МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Сыктывкарский государственный университет
имени Питирима Сорокина»
Программа
вступительного испытания для поступающих на обучение
по программам подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
Направление 44.06.01 «Образование и педагогические науки»
Направленность 13.00.02 «Теория и методика обучения и воспитания
(Математика, уровни общего и профессионального образования)»
Сыктывкар 2016
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая программа описывает цели, содержание и основную
литературу, которая рекомендуется кафедрой физико-математического и
информационного образования при подготовке к вступительному экзамену
в аспирантуру по направлению подготовки 44.06.01 - Образование и
педагогические науки, направленность 13.00.02 - Теория и методика
обучения и воспитания (математика, уровни общего и профессионального
образования).
Содержание программы охватывает вопросы, отражающие
важнейшие фундаментальные понятия и факты предметной области
математика, а также наиболее общие проблемы построения процесса
обучения математике на всех уровнях образования.
Цель вступительного экзамена состоит в выявлении у
поступающих базового уровня подготовки в предметной области
математика и в области методики обучения математике,
необходимого для обучения в аспирантуре по направленности 13.00.02 –
теория и методика обучения и воспитания (математика – уровни общего и
профессионального образования).
Процедура проведения экзамена и требования к ответу
Экзамен проводится по билетам, в каждый из которых включены
три вопроса.
Первые два вопроса относятся к предметной области. При ответе на
эти вопросы необходимо не только изложить основные факты, но и
доказать ряд важнейших утверждений, которые упоминаются при
изложении соответствующего вопроса.
Третий вопрос экзаменационного билета относится к общей
методике обучения математике. Ответ на него требует не только
изложения теоретических фактов, но и приведения примеров из
различных учебников и из практики обучения математике.
2
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
Аксиоматическая теория натуральных чисел. Сложение и умножение
натуральных чисел. Роль аксиомы индукции в арифметике. Простые числа.
Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики.
Аксиоматическая теория целых чисел. Построение модели. Алгоритм
Евклида и его приложения в арифметике: НОД, НОК, разложение в
конечную цепную дробь, неопределенные уравнения. Теоретико-числовые
функции: число и сумма делителей, функция Эйлера. Теорема Эйлера-Коши.
Сравнения. Арифметические приложения теории сравнений. Теорема о длине
периода десятичной дроби. Аксиоматическая теория действительных чисел.
Построение
модели.
Свойства
действительных
чисел.
Теорема
существования корня. Линейные алгебры конечного ранга над полем.
Алгебры с делением. Кватернионы.
АЛГЕБРА
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности, разбиение на классы,
фактор-множество. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп.
Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Кольцо. Примеры колец.
Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы
колец. Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел.
Упорядоченное поле. Поле комплексных чисел. Геометрическое
представление
комплексных
чисел
и
операции
над
ними.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Векторное пространство.
Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная
зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной
системы векторов. Системы линейных уравнений. Равносильные системы
линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений.
Решение системы линейных уравнений методом последовательного
исключения неизвестных. Базис и размерность конечномерного векторного
пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Изоморфизмы
векторных пространств. Полиномы над полем. Наибольший общий делитель
двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение
неприводимых множителей и его единственность. Алгебраическая
замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней
полинома с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем
3
действительных чисел полиномы. Строение простого алгебраического
расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в
знаменателе дроби.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Множества и их мощность. Числовые множества. Счетность множества
рациональных чисел и несчетность множества действительных чисел.
Верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема существования
верхней и нижней граней. Предел числовой последовательности и его
свойства. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной и
ограниченной последовательности. Число е. Функции и операции над ними.
Композиция функций. Обратная функция. Числовые функции и их свойства.
Функции комплексного переменного. Степенная функция с натуральным,
целым и рациональным показателем. Определение степени с действительным
показателем. Показательная функция и ее свойства. Показательная функция в
комплексной области. Тригонометрические функции и их свойства.
Тригонометрические функции в комплексной области. Логарифмическая и
обратные тригонометрические функции. Предел функции и его свойства.
Предел суммы, произведения и частного. Непрерывные функции и их
свойства.
Непрерывность
композиции
и
обратной
функции.
Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы о промежуточном и о
наибольшем и наименьшем значениях. Дифференцируемость функции и
производная. Геометрический и физический смысл производной.
Производные
основных
элементарных
функций.
Непрерывность
дифференцируемой функции. Дифференцируемость суммы, произведения и
частного. Дифференцирование композиции и обратной функции.
Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия КошиРимана. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы
Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Исследование функции на возрастание,
убывание и экстремум с помощью производной. Первообразная и
неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов. Свойства
неопределенного интеграла. Интегрирование подстановкой по частям.
Определенный интеграл и его свойства. Интегрируемость непрерывной
функции. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница. Понятие о квадрируемой фигуре на плоскости
и ее площади. Вычисление площади с помощью интеграла. Понятие о
спрямляемой кривой и ее длине. Вычисление длины кривой с помощью
определенного интеграла. Вычисление объема и площади поверхности тела
4
вращения с помощью определенного интеграла. Числовой ряд и его сумма.
Геометрическая прогрессия. Признаки сходимости числовых рядов.
Ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение
уравнений с разделяющимися переменными и линейных дифференциальных
уравнений. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами и их решение.
ГЕОМЕТРИЯ
Трехмерное евклидово пространство. Скалярное произведение векторов, его
свойства и применение к решению задач. Смешанное и векторное
произведения векторов. Их свойства. Объем параллелепипеда и тетраэдра.
Движения плоскости и их свойства. Примеры движений. Классификация
движений. Группа движений. Применение движений к решению задач.
Преобразования подобия и их свойства. Применение подобий к решению
задач. Группа подобий и ее подгруппы. Аффиные преобразования плоскости
и их свойства. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы.
Применение аффинных преобразований к решению задач. Изображение
плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные
задачи на изображение в параллельной проекции. Примеры построения
сечений многогранников. Проективная плоскость и ее свойства. Модели
проективной плоскости. Группа проективных преобразований. Теорема
Дезарга. Гармонические четверки точек и их связь с полными
четырехвершинниками. Применение к решению задач. Многоугольники.
Площадь многоугольника на евклидовой плоскости. Теоремы существования
и единственности. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова
пространства и ее непротиворечивость. Основные понятия евклидова
пространства по Вейлю. Понятия равенства отрезков и длины отрезков.
Примеры
доказательства
теорем.
Плоскость
Лобачевского.
Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского. Взаимное
расположение прямых на плоскости Лобачевского. Многогранники. Теорема
Эйлера о многогранниках. Топологически правильные и неправильные
многогранники.
5
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
ОБЩАЯ МЕТОДИКА
Предмет теории и методики обучения математике. Цели обучения и
воспитания в процессе преподавания математики в общеобразовательных
учреждениях. Анализ учебных планов и программ по математике для
общеобразовательных учреждений. Анализ учебников и учебных пособий по
математике для общеобразовательных учреждений. Методы и средства
обучения и воспитания в процессе преподавания математики.
Математические понятия и методика их изучения. Математические
предложения и доказательства в обучении математике. Математические
задачи в школьном обучении. Специфика урока математики. Проверка и
оценка знаний учащихся. Организация самостоятельной работы учащихся.
Организация обучения и воспитания в процессе преподавания математики на
базовом и профильном уровнях в различных видах общеобразовательных
учреждений. Углубленное изучение математики в общеобразовательных
учреждениях. Факультативные и элективные курсы по математике,
особенности предпрофильной подготовки и профильного обучения.
Внеклассная и внешкольная работа по математике.
СПЕЦИАЛЬНАЯ МЕТОДИКА
Методика изучения числовых систем. Методика изучения тождественных
преобразований математических выражений. Методика изучения уравнений.
Методика изучения неравенств. Функции в школьном курсе математики.
Методика изучения производной. Методика изучения интеграла. Логическое
строение школьного курса геометрии. Изучение пропедевтического курса
геометрии. Методика изучения геометрических построений. Методика
изучения геометрических преобразований. Начала систематического курса
стереометрии. Изучение параллельности прямых и плоскостей. Изучение
перпендикулярности прямых и плоскостей. Изучение геометрических
величин.
6
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1. Множества. Операции над множествами. Теоретико-множественные
формулы. Бинарные отношения и их свойства. Эквивалентность и
упорядоченность.
2. Отображения множеств, их теоретико-множественные свойства.
Обратные отображения. Критерии обратимости. Взаимно-однозначные
отображения. Композиция отображений.
3. Равномощные множества. Счетные множества и их свойства. Счетность
множества всех рациональных чисел.
4. Множества мощности континуума и их свойства. Мощность множества
всех действительных чисел.
5. Высказывания. Операции над высказываниями. Формулы алгебры
высказываний, равносильные формулы. Тавтологии.
6. Логическое следование. Правильные схемы умозаключений в алгебре
высказываний.
7. Предикаты. Операции над предикатами. Формулы логики предикатов,
равносильные формулы.
8. Аксиоматическое определение действительных чисел. Свойства
действительных чисел. Теорема Кантора о последовательности
вложенных стягивающихся отрезков.
9. Действительные функции одного действительного переменного. Предел
функции в точке. Непрерывность функции. Теоремы о непрерывных на
отрезке функциях.
10. Производная функции в точке. Производные элементарных функций.
Свойства производной. Дифференцируемость функции в точке. Связь
между дифференцируемостью и непрерывностью.
11. Теорема Ролля. Теоремы Лагранжа и Коши о средних.
12. Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.
Методы нахождения неопределенного интеграла.
13. Определенный интеграл (Римана) и его свойства. Формула НьютонаЛейбница.
w  cos z
w  sin z ,
14. Комплексные числа. Функции w  e z ,
в
комплексной плоскости.
15. Определение кольца и поля. Теорема о минимальном поле.
16. Группа. Равносильность двух определений группы. Группы
преобразований. Группы симметрии квадрата. Изоморфизм групп.
Теорема об изоморфизме группы преобразований.
17. Вектора, основные понятия. Линейные операции над векторами.
7
Коллинеарность, компланарность.
18. Вектора. Нелинейные операции над векторами: скалярное, векторное и
смешанное произведения векторов.
19. Уравнения прямой в пространстве и на плоскости.
20. Абсолютная геометрия. Теорема о внешнем угле в абсолютной
геометрии. Аксиоматика геометрии Лобачевского. Теорема о
бесконечном множестве прямых, проходящих через данную точку и не
пересекающих данную прямую. Модель геометрии Лобачевского.
Непротиворечивость геометрии Лобачевского.
21. Понятие. Определение понятий. Виды определений. Методика работы с
определениями понятий.
22. Теорема, ее структура. Виды теорем. Методика работы с теоремами.
23. Задачи как средство обучения математике. Методика работы с
математической задачей как целью изучения.
24. Правила и алгоритмы в обучении математике.
25. Урок математики, его структура. Виды уроков.
26. Современные
технологии
в
обучении
математике:
общие
образовательные и компьютерные технологии.
27. Контроль и оценка знаний учащихся по математике.
28. Средства обучения математике.
29. Предпрофильное и профильное обучение математике. Роль курсов по
выбору в их реализации.
30. Дидактические материалы. Методика использования вспомогательных
технических средств обучения.
8
Литература, рекомендуемая при подготовке к экзамену
1. Современные основы школьного курса математики. Пособие для
студентов пед. институтов. / Виленкин Н.Я. и др. – М.: Просвещение,
1980.
2. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. – М.:
Просвещение, 1987.
3. Столл Р. Множество, логика, аксиоматические теории. – М.:
Просвещение, 1968.
4. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика / Курс лекций /
Задачник-практикум и решения. – СПб.: Лань, 2008.
5. Игошин В.И. Математическая логика как педагогика математики. – Саратов:
Наука, 2009.
6. Сангалова М.Е. Курс лекций по математической логике: Учебное пособие. –
Арзамас: Изд-во АГПИ, 2006.
7. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – СПб: Лань, 2007.
8. Нечаев В.И. Числовые системы. – М.: Просвещение, 1977.
9. Ефимов М.В. Высшая геометрия. 7-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
10. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. В 2-х ч. Ч.1. Учебное
пособие. – СПб.: Специальная Литература, 1997.
11. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. В 2-х ч. Ч.2. Учебное
пособие. – СПб.: Специальная Литература, 1997.
12. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 1 и 2. – М.:
Просвещение, 1974, 1978.
13. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. В 2-х ч. –
М.: Юрайт, 2013.
14. Райков Б.А. Одномерный математического анализа. – М.: Высшая школа,
1982.
15. Попов В.А. Приложения определенного интеграла : учебное пособие. – 2
изд., испр. и перераб. – Сыктывкар: Коми пединститут, 2013. – 43 с.
16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. – М.: Физматлит, 2004.
17. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука,
1974.
18. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления
(в 3-х частях). – М.: Физматлит, 2001.
19. Боярчук А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т.4: Функции
комплексного переменного: теория и практика. – М.: Едиториал УРСС, 2001.
20. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических
9
функций. Учебное пособие для студентов физ.-матем. фак. пед. ин-тов. – М.:
Просвещение, 1977.
21. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. – М.:
Вербум-М, 2003.
22. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика.
Сост. Р.С. Черкасов и А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985.
23. Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум:
учеб.
пособие
для
студентов
математических
факультетов
педагогических университетов / под науч. ред. В.В. Орлова. – М.: Дрофа,
2007. – 320 с.
24. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб.
пособие для студ. матем. специальностей пед. вузов и ун-тов. – М.:
Просвещение, 2002.
25. Лабораторные и практические работы по методике преподавания
математике / Под ред. Е.И. Лященко. – М.: Просвещение, 2004.
26. Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной
школе. – М., 2000.
27. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. – М.: Народное
образование, 1998.
28. Программы средней школы по математике.
29. Учебники по математике для средней школы.
30. Статьи в журналах "Математика в школе", "Квант", "Педагогика",
"Вопросы психологии", "Образование".
Составители:
1) Одинец В. П. – профессор, доктор физико-математических наук,
профессор
кафедры физико-математического и информационного
образования Сыктывкарского государственного университета, Лауреат
Государственной премии Республики Польша;
2) Попов В.А. – доцент, кандидат физико-математических наук, профессор
кафедры физико-математического и информационного образования
Сыктывкарского государственного университета, Заслуженный работник
Республики Коми, Заслуженный работник высшей школы Российской
Федерации.
10