МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УТВЕРЖДАЮ Начальник Управления

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УТВЕРЖДАЮ
Начальник Управления
образовательных программ
и стандартов высшего и среднего
профессионального образования
__________________ Г.К. Шестаков
“____” _______________ 2002 г.
Примерная программа дисциплины
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ФИНАНСОВОГО АНАЛИЗА
федерального компонента цикла ДС.Ф.05 ГОС ВПО
второго поколения по специальности 06.18.00
Математические методы в экономике
Рекомендовано:
_____________________________________________________________
(наименование УМО)
Председатель УМО _______________________ (Ф.И.О.)
(подпись)
Москва
2002
Примерная программа дисциплины “Математические методы
финансового анализа” федерального компонента цикла ДС.Ф.05
ГОС
ВПО составлена в соответствии с государственным образовательным
стандартом
высшего
профессионального
поколения по специальности 06.18.00
образования
второго
Математические методы в
экономике.
Составитель:
Попова Наталья Владимировна
кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры высшей математики Российской
экономической академии имени Г.В. Плеханова
2
Введение
Необходимость
создания
данного
курса
вызвана
следующими
обстоятельствами. Быстроразвивающиеся финансовый рынок, банковская
система, появление новых финансовых инструментов требуют специального
их изучения и знакомства с методикой финансовых расчетов в области
инвестиционного анализа. В связи с этим возрастают современные
требования к подготовке специалистов по математическим методам в
экономике.
Новый учебный курс посвящен применению математических методов к
изучению специальных разделов финансового анализа – финансовых и
производственных
инвестиций
в
условиях
определенности,
когда
предполагается гарантированным получение доходов в точно указанные
сроки и в полном объеме.
В первой части курса излагаются математические основы финансового
анализа. Большое внимание уделяется выводу основных формул, четкому
определению основополагающих понятий.
Во второй части излагаются методы оценки инвестиционных проектов.
Изучаются Экономический смысл, свойства показателей эффективности и их
взаимосвязь.
Третья часть посвящена финансовым инвестициям с фиксированными
доходами. Подробно изучаются факторы, влияющие на оценку инвестиции в
облигацию, такие как временная структура процентных ставок, внутренняя
доходность, купонная ставка, дюрация и показатель выпуклости облигации,
иммунизирующее
свойство
дюрации.
В
этой
же
части
изучаются
характеристики портфеля облигаций, не имеющих кредитного риска.
Четвертая часть посвящена изучению стратегий управления портфелем
облигаций. Особое внимание уделяется стратегии иммунизации.
3
В соответствии с государственным общеобразовательным стандартом
высшего профессионального образования по направлению «Математические
методы в экономике» (061800) дисциплина «Математические методы
финансового анализа» рассчитана на студентов четвертого курса экономикоматематического факультета. Объем дисциплины 68 часов (34 часа лекции,
34 часа семинары). При построении курса учтено, что студенты, изучив курс
высшей математики, только приступают к изучению финансовых расчетов. С
учетом этого обстоятельства сформулированы цели и задачи курса.
Значительная часть курса излагается на основе использования таких
разделов высшей математики, как «Математический анализ», «Исследование
операций». При разработке курса используется современная отечественная и
иностранная литература.
Для закрепления теоретического материала курс содержит большое
количество задач для самостоятельного решения и контрольные вопросы для
проверки знаний. Для проверки и закрепления практических навыков
студентам будет предложено выполнить два индивидуальных контрольных
задания.
Результатом изучения нового учебного курса должно стать повышение
уровня
и
качества
подготовки
специалистов
по
направлению
«Математические методы в экономике» в РЭА им. Г.В. Плеханова.
4
I. Организационно-методический раздел.
1. Цель курса - изучение специальных разделов финансового анализа –
производственных и финансовых инвестиций на основе применения
математических методов; дать будущим специалистам представление о
способах управления инвестициями в условиях определенности.
2. Задачи курса. Приобретение фундаментальных знаний в области
финансовых расчетов, включая методы оценки эффективности финансовой
операции и финансовых потоков, использующихся в инвестиционных
процессах. Овладение на этой основе практическими навыками анализа
инвестиций в ценные бумаги с фиксированными доходами и методами
оценки инвестиционных проектов.
3. Место курса в профессиональной подготовке выпускника. Курс
базируется
на
следующих
дисциплинах:
“Математический
анализ”,
“Исследование операций”, “Финансы, денежное обращение и кредит”.
4. Требования к уровню усвоения содержания курса. Теоретические
знания,
полученные
в
результате
изучения
курса,
должны
быть
достаточными для работы с современной литературой по управлению
инвестициями. Будущие специалисты в процессе обучения должны
приобрести знания, достаточные для самостоятельного расчета доходности
финансовой операции и оценки эффективности производственных и
финансовых инвестиций в условиях определенности.
5
II. Содержание курса.
1. Темы курса.
 Математические основы финансового анализа в условиях
определенности.
 Финансовый анализ производственных инвестиций.
 Количественный анализ финансовых инвестиций.
 Управление портфелем облигаций.
6
2. Разделы и краткое содержание.
Тема I. Математические основы финансового анализа в условиях
определенности.
1. Математические методы, используемые для анализа инвестиций в
условиях определенности. Разложение функций в степенные ряды.
Применение производных к исследованию функций. Метод математической
индукции.
Методы
оптимизации
решения
задач
линейного
программирования.
2. Наращение и дисконтирование денежных сумм. Методы наращения и
дисконтирования денежных сумм и их сравнение. Номинальные и
эффективные процентные ставки. Эквивалентность процентных ставок.
Переменные процентные ставки. Доходность финансовой операции. Учет
налогообложения и инфляции. Эквивалентные серии платежей.
3. Потоки платежей. Виды потоков платежей и их основные параметры.
Финансовая рента (обычная, рента пренумерандо, вечная рента, отсроченная
рента). Свойства коэффициентов дисконтирования и наращения ренты.
Расчет параметров ренты. Теоремы
о процентной ставке финансового
потока. Метод линейной интерполяции для нахождения процентной ставки
потока.
Тема II. Финансовый анализ производственных инвестиций.
1.
Показатели
эффективности
инвестиционного
проекта.
Чистый
приведенный доход, внутренняя норма доходности, срок окупаемости,
индекс
рентабельности.
Оценка
эффективности
и
сравнение
инвестиционных проектов.
2. Свойства показателей эффективности капиталовложений и их
взаимосвязь.
Зависимость показателей эффективности от параметров инвестиционного
проекта. Взаимосвязь между показателями эффективности.
7
Тема III. Количественный анализ финансовых инвестиций.
1.
Анализ
факторов,
фиксированными
влияющих
доходами.
на
Внутренняя
оценку
инвестиций
доходность
с
облигации.
Временная структура процентных ставок. Зависимость цены облигации от
внутренней доходности, купонной ставки, срока до погашения. Факторы,
влияющие на величину изменения цены облигации при изменении ее
внутренней доходности. Дюрация и показатель выпуклости облигации. Их
свойства.
2. Анализ временной зависимости стоимости инвестиции в облигацию.
Планируемая и фактическая стоимость инвестиции в облигацию. Свойства
планируемой и фактической стоимости инвестиций в облигацию как
функций
времени.
Иммунизирующее
свойство
дюрации
облигации.
Доходность инвестиции в ценную бумагу.
3. Портфель из облигаций, не имеющих кредитного риска. Меры
доходности портфеля. Дюрация и показатель выпуклости портфеля. Задача
минимизации показателя выпуклости портфеля. Иммунизирующее свойство
дюрации портфеля.
Тема IV. Управление портфелем облигаций.
1. Управление портфелем в стратегии иммунизации. Иммунизация
портфеля облигаций без учета трансакционных расходов. Иммунизация
портфеля
облигаций
с
учетом
трансакционных
расходов.
Задача
минимизации трансакционных расходов.
2. Активные и пассивные стратегии управления портфелем. Стратегия,
основанная
на прогнозе процентных ставок. Построение портфеля,
обеспечивающего поток обязательств инвестора. Задача минимизации
стоимости портфеля.
8
3. Перечень примерных контрольных вопросов.
Тема I. Математические основы финансового анализа в условиях
определенности.
1. Что такое процентная ставка? В чем отличие процентных ставок i и d ?
2. Что такое наращение суммы долга, капитализация процентов, множитель
наращения?
3. Сколько существует методов наращения суммы долга? Как сравнить
между собой любые два метода?
4. Что такое дисконтирование суммы долга, современная величина суммы
долга, дисконтный множитель?
5. Сколько существует методов дисконтирования суммы долга? Как
сравнить между собой любые два метода?
6. Что
такое
финансовая
операция?
Как
определяется
доходность
финансовой операции?
7. Что такое уравнение эквивалентности? Для чего оно используется?
8. Дать определение следующим понятиям: поток платежей, современная
стоимость потока платежей, стоимость потока платежей в произвольный
момент времени, доходность потока платежей.
9. Уравнение доходности потока платежей. Что оно выражает? Что
является решением этого уравнения? Условие разрешимости уравнения
доходности.
10. Что такое инвестиции и на какие виды они подразделяются? Что такое
ценная бумага, облигация?
Тема II. Финансовый анализ производственных инвестиций.
1. Что такое инвестиционный проект? Дать определение показателей
эффективности инвестиционного проекта.
9
2. Получить зависимость чистого приведенного дохода проекта от срока
начала отдачи от инвестиций.
3. Как устанавливается ставка дисконтирования?
4. В чем преимущество проекта, выбранного по критерию максимального
NPV, перед другими проектами?
5. В чем преимущество проекта с наибольшим значением показателя IRR ?
6. Что такое резерв безопасности проекта?
Тема III. Количественный анализ финансовых инвестиций.
1. Что такое внутренняя доходность облигации? Какое значение имеет этот
показатель для инвестора? Что такое доходность к погашению?
2. Что такое безрисковые процентные ставки, временная структура
процентных ставок?
3. Какова зависимость цены облигации от ее внутренней доходности?
4. Как определяется цена облигации, если известна временная структура
процентных ставок?
5. Назовите факторы, определяющие цену облигации в данный момент
времени.
6. Как влияет значение купонной ставки на относительное и абсолютное
изменение цены облигации при изменении ее внутренней доходности?
7. Что такое процентный риск облигации? Какая характеристика облигации
является мерой ее процентного риска? При каких условиях?
8. Дюрация и показатель выпуклости облигации. Их смысл.
9. Что такое «котируемая цена», премия, дисконт, накопленный купонный
доход? Когда облигация продается по номиналу, с премией, с
дисконтом?
10. Что такое стоимость инвестиции в облигацию? Как стоимость
инвестиции в облигацию связана с ее ценой?
10
11. В чем состоит иммунизирующее свойство дюрации облигации? За счет
чего достигается иммунизация?
12. Как определяется доходность инвестиции в ценную бумагу?
Тема IV. Управление портфелем облигаций.
1. Какому риску подвержен портфель из облигаций, не имеющих
кредитного риска?
2. Задача о построении портфеля с заданным значением дюрации и
наименьшим
показателем
выпуклости. Для чего
минимизируется
показатель выпуклости портфеля?
3. Что такое иммунизация портфеля? Условие Рэддингтона иммунизации
портфеля. На чем оно основано?
4. Как проверить иммунизирован ли портфель?
5. Как можно управлять дюрацией портфеля?
11
Примеры задач для самостоятельного решения.
1. При условии, что δ = 0,1 , найти значения эквивалентных
процентных ставок:
а) i, i (4), i(12), i(52) , i(365) ;
б) d, d (4), d(12), d(52) , d(365) .
Сделать вывод.
2. Предполагается, что интенсивность процентов является кусочнонепрерывной функцией времени:
0,09

 (t )   0,08
 0,05

0  t  3,
3  t  7,
.
t7
Найти дисконтный множитель ν(t) для всех
t0
. Определить современную
величину 500 д.е., подлежащих выплате через: а) 3 года; б) 10 лет.
3. Долг в размере 1000 д.е. должен быть погашен через 1,5 года. При
выдаче кредита использовалась переменная годовая процентная ставка: в
первые три месяца срока долга 8%, в следующие три месяца 8,5 %, затем
полгода 9 % и последние полгода 10 %. Какова сумма кредита?
4. При выдаче кредита на 200 дней под 10 % годовых кредитор
удерживает комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Ставка налога
на проценты 10%. Какова доходность операции для кредитора?
5. Обязательство об уплате 8000 д.е. 01.03 и 12 000 д.е. 30.09
пересмотрено так , что первая выплата в сумме 6000 д.е. будет произведена
01.02, а остальная часть долга гасится 15.11. Определить сумму погашаемого
остатка. Для замены обязательства применялась сложная процентная ставка
6% годовых.
6. Заем величиной 10000 д.е. должен быть оплачен в течение 10 лет
постоянной
обычной
рентой,
выплачиваемой
ежемесячно.
Сумма
ежемесячного платежа рассчитывается на основе ежемесячной процентной
ставки 1%. Найти:
12
а) сумму ежемесячного взноса;
б) величину погашенного основного долга и выплаченных процентов к
концу первого года;
в) номер платежа, после которого невыплаченный долг становится
меньше 5000 д.е.
7. Должник согласен оплатить заем величиной 3000 д.е. пятнадцатью
годовыми выплатами величиной 500 д.е. с первой выплатой через 5 лет.
Найти доходность этой сделки.
8. Заем величиной 5000 д.е. погашается одинаковыми ежемесячными
взносами. На долг ежемесячно начисляются сложные проценты по ставке
12% годовых. За какой срок долг будет погашен, если ежемесячный взнос
составляет:
а) 50 д.е.; б) 100 д.е.?
9. Рассчитать показатели эффективности инвестиционного проекта с
начальными инвестициями 10000 д.е. и постоянными доходами 4000 д.е. в
год. Ставка процента 8% годовых.
10. Сравнить проекты (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) и
(-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110). Ставка процента 15 % годовых.
11. Определить годовую внутреннюю доходность облигации А со
следующим потоком платежей:
Облигация
А
ti [годы]
0
1
1,5
1,8
2
-100
+10
+20
+30
+140
12. По 6% купонной облигации номиналом 200 д.е. обещают
производить
каждый
квартал
купонные
платежи.
Определить
цену
облигации в момент, когда до погашения облигации остается: а) 16 месяцев;
б) 15 месяцев.
13
13. Дана купонная облигация со следующими характеристиками:
номинал 1000 д.е., срок до погашения 9,25 лет, купонные платежи каждые
полгода. Внутренняя доходность облигации 9% годовых. Сравнить
относительные изменения цены облигации при изменении ее внутренней
доходности на величину ± 2% для купонных ставок 8% и 9% годовых.
14. Рассматривается 8% купонная облигация номиналом 1000 д.е., по
которой обещают производить купонные выплаты дважды в году в течение
трех лет. Безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и
равны 10% годовых.
1) Вычислить дюрацию и показатель выпуклости облигации;
2) оценить относительное изменение цены облигации при изменении
процентных ставок на ± 1%, используя а) только дюрацию облигации; б)
дюрацию и показатель выпуклости облигации. Указать роль каждого из
показателей в оценке изменения цены облигации. Сделать рисунок.
15. На рынке имеется 9% купонная облигация номиналом 1000 д.е., по
которой обещают каждый год производить купонные выплаты в течение 5
лет. Безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 9% годовых. Найти
планируемую фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент
времени, равный дюрации облигации, если через полгода после покупки
облигации процентные ставки снизились до 8,5 % , а через 1,5 года после
покупки снова установились на уровне 9 % годовых.
16. Инвестор со сроком инвестиции 3 года рассматривает покупку 20летней облигации, купонные платежи по которой выплачиваются каждые
полгода. Номинал облигации 1000 д.е., годовая купонная ставка 8 %,
доходность к погашению 10 % годовых. Инвестор ожидает, что он сможет
реинвестировать купонные выплаты по годовой ставке 6 % и в конце
планируемого срока инвестиции 17-летняя облигация будет продаваться с
доходностью к погашению 7 % годовых. Определить годовую доходность
инвестиции в эту облигацию на 3 года при этих условиях.
14
17. Имеются облигации трех видов:
Срок (годы)
В1
В2
В3
0
-855,37
-291,72
-990,91
0,5
10,5
1
10,5
90
1,5
500
2
1035
1100
Построить поток платежей от портфеля П(2000, 2000, 2000). Найти дюрацию
и
показатель
выпуклости
портфеля
(рыночную
процентную
ставку
определить из условия задачи).
18. Дюрации пяти видов облигаций соответственно равны: 3; 3.5; 3.75;
4.2; 4.5 лет, а их показатели выпуклости – 10, 12, 15, 20 и 25 лет 2 .
Сформировать портфель из этих облигаций с дюрацией, равной 4 годам и
наименьшим показателем выпуклости, если  1  0,2 ;  2  0,2 ;  3  0,2 .
полученного
значения
показателя
выпуклости
портфеля
Для
оценить
относительное изменение цены портфеля при изменении рыночной
процентной ставки с 9% до 8% годовых.
19. Инвестор через два года должен осуществить за счет своего
портфеля платеж 1 млн. д.е. Инвестор рассматривает возможности
инвестирования в облигации двух видов В 1 и
В 2 , параметры которых
приведены в таблице:
Вид
облигации
В1
Номинал
(д.е.)
1000
Купонная
ставка
7%
Число
платежей в год
1
Срок до
погашения
1 год
В2
1000
8%
1
3 года
Процентные ставки на рынке одинаковы для всех сроков и составляют 10 %
годовых. Предполагается,
что процентные ставки на рынке могут
измениться на одну и ту же величину для всех сроков. Считая, что сразу
после формирования портфеля процентные ставки а) поднялись до 11 % ;
б) снизились до 9 %,
15
1) рассмотреть возможные альтернативы инвестора;
2) сформировать иммунизированный портфель, позволяющий инвестору
через два года выполнить его обязательство.
20. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для
всех сроков одинаковы и равны 8% годовых. На рынке имеются купонные
облигации со следующими параметрами: A1 = A2 = 100 д.е., f1 = f2 = 10%,
T1 = 2 года, T2 = 4 года. Рассчитать стратегию иммунизации портфеля при
инвестировании 10000 д.е. в данные облигации сроком на 3 года, если через
год после инвестирования безрисковые процентные ставки увеличились до
9 % годовых.
16
4. Примерная тематика индивидуальных контрольных заданий.
 Контрольное
задание
№
1
на
тему:
“Оценка
эффективности
инвестиционного проекта”.
 Контрольное задание № 2 на тему: “Анализ факторов, влияющих на
оценку инвестиций
с фиксированными доходами. Иммунизация
портфеля облигаций“.
17
5. Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.
1.
Дать
определения
следующим
понятиям:
проценты,
дисконт,
процентная ставка, период начисления процентов, простая процентная
ставка,
сложная
процентная
ставка,
наращение
суммы
долга,
дисконтирование суммы долга.
2.
Методы наращения суммы долга и их сравнение. Свойства наращенной
суммы долга.
3.
Методы дисконтирования и их сравнение. Свойства современной
величины суммы долга.
4.
Эквивалентные процентные ставки, номинальная процентная ставка,
эффективная процентная ставка, непрерывная процентная ставка,
переменная процентная ставка.
5.
Инфляция. Индекс потребительских цен. Темп прироста инфляции.
6.
Финансовая операция. Учет инфляции и налогов при расчете
доходности финансовой операции.
7.
Эквивалентность денежных сумм во времени. Эквивалентность серий
платежей. Эквивалентность финансовых обязательств. Уравнение
эквивалентности.
8.
Поток платежей, современная стоимость потока платежей, наращенная
сумма потока платежей, стоимость потока платежей в произвольный
момент времени, доходность потока платежей.
9.
Уравнение доходности потока платежей. Теоремы о процентной ставке
потока. Метод линейной интерполяции.
10. Рента и ее параметры. Виды ренты. Современная стоимость и
наращенная сумма ренты. Их связь.
11. Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.
12. Инвестиции, их виды. Ценная бумага, облигация.
18
13. Показатели
эффективности
инвестиционного
проекта.
Их
экономический смысл.
14. Согласованность показателей в оценке проекта.
15. Внутренняя доходность облигации и ее свойства.
16. Безрисковые процентные ставки, временная структура процентных
ставок, кривая рыночных доходностей.
17. Цена облигации и временная структура процентных ставок.
18. Купонная облигация. Цена купонной облигации. Источники дохода по
купонной облигации.
19. Зависимость цены купонной облигации от внутренней доходности,
купонной ставки, срока до погашения.
20. Дюрация и показатель выпуклости облигации. Их смысл.
21. Свойства дюрации и показателя выпуклости облигации.
22. Планируемая и фактическая стоимость инвестиции в облигацию, их
свойства как функций времени.
23. Теорема об иммунизирующем свойстве дюрации облигации.
24. Портфель из облигаций, не имеющих кредитного риска. Меры
доходности портфеля.
25. Дюрация и показатель выпуклости портфеля облигаций. Их свойства.
26. Стратегия иммунизации портфеля. Проверка иммунизации портфеля.
27. Портфель, обеспечивающий поток обязательств.
19
III. Распределение часов курса по темам и видам работ.
№
Наименование тем
п/п
и разделов
Всего Аудиторные занятия Самостоят.
(час.)
В том числе (час.)
работа
Лекции Семинары
I.
Математические основы финансового
20
10
10
анализа в условиях определенности
1.
Математические методы, используемые
для анализа инвестиций в условиях
определенности
2
0
2.
Наращение и дисконтирование
денежных сумм
4
6
3.
Потоки платежей
4
4
II.
Финансовый анализ
6
6
12
производственных инвестиций
1.
Показатели эффективности
инвестиционного проекта
2
2
2.
Свойства показателей эффективности
капиталовложений и их взаимосвязь.
4
4
14
14
8
8
4
4
2
2
4
4
III.
Количественный анализ финансовых
28
инвестиций
1.
Анализ факторов, влияющих на оценку
инвестиций с фиксированными
доходами.
2.
Анализ временной зависимости
стоимости инвестиции в облигацию
3.
Портфель из безрисковых облигаций
IV.
Управление портфелем облигаций
1.
Управление портфелем облигаций в
стратегии иммунизации
2
2
2.
Активные и пассивные стратегии
управления портфелем
2
2
34
34
Итого:
20
8
110
42
IV. Формы контроля.
Текущий контроль: выполнение двух домашних индивидуальных
контрольных заданий № 1 и № 2.
Итоговый контроль: экзамен.
V. Учебно-методическое обеспечение курса.
1. Рекомендуемая литература (основная).

Барбаумов В.Е., Гладких И.М., Чуйко А.С. Финансовые инвестиции.
Часть 1. Инвестиции с фиксированными доходами. Учебное пособие. М.:
Изд-во РЭА им. Г.В. Плеханова, 2000.

Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. Учебнопрактическое пособие. М.: Изд-во «ПРИОР», 1999.

Четыркин Е.М. Финансовая математика. Учебник. М.: Изд-во «ДЕЛО»,
2000.

Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций. М.:
Изд-во «ДЕЛО», 1998.

Чуйко А.С., Шершнев В.Г. Математические основы финансового
обслуживания. Учебное пособие. М.: Изд-во РЭА им. Г.В. Плеханова,
2000.
2. Рекомендуемая литература (дополнительная).

Аньшин В.М. Инвестиционный анализ. Учебное пособие. М.: Изд-во
«ДЕЛО», 2000.

Лоренс Дж. Гитман, Майкл Д. Джонк. Основы инвестирования. - М.: Издво «ДЕЛО», 1999.

МакКачион Дж. Дж., Скотт У.Ф. Введение в математику финансов. - М.:
1997.
21

МакЛафлин Д.Дж. Ценные бумаги: как добиться высоких доходов. М.:
Изд-во «ДЕЛО», 1999.

Фрэнк Дж. Фабоцци Управление инвестициями. – М.: Изд-во «ИНФРА –
М», 2000.

Шарп У.Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции. М.: Изд-во
«ИНФРА – М», 1999.
22
Рецензенты: Барбаумов Виктор Ефимович
профессор, кафедра высшей математики
Российской экономической академии
имени Г.В. Плеханова
Черемных Юрий Николаевич
профессор, кафедра математических методов анализа
экономики экономического факультета МГУ
имени М.В. Ломоносова
23