Аномальный магнитный момент мюона (g-2)

Связанные состояния кварков и глюонов. Основные свойства
мультиплетов мезонов. Основы теории групп.
Правила комбинирования схем Юнга. Дублет антикварков.
Мультиплеты мезонов в SU(2), SU(3) и SU(4). Нонеты мезонов из
легких кварков. Кварковый состав мезонов из SU(3) нонета.
Векторные и псевдоскалярные мезоны. Массовые формулы ГеллМанна-Окубо. Смешивание мезонов, правило ОЦИ.
 Протон – составная частица
  (N N)
o 1949, Ферми, Янг:
o 1956, Саката, Окунь:
p,n,
o 1964, Гелл-Манн: кварки
o 1964, Цвейг:
 (1020)  K K
  
aces
83%
16%
??
ss  su + s u
Есть внутренние составляющие адронов. Они
предпочитают сохранять свою индивидуальность в
реакциях сильного взаимодействия.
Cвязанные состояния кварков
(и глюонов?)
 Мезоны - qq
 Барионы – qqq
-------------------------------- Глюболы – gg
 Гибриды – (qq)g
--------------------------------- 4-x кварки - qq qq
 молекулы (K K)
Групповые свойства мезонов и барионов (динамические
свойства – неизвестны)
 Какие семейства (мультиплеты) можно
образовать из (qq), (qqq) ?
Число кварков 2,3,4, …
Элементы теории групп
Группа – множество элементов, для которого
определена операция композиции:
 композиция двух элементов группы является снова
элементом группы
 существует тождественный элемент группы I
EI=IE=E
 каждый элемент группы E имеет единственный
обратный элемент Е-1
Е  E-1 = E-1  E = I
 операция композиции ассоциативна
A  (B C) = (A  B) C
Пример: множество всех фазовых множителей волновой
функции
U ( )  ei
 - вещественное число
i (  )

U
(

)
U
(

)

e
 U (   ' )
1)
2) I = U(0)
3) U-1() = U(-)
4) {U(1) U(2)} U(3) = U(1) {U(2) U(3)}
U ( )  ei
UU = 1
- одномерная унитарная группа U(1)
Каждый элемент группы характеризуется определенным
значением континуального параметра .
Генераторы группы:
Если каждый элемент группы может быть представлен в
виде:
E = 1 + iFi +  (2 i)
при малых i
То группа называется группой Ли, а Fi – генераторы группы
Ли.
Любой элемент группы Ли можно представить в виде
n
 i i Fi
E ( 1 , 2 ,..., n )  e i 1
Fi – генераторы группы Ли
Генератор группы – величина, порождающая группу.
Пример: SU(n) – special unitary groups
Матрицы U(n x n) ,
det U=1,
UU = 1
n2-1 независимых параметра
SU(2) – 3 параметра
Общий вид элемента группы
U e

in 
 - угол вращения
n – вектор оси вращения,
 - генераторы преобразований, матрицы Паули
0 1
  2
 1  
1 0 ,
0  i
1 0 
  3  

 
,
i 0 
 0  1
 i2 = I
[i j ]+ = 0, ij
i j = I ij + i  ijk k
[i j ] = 2 i ijk k
 (123, 231, 312) = +1
 (213, 132, 321) = -1
Генераторы группы образуют алгебру Ли:
[Fi Fj] = ijk Fk
 (123, 231, 312) = +1 структурные константы группы
 (213, 132, 321) = -1
Основные свойств группы определяются заданием алгебры
группы
Представление группы:
Набор линейных операторов Т(Ga), которые соответствуют
элементам Ga группы
Т(Ga) Т(Gb) = Т(Ga Gb),
T(E) = 1
Любые матрицы NxN, которые удовлетворяют алгебре
SU(2), образуют N- мерное представление группы SU(2)
Представления классифицируются по собственным
значениям оператора Казимира – оператор,
коммутирующий со всеми генераторами представления.
Пример:
Оператор спина (изоспина):
S= ½ 
[S2, Si]=0,
S2 – оператор Казимира
Представления классифицируются по значениям спина:
Пример: S=1/2, S=1, S=3/2….
Внутри представления элементы группы классифицируются
по значениям S3 .
Неприводимое представление группы:
Все представления конечной группы можно построить
из конечного числа неприводимых представлений
Неприводимые представления  стационарные
состояния с фиксированной энергией
Для любого неприводимого представления все члены
мультиплета вырождены по массе, если [U,H]=0.
 Фундаментальное представление
SU(2) – дублет
u
q   
d 
SU(3) – триплет
u
 
q  d 
s
 
Какие семейства (мультиплеты) можно
образовать из комбинации qq ?
Если q=SU(2), SU(3)…SU(6)
Схемы Юнга
Фундаментальное представление группы SU(N)
N
Сопряженное представление N группы SU(N)
N-1
Пример:
SU(2)
2
2
SU(3)
3
3
Правила комбинирования схем Юнга
1

=
+
А
2

S
=
+
Запрещенные конфигурации
3

=
+
Размерность любого представления SU(N)
определяется дробью:
Числитель:
N
N+1
N+2
N-1
N
N+1
N-2
N-1
N-3
Произведение всех чисел
Знаменатель:
“крюк” K=1
“крюк” K=3
“крюк” K=1
Произведение всех “крюков”
Пример:
SU(2)

=
+
Числитель
Числитель
21=2
23=6
Знаменатель
Знаменатель
21=2
21=2
2/2 = 1 – синглет
6/2 = 3 – триплет
SU(3)

Числитель
321=6
Знаменатель
321=6
6/6 = 1 – синглет
=
+
Числитель
3  4  2 = 24
Знаменатель
311=3
24/3 = 8 – октет

Числитель
4  3  2  1 = 24
Знаменатель
4 3  2  1 = 24
24/24 = 1 – синглет
=
+
Числитель
5  4  3 2 = 120
Знаменатель
1421=8
120/8 = 15 – плет
Литература:
 Дж.Эллиот, П.Добер, Симметрия в физике, 2т,
“Мир”, 1983.
 Ф.Клоуз. Кварки и партоны, Москва, Мир, 1982.
 Г.Кейн, Современная физика элементарных
частиц, Москва, Мир, 1990
Мир мезонов (qq)
Sq
Sq
L
 Мультиплеты мезонов характеризуются:
L – орбитальный момент между кварками
S – полный спин S= Sq + Sq
J – полный орбитальный момент
J=L+S
n - главное квантовое число

P = (-1)L+1

C= (-1)L+S
 Для 2 ароматов u,d работает SU(2)f симметрия
– частицы должны объединяться в триплеты и
синглеты
 Для 3 ароматов u,d,s работает SU(3)f симметрия
– частицы должны объединяться в октеты и
синглеты
Что такое q ?
u
q   
d 
u
q   
d 
??
I3 = Q – Y/2
d 
q   
u
?
q должен преобразоваться как q
Повернем q на угол  вокруг оси y:
 u '   cos
   
 d '    sin 
sin   u 
 
cos  d 
d '   sin u  cosd
d '   sin  u  cos d
 d '   cos
   
 u' 
   sin 
 sin   d 
 
cos  u 
 d '   cos


  u '     sin 

 
- не совсем похоже
sin   d 


cos   u  - то, что надо
 d 

q  

u
 d  u 
 
qq  

d

u


 
  1 / 3   2 / 3 
qq  


  2 / 3   1 / 3 
|ud> Q=+1 +
-|du> Q=-1 
Нейтральные комбинации:
1
( uu  dd )
2
1
(uu  dd )
2
и
0
(540)
Изотриплет  с I=1 - не симметричен
Изосинглет  c I=0 - симметричен относительно
перестановок кварков
Добавим s-кварк
Нонет псевдоскалярных мезонов JPC = 0+
I
1
1
1
SU(3)
8
8
8
Волновая функция
ud
du

½
½
½
½
0
8
8
8
8
8
us
u s
ds
d s
’
0
1
+
0
K+
KK0
K0
1
( uu  dd )
2
1
(uu  dd  2ss )
6
1
(uu  dd  ss )
3
Нонет векторных мезонов JPC = 1
SU(3)
8
8
8
Волновая функция
ud
du
K*+ ½
K*- ½
½
0
K*
K*0 ½
0

8
8
8
us
u s
ds
8
8
d s

1
+
0
I
1
1
1
0
1
( uu  dd )
2
1
(uu  dd  2ss )
6
1
(uu  dd  ss )
3
Массовые формулы
m1=u, d ; m2=s ;
m = <ud | H | ud >= 2m1 –b
mK = <us | H | us> = m1 + m2 –b
m = 2/3 m1 + 4/3 m2 –b
 
1
6
u u  d d  2s s
Линейная формула Гелл-Манна-Окубо
4 mK = 3 m + m
1992
1759
12%
Квадратичная формула Гелл-Манна-Окубо
4 m2 K = 3 m2  + m2 
8% !?
Почему надо брать квадраты – объяснила КХД!
Векторные мезоны
4 m2 K* = 3 m2  + m2 
3.1684
2.4322
23% !!
Выход: нет чистого октета и чистого синглета.
Компонента октета с I=0 смешивается с компонентой
синглета I=0 и образует реальные частицы
 и ’
и
В массовые формулы входят не реальные частицы  или
 , а чистые состояния - 8 , 0 (8 , 0).
4 m2 K* = 3 m2 8 + m2 
2
m8
1
 ( 4m K2 *  m 2 )
3
Реальные частицы  и  есть смесь 8 и 0
 = cos 8 - sin 0
 = sin 8 + cos 0
0 
1
(uu  dd  ss )
3
  (uu  dd )(  sin 
8 
1
(uu  dd  2ss )
6
1
1
1
2
 cos
)  ss (sin 
 cos
)
3
6
3
6
Определим угол идеального смешивания:
2
cos i 
3
1
sin  i 
3

1
(uu  dd ) sin(  i   )  ss cos( i   )
2

1
(uu  dd ) cos( i   )  ss sin(  i   )
2
Когда =i = 35.30
 | ss 
,

1
(uu  dd )
2
Угод смешивания определяется массами мезонов.
Считается, что массовые формулы Гелл-Манна-Окубо
выполняются абсолютно точно.
tg 2 
m82  m2
m2  m82
Для векторных мезонов угол смешивания почти совпадает с
идеальным
 = -i =3.70
 - практически чистое ss состояние, а не синглет по
ароматам:

1
3
(uu  dd  ss )
 Для тензорных мезонов:  = -i =-7.30
 Для псевдоскалярных мезонов:  = -i =-(45-55)0
Большое смешивание – отличие псевдоскалярных
мезонов от обычных мезонов
Идеальное смешивание   | ss   подавление
выхода  в взаимодействиях нестранных адронов
3. Правило Окубо-Цвейга-Иизуки
Процессы с разрывными кварковыми линиями –
подавлены
c
+
e
u
e+

e+
J/

c
e+
e+
d
e+
Окубо: Процессы с разрывными кварковыми линиями –
строго запрещены.
Невозможно образовать мезон со скрытой странностью
во взаимодействиях нестранных адронов:
2 M ( A  B  C  ss )
Z
0
M ( A  B  C  uu )  M ( A  B  C  dd )
Перейдем к реальным частицам  и :
Z  tan(   i )
M (A  B  C )

M (A  B  C )
1  Z tan(   i )
Если правило ОЦИ справедливо, то
Z=0
M (A  B  C )
  tan(   i )
M (A  B  C )
Рождение  идет только за счет отклонения от
идеального смешивания, т.е. за счет примеси легких
кварков в волновой функции -мезона.
Предсказание ОЦИ:
 (A  B  C )
 tan 2 (   i )  4.2 10 3
 (A  B  C )
Правило ОЦИ справедливо с точностью 10 %
 Тензорные мезоны ( = -i =-7.30)
 ( A  B  C  f 2 (1525))
 tan 2 (   i )  16 10 3
 ( A  B  C  f 2 (1270))
 Псевдоскалярные мезоны ( = -i =-(45-55)0)
 ( A  B  C  )
2
 ( A  B  C   )
Аномальные псевдоскаляры:
Частица
m, МэВ

780
0
900
8
929

1020
Частица
m, МэВ

549
8
566
0
949

958
 Типичная масса адрона – 1 ГэВ
нет мезонов из u,d,s-кварков, тяжелее 2.5 ГэВ
 Самые легкие – псевдоскалярные мезоны
самое сильное взаимодействие в системе
кварк-антикварк L=0, S=0
O+ - нетипичные адроны