Задача № 27. Частица находится в одномерной прямоугольной

Задача № 27.
Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками, имеющей ширину a . В каких точках интервала 0  x  a плотность
вероятности обнаружения частицы одинакова для основного и второго возбуждённого
состояний?
Решение:
Потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 1:
Рисунок 1
, x  0

U ( x)  0, 0  x  a
, x  a

Составим уравнение Шредингера для области 0  x  a :
 2 2m
 2 E  0
x 2
(1)
или в виде:
 2
 k 2  0
x 2
где k 2 
2m
2
(2)
E . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
 ( x)  A sin(kx   )
(3)
Используя условие непрерывности на краях ямы (в точках x  0 и x  a ), получим:
sin   0    0
sin ka  0  ka   n, n  1, 2,3
(4)
С учётом выражений (4) волновая функция (3) примет вид:
 
nx 
a 
 ( x)  A sin 
(5)
Постоянную A в выражении (5) найдём, используя условие нормировки:

2
2
 
dx  1  A  sin 2  nx  dx  1  A 
a
a 
0
a
2
(6)
В этом случае волновые функции собственных состояний частицы в потенциальной яме
имеют вид:
2
 
sin  nx 
a
a 
n 
(7)
Физический смысл пси-функции заключается в том, что её квадрат модуля определяет
плотность вероятности местонахождения частицы. Поэтому плотность вероятности
обнаружения частицы, находящейся в n  ом собственном состоянии, равняется:
2
a
 
nx 
a 
 n   n  sin 2 
2
(8)
Для основного состояния ( n  1 ) имеем:
 
x
a 
2
a
1  sin 2 
(9)
Для второго возбуждённого состояния ( n  3 ) имеем:
 3 
x
 a 
2
a
3  sin 2 
(10)
Найдём точки интервала 0  x  a , в которых выполняется 1  3 . Для этого составим
уравнение:
2 2 
sin 
a
a

sin 2 
a
 2
 3
x   sin 2 
 a
 a

 3
x   sin 2 

 a

x

(11)

x

Учитывая тригонометрическое соотношение sin 2  
 2
1  cos 
 a
2
 2
cos 
 a

 6
x  1  cos 

 a
2

 6
x   cos 

 a

x


x

1  cos 2
, получим:
2
Воспользуемся тригонометрическим соотношением cos3  4cos3   3cos  и получим:
 2
cos 
 a

 2
x   4 cos3 

 a
 2
cos 2 
 a

 2
x   cos 

 a

 2
x   3cos 

 a

x

 
x   1  0
 
 2
Отсюда получим, что cos 
 a

 2
x   0 или cos 
 a


x   1 . Отсюда получим:

2

2
a a
x    p1 или
x  2 p2 , где p1 и p2 - целые числа. Поэтому x   p1 ,
a
2
a
4 2
a
3a
. Поэтому в точках
x  ap2 . Интервалу 0  x  a принадлежат решения x  и x 
4
4
a
3a
x1  , x2 
плотности вероятностей для основного и второго возбуждённого
4
4
состояний одинаковы. Графики функций (9) и (10) приведены на рисунке 2:
Рисунок 2
a
3a
, x2 
плотности вероятностей обнаружения частицы одинаковы
4
4
для основного и второго возбуждённого состояний.
Ответ: В точках x1 