные понятия теории относительной важности критериев. На примере задачи выбора с тремя критериями ( m  3 ) рассмотрим следующие две оценки y   ( 4 1 0) и
y   ( 2 2 0) . Оценка y  по первому критерию «лучше» оценки y  (так как 4 > 2), а по
второму критерию – «хуже» (1 < 2), тогда как по третьему критерию данные оценки равнозначны. Тем самым, при переходе от оценки y  к оценке y  ЛПР добавляет 2 единицы по
первому критерию, но при этом теряет 1 единицу по второму критерию.
Предположим, что при сравнении этих двух оценок ЛПР выбрало первую  y  .
Спрашивается, каким образом можно объяснить сделанный ЛПР выбор? Почему ЛПР
предпочло добавить две единицы по первому критерию, несмотря на потерю одной единицы по второму критерию?
Наиболее естественный ответ на поставленные вопросы состоит в следующем. Поскольку, ЛПР предпочло «прибавку» по первому критерию за счет «потери» по второму,
это означает, что для данного ЛПР первый критерий является более важным, чем второй.
Бόльшая степень важности для ЛПР одного критерия по сравнению с другим как раз и выражается в его готовности пожертвовать чем-то второстепенным (менее важным) во имя
главного (более важного).
При этом для количественной оценки степени важности первого критерия по сравнению со вторым можно использовать отношение
7
2 1
1
1

 ,
( 4  2)  (2  1) 2  1 3
выражающее долю «потери» по отношению к сумме «прибавки» и «потери». Чем больше
эта доля, тем большую степень важности будет у одного критерия по сравнению с другим.
Приведенные выше рассуждения для трехмерных оценок ведут к следующим общим
определениям (см. [2]), в которых для множества номеров критериев принято обозначение
I  {1,2,..., m} .
Определение 1. Говорят, что i-й критерий f i является более важным, чем j-й критерий f j ( i  j ) c положительными числовыми параметрами wi и w j , если для всех
x , x   X , таких, что
f i ( x )  f i ( x ),
f i ( x )  f i ( x )  wi ,
f j ( x )  f j ( x ),
f j ( x )  f j ( x )  w j ,
f s ( x )  f s ( x ) для всех s  I , кроме s  i и s  j ,
выполняется соотношение x  x .
Заметим, что в данном определении присутствует отношение предпочтения  , связанное с ЛПР. У каждого ЛПР свое собственное отношение предпочтения, а значит, если
для одного ЛПР i-й критерий важнее j-го, то для другого ЛПР этого может и не быть. Иначе
говоря, введенное понятие относительной важности критериев носит «субъективный» характер, что хорошо согласуется с интуитивными представлениями об этом понятии.
Определение 2. Пусть i-й критерий важнее j-го с положительными параметрами
wi , w j ( i  j ). Число
k ij 
wj
wi  w j
называется коэффициентом относительной важности критерия i по сравнению с критерием j.
Очевидно, 0  k ij  1 , причем чем ближе этот коэффициент к 1, тем бόльшая степень
важности y i-го критерия по сравнению с j-м; и наоборот, чем ближе k ij к 0, тем меньше
указанная степень важности. В «среднем» случае k ij  0.5 ЛПР для получения «прибавки»
по i-у критерию в размере wi единиц готово пожертвовать тем же количеством wi (  w j )
по j-у критерию. Подобным образом можно дать интерпретацию любого числового значения коэффициента k ij (0  k ij  1) .
Теперь, после того, как высказывание i-й критерий важнее j-го критерия с коэффициентом относительной важности k ij получило точный смысл, перейдем к обсуждению
вопроса учета количественной информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений.
6. Использование информации об относительной важности критериев в процессе
принятия решений. Как правило, при решении задач многокритериального выбора имеющиеся критерии для ЛПР неравноценны, т.е. одни из них более важны, чем другие. Будем
считать, что ЛПР ознакомлено с приведенными выше определениями и способно в терминах коэффициентов относительной важности выразить неравноценность имеющихся критериев.
8
Пусть, например, ЛПР полагает, что для него i-й критерий важнее j-го с коэффициентом относительной важности k ij (0  k ij  1) . Спрашивается, каким образом учесть эту дополнительную информацию о критериях в процессе принятия решений?
Вспомним установленное ранее включение (4), из которого следует, что наилучшие
решения находятся среди парето-оптимальных. После того, как ЛПР дополнительно сообщило указанную информацию об относительной важности критериев, можно надеяться, что
с помощью этой информации будет построено более узкое множество, ограничивающее
Opt X , чем Pf ( X ) . Иными словами, дополнительная информация позволит удалить из
множества Парето Pf ( X ) какие-то заведомо «негодные» решения и, тем самым, сузить область дальнейшего поиска множества оптимальных решений.
Действительно, при достаточно общих предположениях относительно  имеет место следующий результат [2].
Теорема. Пусть i-й критерий важнее j-го с коэффициентом относительной важности k ij ( 0  k ij  1 ). Тогда для вектор-функции g  ( g1 , g 2 ,..., g m ) вида
g j  k ij  f i  (1  k ij )  f j ,
gs  fs
(5)
для всех s  I , кроме s  j ,
выполнено
Opt X  Pg ( X )  Pf ( X ) .
(6)
Соотношения (6) наглядно иллюстрирует рис. 2.
Pf ( X )
Pg ( X )
OptX
Рис. 2.
В соответствии с приведенной теоремой учет указанной количественной информации об относительной важности критериев производится следующим образом. Сначала менее важный критерий f j в наборе критериев f1 , f 2 ,..., f m заменяется новым  g j , вычисленным в соответствии с формулой (5). Тем самым, образуется новый векторный критерий
g . Затем с помощью известных методов и алгоритмов находится множество Парето Pg ( X )
относительно векторного критерия g . Если это множество оказывается достаточно узким
(в том смысле, что все решения, входящие в него, практически одинаково предпочтительны
для ЛПР), то в качестве наилучшего выбирается любое решение из Pg ( X ) . В противном
случае следует попытаться получить от ЛПР новую дополнительную информацию об отно-
9
сительной важности какой-то другой пары критериев и учесть ее, построив еще более узкое
множество, чем Pg ( X ) и т.д.
В результате выполнения указанных действий либо будет построено достаточно узкое множество Парето, внутри которого следует выбрать любое решение в качестве
наилучшего, либо после учета всей имеющейся информации об относительной важности
критериев очередное множество Парето окажется сравнительно широким и тогда для окончательного выбора наилучшего решения придется применить какой-нибудь подходящий
известный метод решения многокритериальных задач (см. [3]).
7. Пример. Проиллюстрируем сказанное простым примером. Для этого обратимся к
описанной в п. 2 задаче выбора наилучшего проектного решения.
Пусть имеется, скажем, три проекта, которые характеризуются следующими данными: стоимость строительства первого проекта составляет 15, второго – 13 и третьего – 10
млн. руб., а планируемая среднегодовая прибыль построенных предприятий равна 5, 3 и 2
млн. руб., соответственно.
Этой задаче отвечает следующая модель многокритериального выбора:
f  ( f 1 , f 2 ) , X  {x , x , x } , где f ( x )  ( 15 5), f ( x )  ( 13 3) , f ( x )  ( 10 2) . Заметим, что первые компоненты векторов оценок получили отрицательные значения, так
как критерий f 1 (стоимость проекта) подлежит минимизации.
Легко видеть, что в данном случае Pf ( X )  X . Предположим, что ЛПР стеснено в
средствах, и поэтому считает первый критерий важнее второго с коэффициентом относительной важности k12  0.5 . В соответствии с приведенной выше теоремой
g1  f1 ,
g 2  0.5 f 1  0.5 f 2 .
Тогда нетрудно вычислить g ( x )  ( 15  5) , g ( x )  ( 13  5) , g ( x )  ( 10  4) . Следовательно, Pg ( X )  {x } , так как g ( x ) > g ( x ) , g ( x ) > g (x ) , и в соответствии с (6) получаем
Opt X  {x } .
Отсюда следует, что оптимальным может быть лишь третье решение x  .
Таким образом, в данном примере на основе лишь одной информации об относительной важности критериев удалось однозначно определить оптимальное решение.
Литература
1. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М., Наука, 1982.
2. Noghin V.D. Relative importance of criteria: a quantitative approach// Journal of MultiCriteria Decision Analysis, 1997, 6, 355-363.
3. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М., 2000.
4. Ногин В.Д. Использование количественной информации об относительной важности
критериев в принятии решений.// «Научно-технические ведомости СПбГТУ», 2000, №
2, с. 89-93.
10
Ногин Владимир Дмитриевич
Доктор физико-математических наук
Профессор кафедры высшей математики СПбГТУ
Один из авторов монографии «Парето-оптимальные решения многокритериальных задач»,
вышедшей в издательстве «Наука» в 1982 г., учебного пособия «Основы теории оптимизации», выпущенного издательством «Высшая школа» в 1986г., автор четырех учебных пособий, изданных в СПбГТУ, имеет более 70 печатных работ, академик МАН ВШ, Соросовский профессор 1999г. и 2000г.