АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Б2.В.ОД.4 Дискретная математика
УТВЕРЖДАЮ:
СОГЛАСОВАНО:
Проректор по научно – методической
Заведующий кафедрой математических и
работе__________________М.В.Кузнецова
естественнонаучных дисциплин
(подпись, расшифровка подписи)
_____________________Т.Ю. Ходаковская
«____»_______201_ г.
(по (подпись, расшифровка подписи)
протокол №_1_от «___»_______201_г.
Направление подготовки: 09.03.01(230100.62) «Информатика и вычислительная
техника»
Профиль: «Программное обеспечение средств вычислительной техники
автоматизированных систем»
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Форма обучения: очная
Курск – 201__
1
и
Составитель: Т.Ю.Ходаковская
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой части
математического и естественнонаучного цикла студентам очной формы обучения по
направлению подготовки 09.03.01(230100.62) Информатика и вычислительная техника в
3-4 семестре.
Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению
подготовки 09.03.01(230100.62)
Информатика и вычислительная техника, утвержденного приказом Министерства
образования и науки Российской Федерации от 5 ноября 2009 г. № 553.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математических
естественнонаучных дисциплин протокол № 1 от «__» ______ 201__г.
и
Заведующий кафедрой
математических и естественнонаучных дисциплин
_____________________ Т.Ю.Ходаковская
2
Содержание
Название раздела программы
1
Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы
2
Место дисциплины в структуре ООП ВПО
3
Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу
обучающихся
4
Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов
учебных занятий
5
Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине (модулю)
6
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине (модулю)
7
Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
8
Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины
(модуля)*
9
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля)
10
Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
11
Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
3
с.
4
5
5
5
16
17
64
64
65
66
67
1 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы
В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть следующими
знаниями, умениями и навыками:
Коды
Результаты освоения
Перечень планируемых
компетенций
ООП
результатов обучения по
по ФГОС
дисциплине
ОК-1
владеет культурой мышления, Знать: способы задания, свойства
способен к обобщению, анализу, множеств, отношений, функций и
восприятию
информации, отображений;
постановке цели и выбору путей Уметь:
использовать
методы
её достижения
дискретной математики при решении
задач синтеза цифровых устройств и
разработке
программного
обеспечения;
Владеть: навыками использования
аппарата теории множеств, теории
графов, теории кодирования в
решении профессиональных задач.
ОК-10
использует
основные законы Знать:
формы
представления,
естественнонаучных дисциплин в методы
преобразования
и
профессиональной деятельности, минимизации булевых функций;
применяет
методы Уметь: решать задачи теории
математического
анализа
и множеств, теории графов, теории
моделирования, теоретического и кодирования,
уметь
применять
экспериментального исследования полученные навыки;
Владеть: навыками использования
аппарата теории множеств, теории
графов, теории кодирования в
решении профессиональных задач.
ПК-2
осваивать
методики Знать:
представление
о
использования
программных современных
информационных
средств
для
решения технологиях,
основанных
на
практических задач
использовании компьютера;
Уметь: работать с текстовым
процессором Word, работать с
электронными таблицами Excel,
работать с программой по созданию
презентаций Power Point;
Владеть:
владеть
основными
методами, способами и средствами
получения, хранения, переработки
информации, навыками работы с
компьютером
как
средством
управления информацией
ПК-5
разрабатывать
компоненты Знать:
методы
осуществления
программных комплексов и баз операций над графами и выполнения
данных,
использовать количественных
оценок
их
современные инструментальные характеристик;
4
средства
и
программирования
2
технологии Уметь: разрабатывать компоненты
программных комплексов и баз
данных, использовать современные
инструментальные
средства
и
технологии программирования;
Владеть: способами представления
множеств, отношений в ЭВМ и
выполнения основных операций над
ними
Место дисциплины в учебном процессе
Дисциплина относится к базовым дисциплинам вариативной части учебного
профессионального цикла.
Дисциплина
базируется
на
следующих
дисциплинах
программы
бакалавров:
«Программирование», «Информатика», «Математический анализ».
Знания, умения и навыки, приобретенные при изучении данной дисциплины
необходимы при изучении дисциплин «Математическая логика и теория алгоритмов»,
«Исследование операций», «Защита информации», а также при подготовке курсовых и
ВКР.
3 Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу обучающихся
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц ( 216 часов)
Вид работы
Трудоемкость, часов
3 семестр
4 семестр
108
108
36
36
18
18
18
18
Общая трудоемкость
Аудиторная работа:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа:
Подготовка и сдача экзамена
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
36
36
4 Содержание и структура дисциплины
4.1 Содержание разделов дисциплины
5
36
36
экзамен
всего
216
72
36
36
72
72
№
Наименование
раздела
раздела
1
2
1
Множества,
функции
отношения
2
Основы теории графов
Форма
Содержание раздела
текущего
контроля
3
4
и Роль дискретной математики при Л, ПЗ, Т,
разработке
и
эксплуатации
К
технических систем. Задание
множеств
и
осуществление
операций над ними. Объединение.
Равенство
множеств.
Пересечение.
Симметрическая
разность.
Упорядоченность.
Дополнение.
Кольцо множеств. Декартовы
произведения. Отношения.
Отношения эквивалентности.
Поле отношений. Функции
Мощности и кардинальные числа
множеств. Ординалы и
трансфиниты.
Виды
графов.
Подграфы. Л, ПЗ, Т,
Матрицы ассоциированные с
К
графами.
Степени
вершин.
Маршруты, цепи и циклы.
Расстояние между вершинами.
Диаметр
и
радиус
графа.
Операции
над
графами.
Дополнение графа.
Раскраска графа. Связность в
неориентированных графах и
орграфах.
Нахождение
компонент связности на ЭВМ .
Обходы графов. Графы и
бинарные
отношения.
Нахождение
кратчайших
маршрутов.
Пути в орграфах. Остовы
минимальной длины. Свободные
деревья.
Ориентированные
деревья. Упорядоченные деревья.
Бинарные
деревья.
Деревья
сортировки.
Алгоритмы
на
дереве сортировки. Циклы.
3
Булева алгебра
Булевы или двоичные функции.
Способы задания.
Булевы функции одной и двух
переменных и их свойства.
Формулы
булевой
алгебры.
6
ЛР, ПЗ,
№
Наименование
раздела
раздела
1
2
Форма
Содержание раздела
текущего
контроля
3
4
Основные
законы
булевой
алгебры.
Эквивалентность
формул.
Принцип
двойственности.
Совершенные
дизъюктивные
(СДНФ)
и
совершенные
конъюктивные
нормальные формы (СКНФ).
Переход от СДНФ к СКНФ и
наоборот.
Геометрическое
представление булевых функций.
Системы элементарных булевых
функций.
Определение
функционально полной системы
элементарных булевых функций.
Примеры функционально полных
базисов. Важнейшие замкнутые
классы.
Теорема
о
функциональной
полноте.
Понятие о реализации булевых
функций.
Условная
цена
реализации
по
Квайну.
окращенная,
тупиковая
и
минимальная формы. Операции
элементарного
и
неполного
склеивания;
операция
поглощения. Метод Квайна –
Мак-Клоски. Метод карт Карно.
Минимизация
не
полностью
определенных функций.
4
Алгебраические системы
Алгебраические
структуры.
Замыкания и подалгебры. Алгебра
термов, изоморфные алгебры.
Алгебры с одной операцией;
алгебры с двумя операциями.
Решетки. Ограниченные решетки.
Решетки
с
дополнением.
Частичный порядок в решетке.
Матроиды.
Максимальные
независимые
подмножества.
Базисы. Ранг. Основные элементы
схем алгоритмов. Стандартные
схемы алгоритмов. Рекурсивные
схемы
алгоритмов.
Функциональная эквивалентность
7
ЛР, ПЗ,
Т, К
№
Наименование
раздела
раздела
1
2
Форма
Содержание раздела
текущего
контроля
3
4
схем алгоритмов. Структуры и
потоки
данных.
Применение
методов дискретной математики
при проектировании.
4.2. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкость по видам учебных занятий (в
академических часах) для очной формы обучения
Количество часов
№
раздела
1
1
2
3
4
Наименование разделов
Всего
2
Множества, отношения и функции
Основы теории графов
Булева алгебра
3
24
24
24
Подготовка к экзамену
36
Итого в 3 семестре
Алгебраические системы
Подготовка к экзамену
Итого в 4 семестре
Всего
108
72
36
108
216
Аудиторная
работа
Л/
ПЗ/
интер. интер. ЛР
ф
ф
4
5
6
6/2
6/4
6/2
6/4
6/2
6/4
Внеауд.
работа
СР
7
12
12
12
18
18/4
18
18/4
36
36
18
36
18
36
36
72
4.3. Практические занятия (семинары)
Множества, отношения и функции
Реализуемые компетенции: ОК-10, ПК-2, ПК-5
Цель практического занятия:
- обобщить и систематизировать знания студентов по теме «Множества. Операции над
множествами», используя мультимедиа технологии;
- ознакомить с главными понятиями теории отношений, понятиями отношения
эквивалентности и отношения порядка. Научить составлять матрицу и граф бинарного
отношения, изображать матрицу и граф отношения эквивалентности и порядка.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Операции над множествами.
2.Мощность множества. Диаграммы Венна.
3.Доказательство тождеств. Представление множеств характеристическим вектором.
4.Прямое произведение множеств. Разбиения множеств и их свойства. Произведение
разбиений.
8
5.Способы представление отношений. Матрица бинарного отношения.
6.Операции над отношениями. Классификация отношений. Классификация бинарных
отношений матричным способом.
7.Эквивалентность. Классы эквивалентности. Фактор-множество. Частичный порядок.
8.Линейный порядок. Диаграммы Хассе. Топологическая сортировка
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС с. 18-32
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
«IPRbooks».гл.4.
Грес П.В. Математика для бакалавров. [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Грес П.В.— Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС. с. 77-88.
Домашнее задание.
1.Установить, какая из двух записей верна:
{1,2}∈{1,2,{1,2}} и {1,2}⊂{1,2,{1,2}}.
В задачах 2, 3 заданные множества задать перечислением всех своих элементов
2. A={x∈N|x2−3x−4≤0}.
3. A={x∈Z|14≤2x<5}.
Изобразить на координатной плоскости следующие множества:
4.{(x,y)∈R2|x+y−2=0}.
5. {(x,y)∈R2|x2−y2>0}.
6. {(x,y)∈R2|(x2−1)(y+2)=0}.
7. Описать перечислением всех элементов множества A∪B,A∩B,A∖B,B∖A.
A={x∈R|x2+x−20=0},B={x∈R|x2−x+12=0}.
В задачах 8, 9, приняв отрезок за универсальное множество T=[0,1] найти и изобразить на
числовой оси дополнения следующих множеств:
8. {0,1};
9. {1/4}∪[3/4,1).
10. Доказать, что операции ∪ и ∩ связаны законом дистрибутивности:
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);
Доказать равенства:
11. A∖B=A∩B¯¯¯.
12. A∖B¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯∪B.
13.Множество R = {(х, у) : х — делитель у} определяет отношение на множестве А = {1, 2,
3, 4, 5, 6}. Найдите все упорядоченные пары, ему принадлежащие. Изобразите граф,
представляющий
отношение
R.
9
Рисунок 1. Отношение R на множестве А.
14. Отношение R на множестве А = {а, b, с, d} задается матрицей: порядок строк и
столбцов в которой соответствует порядку выписанных элементов множества А. Назовите
упорядоченные
пары,
принадлежащие
R.
15. Дано, что отношение «...делитель...» определяет частичный порядок на множестве А =
{1, 2, 3, 6, 12, 18}. Составьте таблицу предшественников и непосредственных
предшественников, после чего постройте соответствующую диаграмму Хассе.
16. Даны два множества Х и Y и бинарное отношение . Для данного отношения : а)
записать области определения и область значений; б) определить сечение по каждому
элементу из Х; в) определить сечение по подмножествам Х' i X” множества Х; г) записать
матрицу и начертить граф; д) определить обратное отношение.
Варианты: X={x1, x2, x3, x4, x5, x6};
Y={y1, y2, y3, y4} A={(x1, y2), (x2, y1), (x2, y2), (x4, y2), (x4, y3), (x5, y1), (x5, y3)};
X’={x1, x4};
X”={ x2, x3, x5};
X={a, d, c, d, e};
Y={k, l, m, n} A={(a, k), (a, m), (a, n), (b, k), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)};
X’={a, d}; X”={k, m};
3) X={x1, x2, x3, x4, x5};
Y={y1, y2, y3, y4, y5, y6} A={(x1, y2), (x2, y1), (x2, y2), (x4, y1), (x4, y6), (x5, y3), (x5, y5)};
X’={x2, x3};
X”={ x2, x4, x5};
4) X={a, d, c, d, e};
Y={k, l, m, n} A={(b, k), (a, l), (a, m), (b, n), (c, k), (c, l), (c, n), (d, l), (d, m), (e, k), (e, l), (e,
m)};
X’={a, b, c};
X”={e,
Основы теории графов
Реализуемые компетенции: ОК-1,ОК-10, ПК-2, ПК-5
Цель практического занятия - задание графа, вычисление степеней вершин.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1Путь, маршрут, цепь, контур, цикл. Операции над графами.
2.Матричное представление графов. Матрица инциденций и ее свойства.
3.Связность, сильная связность, методы их определения.
4.Применение алгоритма построения остовного дерева. Использование основных
алгоритмов поиска минимальных путей в ориентированных графах. Постановка задачи
10
коммивояжера. Решение экстремальных задач на графах: нахождение остовного дерева
минимальной длины, дерево кратчайших путей.
5.Сетевое планирование и поиск критического пути. Паросочетания в двудольных графах.
Венгерский метод для задачи о назначениях.
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.—— ЭБС, с.191205.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.——
ЭБС «IPRbooks» с.188-200.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.194-220.
Домашние задание.
1. Подбирается экипаж космического корабля из 3-х человек: командира, инженера и
врача. Имеются 4 кандидата на должность командира к1, к2, к3, к4, 3 кандидата на
должность инженера и1, и2, и3 и 3 кандидата на должность врача в1, в2, в3. Известно, что

к1 психологически совместим с и1, и3, в2, в3; к2  с и1, и2, в1, в2, в3;

к3  с и1, и2, в1, в3; к4  с и1, и2, и3, в2.
Кроме того, и1 психологически несовместим с в3, и2  с в1, и3  с в2.
Сколькими способами можно составить экипаж?
2.Лист бумаги Плюшкин разрезает на три части. Некоторые из полученных листов он
также разрезает на три части. Несколько новых листочков он вновь разрезает на три более
мелких и т.д. сколько Плюшкин получает листочков бумаги, если разрезает к листов?
3. Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только с
двумя другими. Возможна ли такая компания?
Булева алгебра
Реализуемые компетенции: ОК-1,ОК-10, ПК-2, ПК-5
Цель практического занятия научиться минимизировать
дизъюнктивные нормальные формы логической функции.
совершенные
Вопросы для обсуждения презентаций:
1. Минимизация булевых функций в классе ДНФ.
2.Определение простых импликант заданной формулы. Нахождение минимальных и
сокращенных дизъюнктивных форм. Построение и использование таблицы Квайна.
3.Карты Карно.
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.—— ЭБС с.240244.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.259-265
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.258-263.
Домашние задание.
1.Найти сокращенную ДНФ для функции
11
2. Найти сокращенную ДНФ для функции, заданной следующей таблицей.
X4
0
0
1
1
0
1
1
0
00
1
1
0
1
01
0
1
1
0
11
1
1
1
0
10
0
1
0
0
X3
X1 X2
3. Найти минимальные ДНФ для функции
Алгебраические системы
Реализуемые компетенции: ОК-1,ОК-10, ПК-2, ПК-5
Цель практического занятия: уяснить сущность задачи и методы решения. Овладеть
технологией решения систем линейных алгебраических уравнений средствами MS Excel.
Реализуемые компетенции: ОК-1,ОК-10, ПК-2, ПК-5
В соответствии с номером варианта выберите из приведенных ниже систему линейных
алгебраических уравнений четвертого (n=4) порядка. Приведите ее к нормальному виду.
Разработайте таблицы Excel для решения выбранной СЛАУ тремя различными
способами:
1. ) методом Крамера,
2. ) матричным способом,
3. ) используя Поиск решения.
Варианты систем линейных алгебраических уравнений приведены ниже.
12
13
14
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.—— ЭБС.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС.
4.4 Самостоятельное изучение разделов дисциплины
№
раздела
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Кол-во
часов
1
2
3
1
2
Нечеткие множества. Нечеткие множества
управления и искусственного интеллекта
в
моделях
12
Задачи рисования графов и визуальной обработки графовых
моделей.
12
3
Комбинаторика.
12
4
Жадный алгоритм. Эквивалентные преобразования. Пороговая
логика.
Биномиальные
коэффициенты.
Модулярная
арифметика. Алгоритм нахождения максимального потока.
36
4.5 Образовательные технологии
Лекции являются одним из основных методов обучения по дисциплине
«Дискретная математика», которые должны решать следующие задачи:
15
 изложить важнейший материал программы курса, освещающий основы
способы задания, свойства множеств, отношений, функций и отображений;
 формы представления, методы преобразования и минимизации булевых
функций;
 методы осуществления операций над графами и выполнения количественных
оценок их характеристик.
 изучить способы представления множеств, отношений в ЭВМ и выполнения
основных операций над ними.
В ходе проведения занятий по дисциплине предусматривается применение
интерактивных методов и технологий обучения, которые обеспечивают такую
организацию учебного процесса, при которой невозможно неучастие в познавательном
процессе: каждый участник либо имеет определённое ролевое задание, в котором он
должен публично отчитаться, либо от его деятельности зависит качество выполнения
поставленной перед группой познавательной задачи.
Интерактивная технология включает в себя различные методы, стимулирующие
познавательную деятельность студентов, вовлекающие каждого участника в
мыслительную и поведенческую деятельность.
Основные интерактивные технологии лекционных занятий: проблемная лекция,
лекция-презентация, лекция-диалог.
Лабораторные и практические занятия по определению, по сути своей являются
интерактивными.
Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях
Вид
занятия
Используемые интерактивные
Количество
Семестр
(Л, ПР,
образовательные технологии
часов
ЛР)
3-4
Л
Проблемные лекции
Лекции-презентации
10
Лекции-диалог
ПР
Проектная технология
16
Технология коллективного
взаимодействия
Технология развития критического
мышления
Ролевая игра
Итого:
5 Перечень учебно-методического
обучающихся по дисциплине
26
обеспечения
для
самостоятельной
работы
Окулов, С. М. Дискретная математика. Теория и практика решения задач по
информатике [Электронный ресурс] : учебное пособие / С. М. Окулов. - 2-е изд. (эл.). - М.
: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 422 с. : ил. ; 60x90/16. - (Педагогическое
образование).
Лекции по дискретной математике: Учебное пособие / В.Б. Алексеев. - М.: НИЦ
ИНФРА-М, 2013. - 90 с.: 60x88 1/16. - (Высшее образование: Бакалавриат).
16
Дискретная математика. Задачи и упражнения с решениями: Учебно-методическое
пособие / А.А. Вороненко, В.С. Федорова. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 104 с.: 60x88
1/16. - (Высшее образование: Бакалавриат).
6 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине (модулю)
Итоговыми формами контроля знаний, умений и навыков по дисциплине
является зачет с оценкой. Зачет с оценкой проводится по вопросам, которые включают
два теоретических вопроса и одну практическую задачу.
Оценка знаний студентов производится по следующим критериям:

оценка «отлично» выставляется студенту, если он глубоко и прочно усвоил
программный материал курса, исчерпывающе, последовательно, четко и логически
стройно его излагает, умеет тесно увязывать теорию с практикой, свободно справляется с
задачами и вопросами, причем не затрудняется с ответами при видоизменении заданий,
правильно обосновывает принятые решения, владеет разносторонними навыками и
приемами выполнения практических задач;

оценка «хорошо» выставляется студенту, если он твердо знает материал
курса, грамотно и по существу излагает его, не допуская существенных неточностей в
ответе на вопрос, правильно применяет теоретические положения при решении
практических вопросов и задач, владеет необходимыми навыками и приемами их
выполнения;

оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, если он имеет знания
только основного материала, но не усвоил его деталей, допускает неточности,
недостаточно правильные формулировки, нарушения логической последовательности в
изложении программного материала, испытывает затруднения при выполнении
практических задач;

оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который не знает
значительной части программного материала, допускает существенные ошибки,
неуверенно, с большими затруднениями решает практические задачи или не справляется с
ними самостоятельно.
Контрольные вопросы для подготовки к экзамену
I.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Теоретические вопросы
Задание множеств. Упорядоченность. Равенство множеств ОК-10, ПК-5
Объединение. Пересечение. Симметрическая разность. Дополнение ПК-2
Декартово произведение. Отношения. ПК-2, ПК-5
Отношения эквивалентности. ОК-1, ОК-10
Функции ОК-1, ОК-10
Мощности и кардинальные числа множеств. ОК-1, ОК-10
Виды графов. Подграфы. ОК-10, ПК-5
Смежность, инцидентность. Степени вершин. ПК-2, ПК-5
Матрицы ассоциированные с графами. ОК-10, ПК-5
Маршруты, цепи и циклы. ПК-2, ПК-5
Расстояние между вершинами. Диаметр и радиус графа. ПК-2, ПК-5
Операции над графами. Дополнение графа. ОК-10, ПК-5
Раскраска графа ОК-10, ПК-5
17
14. Связность в неориентированных графах и орграфах. ОК-10, ПК-5
15. Нахождение компонент связности ОК-10, ПК-5
16. Обходы графов ОК-10, ПК-5
17. Графы и бинарные отношения ОК-1, ОК-10
18. Нахождение кратчайших маршрутов ОК-1, ОК-10
19. Свободные деревья ОК-10, ПК-2
20. Ориентированные деревья ОК-10, ПК-5
21. Упорядоченные деревья ОК-10, ПК-2
22. Бинарные деревья ОК-10
23. Деревья сортировки ОК-10, ПК-5
24. Циклы (фундаментальные циклы) ОК-1, ПК-5
25. Коциклы ОК-10, ПК-5
26. Булевы функции. Способы задания. ОК-10, ПК-5
27. Булевы функции одной и двух переменных и их свойства. ОК-10, ПК-5
28. Формулы булевой алгебры. Основные законы булевой алгебры. ПК-2
29. Эквивалентность формул. Принцип двойственности ПК-2
30. Совершенные дизъюктивные (СДНФ) и совершенные конъюктивные
нормальные формы (СКНФ). ПК-2
31. Переход от СДНФ к СКНФ и наоборот. ПК-5
32. Геометрическое представление булевых функций ПК-5
33. Полином Жегалкина. Определение функционально полной системы
элементарных булевых функций. ПК-5
34. Важнейшие замкнутые классы. Теорема о функциональной полноте.
35. Алгебраические структуры; ОК-10, ПК-5
36. Решетки. Ограниченные решетки. Решетки с дополнением. Частичный
порядок в решетке. ПК-5
37. Матроиды. Максимальные независимые подмножества. Базисы. Ранг. ПК-5
II. Практические вопросы
1. Определить общезначимость, выполнимость и число моделей полученных
формул.ПК-5
2. Задать и выполнить операции на графе. ОК-10, ПК-2, ПК-5
3. Определить вершинную и реберную связность графов. ОК-10, ПК-2, ПК-5
4. Упорядочить дерево. ОК-10, ПК-2, ПК-5
5. Определить количество циклов (коциклов) в дереве. ОК-10, ПК-2, ПК-5
6. Преобразовать функцию в КНФ. ОК-10, ПК-2, ПК-5
7. Преобразовать функцию в СКНФ. ОК-10, ПК-2, ПК-5
8. Преобразовать функцию в ДНФ. ОК-10, ПК-2, ПК-5
9. Преобразовать функцию в СДНФ. ОК-10, ПК-2, ПК-5
10. Минимизировать функцию с помощью карт Карно. ОК-10, ПК-2, ПК-5
11. Построить полином Жегалкина для заданной функции. ОК-10, ПК-2, ПК-5
6.2 Образцы заданий для проведения текущего контроля и промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины, а также для контроля самостоятельной
работы обучающегося
1. Перечислите элементы следующего множества В ={x | x  Z и 6х2 + х – 1 = 0}(ОК15, ОК-17, ОК-18).
2. Запишите булеан Р(А) множества А = {0,-1, -2, -3}(ОК-15).
18
3. Задайте с помощью характеристического свойства множество А = {2, 5, 8, 11, …}(
ОК-18).
4. Для заданного множества A  U составить характеристический вектор:
U={1,2,3,…,20}, A={x| 5|(x+3) }(ОК-15, ОК-17, ОК-18).
5. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду с
помощью основных законов алгебры множеств: ( A  B)  ( B \ A)  ( A \ B)  B  A
(ОК-15, ОК-17).
6. Доказать тождество (тремя способами): ( А  В )  А  В (ОК-15,).
7. Доказать тождество: ( А  В)  С  ( А  С )  ( В  С ) (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
8. Составьте
матрицу
данного
бинарного
отношения:
2
2
2
  1,2,3...,7 , ( x, y )    x  y (ОК-15, ОК-18).
Бинарное отношение между множествами А = {1, 2, 3, 4} и В = {а, b, c, d} задано
1 0 0 1  матрицей. Выпишите элементы этого отношения и постройте его

 изображение (ОК-15, ОК-17).
1 1 1 0 
9. Дано бинарное отношение   ( x, y ) x, y  N , y x , найдите
0 1 0 1 


 0 0 1 0  D , E , ,  1,    ,  1   (ОК-15, ОК-17).


10. Является ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным,


транзитивным?   Z 2 ; ( x, y)    ( x2  y)  2 (ОК-15).
11. Бинарное отношение между множествами А = {1, 2, 3, 4} и В = {а, b, 1 0 0 1 


c, d} задано матрицей. Выпишите элементы этого отношения и  0 1 1 0 
постройте его изображение. Проверьте, является ли это отношение  0 1 1 1 


рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным? 1 0 1 1 
Найдите его области определения и значений (ОК-15, ОК-17).
12. Является ли данная функция инъективной? Сюръективной? Биективной? Почему?
Постройте ее график. f: R→R, f(x)=lnx-1(ОК-15).
13. В = {1, 2, 3, 4},   В 2 . Изобразите  графически. Проверьте с помощью матрицы
является ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным,
транзитивным?   (1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (3,2), (3,4), (4,4)(ОК-15, ОК-17,
ОК-18).
14. Построить следующие бинарные отношения (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
А) рефлексивное, симметричное , не транзитивное;
б) не рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное;
в) рефлексивное, не симметричное, транзитивное.
16.Доказать, что отношение {(a, b) | (a – b) – рациональное число} является
отношением эквивалентности на множестве натуральных чисел(ОК-18).
17.К каким типам (эквивалентности; строгого, нестрогого, линейного порядка)
относятся данные отношения (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
1) отношение равносильности на множестве формул;
2) отношения ≤ и < на множестве векторов длины n с компонентами из N,
определяемые следующим образом:
а) (a1, …, an) ≤ (b1, …, bn), если a1 < b1, … , an < bn;
б) (a1, …, an) < (b1, …, bn), если (a1, …, an) ≤ (b1, …, bn) и хотя бы для одной
координаты i выполняется ai < bi;
3) отношение предшествования слов упорядоченного конечного алфавита.
18.Проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна следующие разбиения множества
U(ОК-15).
1) А, А
 
19


2) А  В, А  В, А  В, А  В
3) А \ B, A  B, B \ A.
19.Построить диаграмму Хассе для отношения  на булеане Р(А), где А={1, 2, 3}(
ОК-17, ОК-18).
20.Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых состоит из трех согласных и двух
гласных, можно образовать из букв слова уравнение? (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
21.Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир? 2)
Сколько среди них таких, которые не содержат буквы р? 3) Сколько таких, которые
начинаются с буквы с и оканчиваются буквой р? (ОК-15).
22.Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв слова
перестановка? Сколько из них начинается с буквы п и оканчивается буквой а? (ОК15).
23.Сколько сигналов можно подать пятью различными флажками, поднимая их в
любом количестве и в произвольном порядке? (ОК-17, ОК-18).
24.Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых.
Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15
рядовых? (ОК-15).
25.Найти число всех подмножеств множества Х, если Х содержит k элементов. (ОК-15,).
26.Сколькими способами можно выбрать 2 стандартные и 1 нестандартную детали из
40 деталей, среди которых имеются 10 нестандартных? (ОК-17, ОК-18).
27.Сколько существует различных трехзначных чисел? (ОК-15).
28.По n ящикам случайно распределяются n шаров. Считая, что ящики и шары
различимы, найти вероятности следующего события: два ящика пустых = А2 (ОК-15,
ОК-17, ОК-18).
29.Саша Иванов - средний студент и обычно дает правильные ответы лишь на
половину экзаменационных билетов. На очередном экзамене Саша на билет ответил и
получил положительную оценку. Какие события можно считать случайными: а) Саше
попался «хороший» билет – событие А; (ОК-15).
б) Саша ответил на билет – событие В; в) Саша сдал экзамен – событие С.
30.Саша и Маша разыгрывают билет на концерт. Какие из следующих событий можно
считать случайными? а) Только Саша выиграл билет – событие А; б) Только Маша
выиграла билет – событие В; в) Саша или Маша выиграли билет – событие С; г) Оба
выиграли билет – событие D. (ОК-17, ОК-18).
31.Рассмотрим работу столовой, в плане обслуживания клиентов. Моменты прихода
посетителей (событие А), время, затрачиваемое клиентами на обед (событие В) –
можно ли считать случайными событиями; а процесс обслуживания клиентов –
случайным процессом? (ОК-15).
32.В урне из n шаров - k красных и (n - k) черных. Наудачу извлекаем без возвращения
r шаров. Какова вероятность того, что в выборке из r шаров s шаров – красных? (ОК15, ОК-17, ОК-18).
33.Вычислить вероятность того, что для наудачу взятого значения
х    ),
значение y  0,5  sin 2 x существует. (ОК-15).
34.Два друга договорились встретиться между 12 и 13 часами. Пришедший первым
ждет второго в течении 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность, что встреча
произойдет, если каждый наудачу выбирает время своего прихода в промежутке от12
до 13 часов. (ОК-17, ОК-18).
35.Применяя формулу полной вероятности, вычислить вероятность того, что при
подбрасывании симметричного кубика выпадет четная грань. (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
36.Разложите в сумму выражение (3у+2)4 (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
20
37.Разложить в ряд (а + в + с)3(ОК-15).
38.Сколько положительных целых чисел от 70 до 950 делится ровно на одно из чисел:
1) 7, 11 или 13 2) 3, 5 или 17.
39.Найти кратчайший путь, построить кратчайшее остовное дерево для следующих
2
7
графов(ОК-15, ОК-17, ОК-18).
.
4
4
1
2
2
3
1
3
6
4
5
9
2
1
3
5
3
5
3
6
8
3
5
2
3
1
4
5
1
2
3
8
4
1
4
6
7
7
3
3
6
6
6
3
2 5 6
4
8
1
8
7
7
3
1
4
4
3
5
2
5
40.По заданной матрице смежности построить изображение графа(ОК-15, ОК-17, ОК-18).
0 1 1 1 1
1 1 0 1 0
0 1 1 0 1






1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
: AG   1 1 0 2 0  AG   0 1 1 2 0  AG   1 1 0 1 0 






1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1
 3 0 0 0 1
1 0 0 0 0






41.По заданной матрице инцидентности построить изображение графа: (ОК-15).
 1 1 1 1 0 0 
 1 1 1 1 0 0




0
1 0 0 0 1
 1 0 0 0 1 0
BG   0 1 0 0  1  1 BG   0 1 0 0  1 0 




0 0 1
 0 0 1 0 0 1 
0 0 1
0 0 0 0 0 0
 0 0 0 1 0 0




42.Построить таблицу истинности, СДНФ, СКНФ, полином Жегалкина для следующих
булевых функций, заданных формулами (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
1) ( x  y )  x  z  ( x  y ),
2) x ( z ( y  x  z )),
3) ( x  y  z )  ( x  y )  ( x  z ) ,
4) ( x  y )  ( x  z )  y ,
21
5) xy  ( y  xz ) ,
6) (( x1  x2 x3 )  ( x2 x4  x3 )  x1 x4 )  x1 ,
7) (( x1  x2 )  x3 )  x1 ,
8) (( x3  x2 )  x1 )  ( x2  x1 ) x3 x1  x3 ,
9) ( x1  ( x1  x2 ))  x3 ,
10) ( x  y )  xz  ( y  z ) ,
11) ( x  y  z )  t  x yz ,
12) ( x  y  z )  t  x yz ,
13) ( x  y)  ( x  z ) ,
14) xy  xz  yt  zt ,
15) ( x  y)  (( x  y)  ( x  yz )) ,
16) ( x  y  ( yz  1))  ( y  x) ,
17) ( x1  x2 )  ( x2  x1 )  x3 ,
18) (( x  y )  z )  ( x  yz ) ,
19) (( x  y )  ( x  y ))  (( x  y )  ( x  y ))  z ,
20) ( x  y )  xz  ( y  z ) ,
21) ( x  y  z )  t  x yz ,
22) ( x  y)  ( x  z ) ,
23) ( x  y  z )  t  x yz ,
24) ( x1  x2 )  ( x2  x1 )  x3 ,
25) (x1  x2 )  x3  x2 .
43.Проверить на полноту следующие системы булевых функций (ОК-15, ОК-17, ОК18).
1) x  y, x  y  z ,
2) x  y, (1100001100111100),
3) 0, xy  xz  yz, xy  z,
4) (1011), (1111110011000000),
5) xy, x  yz,
6) 0,1, x( y  z)  x ( y  z),
7) (01101001), (10001101), (00011100),
8) (0010), (1010110111110011).


44.Используя метод Квайна и карты Карно, найти МДНФ И МКНФ формул(ОК-15, ОК17, ОК-18).
1) x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3
2) x y z  x y z  x yz  xy z  xyz
3) x y z  x y z  xy z  xyz
45.Являются ли схемы данного алфавитного кодирования префиксными? Взаимно
однозначными? (ОК-17, ОК-18).
1) (a  0, b  10, c  011, d  1011, e  1111)
2) (a  0, b  10, c  20)
22
3) (a  01, b  021, c  12, d  0102, e  10112)
46.Построить префиксное алфавитное кодирование с минимальной избыточностью для
алфавита a, b, c, d  со следующими распределениями вероятностей появления букв(ОК17, ОК-18).
:
1) р0 = ½, р1 = ¼, р3 = р4 = ⅛;
2) р0 = 0,4, р1 = 0,25, р3 = 0,2, р4 = 0,15;
3) р0 = 0,1, р1 = 0,45, р3 = 0,22, р4 = 0,23.
47.Минимизировать конечный автомат (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
23
24
6.3 Тесты
Тест №1
1. Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?
а) будет собственным подмножеством;
б) будет несобственным подмножеством;
в) не будет никаким подмножеством.
2. Что есть множество А\В, если А - множество всех книг в библиотеке института по
различным отделам науки и искусства, а В - множество всех книг во всех библиотеках
России?
а) множество математических книг в России без математических книг в института;
б) множество книг в библиотеке института по искусству и науке, кроме математических.
в) другое множество (укажите какое)
3. Совпадают ли дистрибутивные законы Булевой алгебры и алгебры действительных
чисел.
а) оба совпадают;
б) оба не совпадают;
в) один совпадает, другой – нет (какой именно).
4. Вытекает ли из равенства А\В=С что А=В∪С?
а) да;
б) нет;
в) вообще нет, но в частном случае да. (В каком случае?)
5. Есть ли законы для дополнений в алгебре действительных чисел?
а) да (укажите их);
б) нет;
в) некоторых нет, а некоторые есть (укажите их).
6. Справедливы ли законы идемпотентности Булевой алгебры в алгебре действительных
чисел? (Ответ обоснуйте.)
а) справедливы;
б) несправедливы;
в) один справедлив, другой нет.
7. Обладают ли свойством двойственности формулы поглощения?
а) да;
б) нет;
в) одна обладает, другая нет (какая именно).
25
8. Можно ли поставить в соответствие единицу или ноль соответственно универсальному
и пустому множеству, исходя из свойств операций? Если да, то, о каких операциях идёт
речь.
а) можно;
б) единицу - можно, ноль - нет;
в) ноль - можно, единицу - нет.
9. Обладают ли формулы склеивания свойством двойственности
а) нет;
б) да;
в) одна обладает, другая нет (какая именно).
10. Будет ли каждое из множеств A, В, С, D подмножеством другого (т.е. можно ли из них
составить цепочку вложенности из этих множеств), если A - множество действительных
чисел, B - множество рациональных чисел, С - множество целых чисел, D - множество
натуральных чисел.
а) да;
б) нет;
в) лишь некоторые из множеств являются подмножествами перечисленных множеств.
(Какие именно.)
Тест №2
1. Задано отображение f множества Х в Y. X={x1, x2, x3, x4} Y={y1, y2, y3}: f(x1)=y1,
f(x2)= y2, f(x3)= y2, f(x4)= y3, Будет ли это отображение f
а) сюръективно;
б) инъективно;
в) биективно.
2. Можно ли в любом бесконечном множестве выделить счетное подмножество?
а) нельзя;
б) можно;
в) можно, но не всегда (когда именно).
3. Выделим в бесконечном множестве М счетное подмножество А⊂М. В каком
отношении находятся мощности множеств М \ А и М?
а) мощность М \ А < мощности М;
б) мощность М < мощности М \ А;
в) мощность М = мощности М \ А.
4. Отношение "быть старше": "х старше у" является
26
а) рефлексивным;
б) симметричным;
в) асимметричным.
5. Отношение "х - победитель у" является
а) антирефлексивным;
б) симметричным;
в) транзитивным.
6. Каково максимально возможное число классов, на которое можно разбить сумму трех
пересекающихся множеств, не прибегая к произвольному делению отдельных областей на
диаграммах Эйлера-Венна?
а) 3;
б) 5;
в) 7.
7. Если отношение A на множестве М рефлексивно, симметрично и транзитивно, можно
ли разбить множество М на классы?
а) да;
б) нет;
в) можно, но не всегда (когда именно).
8. Пусть на множестве М задано отношение A: "х знаком с у". Почему нельзя разбить
множество М на классы?
а) отношение A не рефлексивно;
б) отношение A не симметрично;
в) отношение A не транзитивно.
9. Почему множество действительных чисел и множество натуральных чисел не являются
подобными?
а) множество натуральных чисел неупорядочено;
б) множество действительных чисел неупорядочено;
в) нет биективного соответствия между множествами.
10. Почему множество М точек отрезка [0, 1] не является вполне упорядоченным
множеством?
а) М не упорядочено;
б) не все подмножества М содержат первый элемент;
в) ни одно из подмножеств М не содержат первый элемент.
27
Тест №3
1. Следующее высказывание может быть интерпретировано как сложное высказывание:
"Неверно, что первым пришел Петр или Павел". Каковы составляющие его элементарные
высказывания?
а) А: "Неверно, что первым пришел Петр"
В: "Неверно, что первым пришел Павел";
б) А: "Первым пришел Петр"
В: "Неверно, что первым пришел Павел";
в) А: "Первым пришел Петр"
В: "Первым пришел Павел".
2. Какой из формул может быть записано высказывание предыдущего вопроса?
а) ;
б) ;
в) .
3. Будет ли высказывание S=(А→В)∧(В→С)→(А→С):
а) тождественно истинным;
б) тождественно ложным;
в) переменным.
4. Каково значение Х, определяемое уравнением =B ?
а) Х =В;
б) В;
в) В \ А.
5. Чему равносильна конъюнкция контроппозиции и ее конверсии?
а) импликации;
б) конверсии импликации;
в) двойной импликации.
6. В высказывании S: "Треугольники равны только тогда, когда равны их стороны".
Равенство углов в треугольнике является:
а) необходимым условием;
б) достаточным условием;
в) необходимым и достаточным условием.
7. Какая из функций соответствует формуле (см. табл.). S = x1 → x2 ∧ x3 ?
x1 0 0 0 0 1 1 1 1
x2 0 0 1 1 0 0 1 1
28
x3 0 1 0 1 0 1 0 1
f1; 1 1 0 1 1 0 1 1
f2 0 0 0 1 0 0 0 1
а) f1;
б) f2;
в) ни f1, ни f2 (тогда напишите таблицу для правильного результата)
8. Какая из переменных х1, х2, х3 является фиктивной в формуле f, где f задана условием
f(0,0,1)=f(0,0,0)? На остальных наборах значений переменных f принимает значение
истинно.
а) х1;
б) х2;
в) х3.
9. Какие из переменных х1, х2 в функции f15 (табл. 3.11) являются фиктивными?
а) х1 - существенная переменная;
б) х2 - существенная переменная;
в) обе переменные х1 и х2 - фиктивные.
10. Какие из пар связок образуют полную систему связок?
а) (∨, );
б) (∨, →);
в) (∧, →).
Тест №4
1. Даны два высказывания S1: " Если треугольники равны, то равны их стороны", S2:
"Стороны треугольников равны тогда и только тогда, когда равны треугольники".
Существует ли отношение следствия между S1 и S2?
а) из S1 следует S2;
б) из S2 следует S1;
в) ни одно из высказываний не следует из другого.
2. Если между высказываниями S1 и S2 существует отношение следствия, являются ли эти
высказывания совместимыми?
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
3. Если из высказывания S1 следует S2 и, наоборот, из S2 следует S1, являются ли
высказывания S1 и S2 эквивалентными?
29
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
4. Если высказывания эквивалентны, существует ли между ними отношения следствия?
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
5. Могут ли быть при правильном рассуждении все посылки истинными, если заключение
ложно?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
6. Существует ли СКНФ у тождественно истинной формулы алгебры высказываний?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
7. Существует ли СДНФ у невыполнимой формулы?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
8. Каково множество истинности у невыполнимой формулы?
а) "U" - универсальное;
б) "V" - пустое;
в) некоторое множество A, не являющееся ни пустым, ни универсальным.
9. Сколько единиц имеет полная элементарная конъюнкция?
а) ни одной;
б) одну;
в) несколько.
10. Сколько нулей имеет полная элементарная дизъюнкция?
а) один;
б) ни одного;
в) несколько.
Тест №5
1. Сколько слагаемых содержит СДНФ, построенная по функции f(x1, x2, x3) заданной
30
так, что на всех наборах значений переменных x1, x2, x3 она принимает значение 1?
а) 2;
б) 4;
в) 8.
2. Сколько сомножителей содержит СКНФ, построенная по функции f(1,1,1) = f(1,0,1) = 0?
а) 2;
б) 4;
в) 8.
3. Можно ли для функции f(x1, x2, x3) заданной так, что на всех наборах значений
переменных x1, x2, x3 она принимает значение 0, построить какую-либо совершенную
нормальную форму?
а) можно СДНФ;
б) можно СКНФ;
в) нельзя построить ни одной совершенной нормальной формы.
4. Можно ли некоторое высказывание записать в виде релейно-контактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) иногда можно, иногда нет.
5. Могут ли две релейно-контактные схемы, соответствующие одной и той же функции
проводимости, иметь различное число реле?
а) да;
б) нет; если функция проводимости особенная (какая именно)
в) никогда не могут.
6. Имеем формулу , выводимую из формул 1, 2, … n, т.е. 1, 2, … n  .
Являются ли выводимыми формулы 1, 2, … n?
а) да;
б) нет;
в) некоторые из них выводимы, некоторые нет (какие именно).
7. Если формула  выводима из аксиом исчисления высказываний, какой она является как
формула алгебры высказываний?
а)  является тождественно истинной;
б)  является тождественно ложной;
в)  - переменное высказывание.
31
8. Является ли противоречивым некоторое исчисление (формальная аксиомати¬ческая
система), если оно имеет некоторую содержательную интерпретацию?
а) противоречиво;
б) непротиворечиво;
в) может быть и тот, и другой вариант.
9. Формула  есть тождественно истинная формула алгебры высказываний. Будет ли 
выводима из аксиом как формула исчисления высказываний?
а)  выводима;
б)  не выводима;
в) может быть и тот, и другой вариант.
10. Можно ли какую-либо аксиому исчисления высказываний вывести из остальных
аксиом?
а) некоторую аксиому можно, некоторую нельзя (приведите примеры);
б) все можно;
в) все нельзя.
Тест №6
1. Сколько несобственных подмножеств имеет конечное множество, состоящее из n
элементов?
а) 1 (что это за множество?);
б) 2 (что это за множества?);
в) n.
2. Сколько собственных подмножеств имеет конечное множество Х={х1, х2, … хn}?
а) n-1;
б) nn=n2;
в) 2n-2.
3. В каком порядке нужно производить операции, преобразовывая формулу ?
а) ;
б) ;
в) .
4. Пусть n(A∪B) - мощность множества, являющегося объединением конечных множеств
А и В, m1= n(A∪B), если множества пересекаются, т.е. А∩В≠0 и m2=n(A∪B), если
A∩B=0. Равны ли мощности m1 и m2?
а) m1 = m2;
б) m1 > m2;
32
в) m1 < m2.
5. Мощность какого множества больше Х или Y, если Х - исходное конечное множество,
Y - множество подмножеств множества Х?
а) мощность Х больше мощности Y;
б) мощность Х меньше мощности Y;
в) мощность Х равно мощности Y.
6. Существует ли среди бесконечных множеств множества наименьшей и наибольшей
мощности?
а) существуют множества как наибольшей, так и наименьшей мощности;
б) существует множество наибольшей, а наименьшей мощности нет;
в) существует множество наименьшей, а наибольшей мощности нет.
7. Является ли сюръективное отображение инъективным?
а) сюръективное отображение всегда инъективно;
б) сюръективное отображение - неинъективно;
в) сюръективное отображение может быть инъективным, но может и не быть им
(приведите примеры).
8. Всегда ли биективное отображение сюръективно?
а) всегда;
б) никогда;
в) может быть сюръективным, но может и не быть им (приведите примеры).
9. Когда сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств является
конечным множеством?
а) в случае конечного числа суммы счетных множеств;
б) в случае счетного числа суммы конечных множеств;
в) в случае конечного числа суммы конечных множеств.
10. Если к некоторому бесконечному множеству М прибавить счетное множество A, будет
ли отличаться мощность полученного множества М∪А от мощности множества М?
а) мощность множества М равна мощности множества М∪А;
б) мощность множества М меньше мощности множества М∪А;
в) мощность множества М больше мощности множества М∪А.
11. Может ли конечное множество A содержать собственное подмножество,
эквивалентное всему множеству A ?
а) всегда содержит;
б) никогда не содержит;
33
в) иногда содержит, иногда нет (приведите примеры).
12. Отсутствием какого из свойств отношений отличаются отношение толерантности от
отношения эквивалентности?
а) рефлексивности;
б) симметрии;
в) транзитивности.
13. Какие из высказываний S1, S2, S3, состоящих из двух элементарных A и B,
равносильны? S1:“Если A, то не B”. S2:“А или не B”. S3:”Неверно, что A и B”.
а) S1=S2;
б) S1=S3;
в) S2=S3.
14. Что означает высказывание “А только, если B”?
а) А достаточно для B;
б) А необходимо для B;
в) А необходимо и достаточно для В.
15. Чему равносильна конъюнкция импликации и её конверсии (ответ поясните)?
а) контроппозиции;
б) конверсии контроппозиции;
в) двойной импликации.
16. Какая формула соответствует функции f(х1, х2): f(1,1)=1?
а) x1→х2;
б) х1∨х2;
в) х1∧х2.
17. Какие из переменных функций f(х1, х2) являются существенными, если f(х1, х2):
f(1,i)=0
а) x1;
б) х2;
в) обе переменные фиктивны.
18. С помощью какой связки можно записать любую формулу алгебры высказываний?
а) с помощью дизъюнкции;
б) с помощью конъюнкции;
в) с помощью штриха Шеффера.
19. Если множество истинности высказывания A есть подмножество множества
истинности высказывания B, существует ли отношения следствия между A и B?
34
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
20. Если высказывания A и B несовместимы, что можно утверждать о множествах
истинности этих высказываний?
а) множество истинности A есть подмножество множества истинности высказывания B;
б) множества истинности A и B совпадают;
в) множество истинности A и B не пересекаются.
21. Если высказывания A и B несовместимы, существует ли между ними отношение
следствия?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
22. Если при проверке правильности рассуждения получен результат PQ  0, где P конъюнкция посылок, Q - заключение. Означает ли это, что рассуждение правильно?
а) да;
б) нет;
в) может быть правильным в одних случаях и неправильным в других (в каких именно).
23. Каково максимальное число слагаемых СДНФ для формулы S(х1, ... хn)  1?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
24. Каково максимальное число сомножителей СКНФ невыполнимой формулы S(х1, ... хn)
?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
25. Если СДНФ формулы S(х1, х2, х3) содержит 3 слагаемых, сколько сомножителей
содержит ее СКНФ?
а) 3;
б) 4;
в) 5.
26. Соответствуют ли различные релейно-контактные схемы одному и тому же
высказыванию?
35
а) всегда;
б) никогда;
в) могут соответствовать, могут не соответствовать (когда могут, а когда нет).
27. Могут ли равносильные высказывания быть записаны в виде некоторой релейноконтактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) могут, но не всегда (когда могут, а когда нет).
28. Если исчисление противоречиво, имеет ли оно некоторую содержательную
интерпретацию?
а) имеет;
б) не имеет;
в) имеет, но не всегда (когда имеет, а когда нет).
29. Если исчисление является полным, можно ли какую-либо, не выводимую в этом
исчислении формулу добавить к аксиомам так, чтобы исчисление осталось
непротиворечивым?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
30. Если система аксиом некоторого исчисления независима, можно ли какие-либо
аксиомы вывести из других?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
Тест №7
1. Сколько несобственных подмножеств имеет конечное множество, состоящее из n
элементов?
а) 1 (что это за множество?);
б) 2 (что это за множества?);
в) n.
2. Сколько собственных подмножеств имеет конечное множество Х={х1, х2, … хn}?
а) n-1;
б) nn=n2;
36
в) 2n-2.
3. В каком порядке нужно производить операции, преобразовывая формулу ?
а) ;
б) ;
в) .
4. Пусть n(A∪B) - мощность множества, являющегося объединением конечных множеств
А и В, m1= n(A∪B), если множества пересекаются, т.е. А∩В≠0 и m2=n(A∪B), если
A∩B=0. Равны ли мощности m1 и m2?
а) m1 = m2;
б) m1 > m2;
в) m1 < m2.
5. Мощность какого множества больше Х или Y, если Х - исходное конечное множество,
Y - множество подмножеств множества Х?
а) мощность Х больше мощности Y;
б) мощность Х меньше мощности Y;
в) мощность Х равно мощности Y.
6. Существует ли среди бесконечных множеств множества наименьшей и наибольшей
мощности?
а) существуют множества как наибольшей, так и наименьшей мощности;
б) существует множество наибольшей, а наименьшей мощности нет;
в) существует множество наименьшей, а наибольшей мощности нет.
7. Является ли сюръективное отображение инъективным?
а) сюръективное отображение всегда инъективно;
б) сюръективное отображение - неинъективно;
в) сюръективное отображение может быть инъективным, но может и не быть им
(приведите примеры).
8. Всегда ли биективное отображение сюръективно?
а) всегда;
б) никогда;
в) может быть сюръективным, но может и не быть им (приведите примеры).
9. Когда сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств является
конечным множеством?
а) в случае конечного числа суммы счетных множеств;
б) в случае счетного числа суммы конечных множеств;
37
в) в случае конечного числа суммы конечных множеств.
10. Если к некоторому бесконечному множеству М прибавить счетное множество A, будет
ли отличаться мощность полученного множества М∪А от мощности множества М?
а) мощность множества М равна мощности множества М∪А;
б) мощность множества М меньше мощности множества М∪А;
в) мощность множества М больше мощности множества М∪А.
11. Может ли конечное множество A содержать собственное подмножество,
эквивалентное всему множеству A ?
а) всегда содержит;
б) никогда не содержит;
в) иногда содержит, иногда нет (приведите примеры).
12. Отсутствием какого из свойств отношений отличаются отношение толерантности от
отношения эквивалентности?
а) рефлексивности;
б) симметрии;
в) транзитивности.
13. Какие из высказываний S1, S2, S3, состоящих из двух элементарных A и B,
равносильны? S1:“Если A, то не B”. S2:“А или не B”. S3:”Неверно, что A и B”.
а) S1=S2;
б) S1=S3;
в) S2=S3.
14. Что означает высказывание “А только, если B”?
а) А достаточно для B;
б) А необходимо для B;
в) А необходимо и достаточно для В.
15. Чему равносильна конъюнкция импликации и её конверсии (ответ поясните)?
а) контроппозиции;
б) конверсии контроппозиции;
в) двойной импликации.
16. Какая формула соответствует функции f(х1, х2): f(1,1)=1?
а) x1→х2;
б) х1∨х2;
в) х1∧х2.
17. Какие из переменных функций f(х1, х2) являются существенными, если f(х1, х2):
38
f(1,i)=0
а) x1;
б) х2;
в) обе переменные фиктивны.
18. С помощью какой связки можно записать любую формулу алгебры высказываний?
а) с помощью дизъюнкции;
б) с помощью конъюнкции;
в) с помощью штриха Шеффера.
19. Если множество истинности высказывания A есть подмножество множества
истинности высказывания B, существует ли отношения следствия между A и B?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
20. Если высказывания A и B несовместимы, что можно утверждать о множествах
истинности этих высказываний?
а) множество истинности A есть подмножество множества истинности высказывания B;
б) множества истинности A и B совпадают;
в) множество истинности A и B не пересекаются.
21. Если высказывания A и B несовместимы, существует ли между ними отношение
следствия?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
22. Если при проверке правильности рассуждения получен результат PQ  0, где P конъюнкция посылок, Q - заключение. Означает ли это, что рассуждение правильно?
а) да;
б) нет;
в) может быть правильным в одних случаях и неправильным в других (в каких именно).
23. Каково максимальное число слагаемых СДНФ для формулы S(х1, ... хn)  1?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
24. Каково максимальное число сомножителей СКНФ невыполнимой формулы S(х1, ... хn)
а) n;
39
б) n2;
в) 2n .
25. Если СДНФ формулы S(х1, х2, х3) содержит 3 слагаемых, сколько сомножителей
содержит ее СКНФ?
а) 3;
б) 4;
в) 5.
26. Соответствуют ли различные релейно-контактные схемы одному и тому же
высказыванию?
а) всегда;
б) никогда;
в) могут соответствовать, могут не соответствовать (когда могут, а когда нет).
27. Могут ли равносильные высказывания быть записаны в виде некоторой релейноконтактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) могут, но не всегда (когда могут, а когда нет).
28. Если исчисление противоречиво, имеет ли оно некоторую содержательную
интерпретацию?
а) имеет;
б) не имеет;
в) имеет, но не всегда (когда имеет, а когда нет).
29. Если исчисление является полным, можно ли какую-либо, не выводимую в этом
исчислении формулу добавить к аксиомам так, чтобы исчисление осталось
непротиворечивым?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
30. Если система аксиом некоторого исчисления независима, можно ли какие-либо
аксиомы вывести из других?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
40
Тест №8
41
42
43
Тест №9
44
45
46
Тест №10
47
48
49
Тест №11
50
51
52
Тест №12
53
54
Тест №13
1.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0 1 0 0 0 1 0 1


1 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1


1 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1 0


Найти радиус r(G) графа.
2.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0
1
0
0
0
1
 10



0
1
1
0

1

0
1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1
Найти диаметр d(G) графа.
3.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
55
0
1
1

0
0
0
0
0

1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0


0

0
1
1

0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Найти радиус r(G) графа.
4.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0
1
1

0
0
0
0
0

1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0


0

0
1
1

0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Найти диаметр d(G) графа.
5.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных деревьев с 6 вершинами?
6.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных связных графов с 5 вершинами и 4 ребрами?
7.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных связных графов с 5 вершинами и 5 ребрами?
8.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является необходимым для того, чтобы связный
граф с n вершинами был планарным ( m – число ребер):
a. m  3n  6
b. m  3n  6
c. m = 8 при n = 6
d. m < 19 при n = 8
e. m  3n
9.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является достаточным для того, чтобы граф с n
вершинами был планарным ( m – число ребер):
a. m  3n  6
b. граф не содержит подграфа, гомеоморфного графу K 33 , и подграфа,
гомеоморфного графу K 5
c. m = n – 1, и граф связный
56
d. граф не содержит подграфа, изоморфного графу K 33
e. m = 5 при n = 7
10.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является достаточным для того, чтобы граф с n
вершинами не был планарным ( m - число ребер):
a. граф содержит подграф, изоморфный графу K 5
b. m = 10 при n = 20
c. граф содержит подграф, гомеоморфный графу K 6
d. m  3n
e. m = 10 при n = 5
11.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является деревом. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения)
a. число ребер m = n - 1
b. граф связный
c. граф не содержит циклов
d. граф планарный
e. граф не эйлеров
f. есть вершина степени 1
g. есть вершина степени больше 1
12.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является несвязным. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения.)
a. число компонент связности всегда равно 2
b. число компонент связности может быть равно 2
c. степень каждой вершины не превосходит n - 2
d. число компонент связности больше 1
e. граф не может быть двудольным
f. граф планарный
g. граф не может быть деревом
13.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является двудольным. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения.)
a. в нем нет циклов четной длины
b. в нем могут быть циклы четной длины
c. в нем все циклы имеют четную длину
d. граф связный
e. степень каждой вершины не превосходит n - 2
f. граф содержит цикл, если каждая доля содержит не менее двух вершин
g. граф планарный
57
14.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
15.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
16.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
17.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
18.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
58
19.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
20.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
21.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
22.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
23.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
59
24.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
25.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
26.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (2 2 1 1 4 4 3 3)
b. P(t) = (1 2 1 2 3 4 3 4)
c. P(t) = (1 1 4 2 2 4 3 3) (+10 баллов)
27.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (1 2 3 4 5 6 6 7)
b. P(t) = (1 2 3 4 5 5 6 7)
c. P(t) = (1 2 3 4 5 6 7 7)
60
28.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (1 1 1 2 2 2 3 3)
b. P(t) = (3 3 1 1 1 2 2 2)
c. P(t) = (1 2 3 1 2 3 1 2 )
29.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  0111 , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
линейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
30.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  0110  , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
линейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
31.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  1011 , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
нелинейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
32.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  x  y  z определить, является ли она:
a. линейной
b. монотонной
c. самодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
61
33.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  xy  z  1 определить, является ли она:
a. линейной
b. немонотонной
c. самодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
34.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  xy  xz определить, является ли она:
a. линейной
b. монотонной
c. несамодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
35.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {f, g, h} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
36.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {F, G, H} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
37.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {f, g, h} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
62
38.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
T0 S  T1
a. да
b. нет
39.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
T0T1 L  S
a. да
b. нет
40.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
MS  T0
a. да
b. нет
6.3 Темы учебных проектов
1. Упорядочивание множества: квадратичная выборка, метод Шелла
2. Представление множеств в программах: битовые шкалы, упорядоченные списки,
алгоритм построения бинарного кода Грея, генерация булеана
3. Вполне упорядоченные множества
4. Производящие функции: метод неопределенных коэффициентов, числа Фибоначчи,
числа Каталана
5. Аксиоматическое определение энтропии
6. Методы сортировки строковых типов данных
7. Алгоритм Прима поиска кратчайшего остова. Алгоритм Форда-Беллмана поиска
кратчайшего пути в графе
8. Основные равносильности алгебры логики. Тождественно-истинные формулы.
Проблема разрешимости алгебры логики
9. Простейшие эквивалентности формул. Релейно-контактные схемы
10. Критерий полноты системы БФ. Примеры полных систем
11. Метод Квайна-Маккласки поиска простых импликант
12. Элементарные функции k-значной логики
13. Самокорректирующиеся коды Хэмминга
14. Методы принятия решения. Коллективный выбор решения
15. Асимптотика
16. Эйлеровы графы.
17. Гамильтоновы графы.
18. Связность графа.
19. Циклы в графах.
20. Плоские графы.
21. Деревья.
22. Свойства эйлеровых графов.
23. Свойства гамильтоновых графов.
24. Раскраски графов.
25. Ориентированные графы.
26. Паросочетания.
63
27. Теория трансверсалей.
28. Потоки в сетях.
29. Производящие функции в теории графов.
30. Теорема Пойа и перечисление графов.
31. Графы на двумерных поверхностях.
32. Решетки.
33. Булевы алгебры.
34. Минимальные формы булевых многочленов.
35. Приложения булевых алгебр к переключательным схемам.
36. Конечные группы и их графы.
37. Модулярные и дистрибутивные решетки.
38. Полугруппы преобразований.
39. Полугруппы в биологии.
40. Циклы в графах.
7 Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
7.1 Основная литература
Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Хаггарти Р.— Электрон. текстовые данные.— М.: Техносфера, 2012.— 400
c.— ЭБС
Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин Н.П.— Электрон.
текстовые данные.— М.: Физматлит, 2009.— 264 c.— Режим доступа:— ЭБС
Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы [Электронный ресурс]:
полный курс/ Иванов Б.Н.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2007.—
408 c.— ЭБС
7.2 Дополнительная литература
Асанов, М.О. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы: Учеб. пособие для
вузов / М.О. Асанов, В.А. Баранский, В.В. Расин. - Ижевск : Регулярная и хаот.
динамика, 2001. - 288 с.
Иванов, Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы: Учеб. пособие / Б.Н.
Иванов. - М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 288 с.
Кузнецов, О.П. Дискретная математика для инженера: учебник / 4-е изд., CПб. : Лань, 2005. - 400 с.
7.3 Периодические издания
 «Мир ПК»;
 «Программирование»;
 «Информационные технологии».
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины (модуля)
64
http://www.matburo.ru/useful.php - На данном сайте предложены различные
полезные материалы по высшей математике и другим предметам (теория вероятностей,
статистика, эконометрика, дискретная математика, ЭММ): учебники, лекции,
методические пособия, программы, формулы, справочники, ссылки на полезные сайты –
всё, чтобы облегчить процесс учебы.
http://rfpro.ru/issues/8/19/525 - Консультации по дискретной математике, решение
задач по дискретной математике.
http://www.sitereferatov.ru/matem/122-14.html - Рефераты по дискретной математике.
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)
Общие рекомендации по самостоятельной работе студентов
1. Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения
дисциплины.
При контроле знаний основное внимание уделяется способности студентов
применять полученные знания на практических задачах. Поэтому при самостоятельной
работе студент должен уделять внимание решению задач. Обычно, самостоятельной
работе предшествуют занятия в аудитории.
При решении задач необходимо анализировать те или иные алгоритмы, которые
применялись при решении подобных задач на аудиторных занятиях, пытаться построить
логическую схему доказательства. Если задача сразу не получается, то отложить ее на
некоторое время, рассмотреть другие задачи, но обязательно вернуться и попытаться
решить отложенную задачу попозже. Усвоить материал раздела курса можно только
решив достаточный по объему набор задач по данному разделу. При чтении
теоретического материала необходимо попытаться вникнуть в содержание определений,
попробовать построить собственные примеры на данное определение. Необходимо уметь
связывать различные определения и понятия в одно целое.
Рекомендуется следующим образом организовать время, необходимое для
изучения дисциплины:
Изучение конспекта лекции в тот же день, после лекции – 10-15 минут.
Изучение конспекта лекции за день перед следующей лекцией – 10-15 минут.
Изучение теоретического материала по учебнику и конспекту – 1 час в неделю.
Подготовка к практическому занятию – 1 час.
Всего в неделю – 3 часа 25 минут.
2. Описание последовательности действий студента («сценарий изучения дисциплины»).
При изучении дисциплины «Дискретная математика» очень полезно
самостоятельно изучать материал, который еще не прочитан на лекции. Тогда лекция
будет гораздо понятнее. Однако легче при изучении курса следовать изложению
материала на лекции. Для понимания материала и качественного его усвоения
рекомендуется такая последовательность действий:
1. После прослушивания лекции и окончания учебных занятий, при подготовке к занятиям
следующего дня, нужно сначала просмотреть и обдумать текст лекции, прослушанной
сегодня (10-15 минут).
2. При подготовке к лекции следующего дня, нужно просмотреть текст предыдущей
лекции, подумать о том, какая может быть тема следующей лекции (10-15 минут).
3. В течение недели выбрать время (1 час) для работы с литературой по дискретной
математике в библиотеке или сети Интернет.
4. При подготовке к практическим занятиям следующего дня, необходимо
сначалапрочитать основные понятия и теоремы по теме домашнего задания. При
выполнении
упражнения или задачи нужно сначала понять, что требуется в задаче, какой
теоретический материал нужно использовать, наметить план решения задачи. Если это не
дало результатов, и Вы сделали задачу «по образцу» аудиторной задачи, или из
65
методического пособия, нужно после решения такой задачи обдумать ход решения и
опробовать решить аналогичную задачу самостоятельно.
3. Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса.
Рекомендуется использовать текст лекций преподавателя. Кроме того, в материалах
УМК представлены примерные варианты проверочных работ, что позволит студенту быть
более готовым к их выполнению на очередном практическом занятии.
4. Рекомендации по работе с литературой. Теоретический материал курса становится
более понятным, когда дополнительно к прослушиванию лекции и изучению конспекта,
изучаются и книги по дискретной математике в библиотеке. Полезно использовать
несколько учебников. Однако легче освоить курс, придерживаясь одного учебника и
конспекта. Рекомендуется, кроме «заучивания» материала, добиться состояния понимания
изучаемой темы дисциплины. С этой целью рекомендуется после изучения очередного
параграфа выполнить несколько простых упражнений на данную тему.
5.Советы по подготовке к зачету. Прежде всего необходимо ознакомится со списком
экзаменационных вопросов. Затем разбить список на столько равных частей, сколько дней
отведено для подготовки к экзамену. В каждый день подготовки, не отвлекаясь,
необходимо выучить определенное графиком число экзаменационных вопросов. Если
материал не понятен, отметить это место в конспекте закладкой, с целью уточнения у
преподавателя на консультации перед экзаменом. В последний день подготовки
желательно выделить время для повторения выученного материала.
6. Указания по организации работы с контрольно-измерительными материалами, по
выполнению домашних заданий. При выполнении домашних заданий необходимо сначала
прочитать основные понятия и теоремы по теме домашнего задания. При выполнении
упражнения или задачи нужно сначала понять, что требуется в задаче, какой
теоретический материал нужно использовать, наметить план решения задачи. Если это не
дало результатов, и Вы сделали задачу «по образцу» аудиторной задачи, или из
методического пособия, нужно после решения такой задачи обдумать ход решения и
опробовать решить аналогичную задачу самостоятельно.
7. Методические рекомендации по выполнению учебных проектов.
Учебные проекты готовятся студентами индивидуально или небольшими группами по 2-3
человека. По результатам разработки проекта готовится презентация в Microsoft
PowerPoint (10-15 слайдов) и доклад (в пределах 5 минут). На слайды презентации
рекомендуется выносить рисунки, таблицы, схемы, в виде текста только основные
положения доклада.
Студенты выбирают темы учебных проектов согласно порядковому номеру в журнале.
Структура презентации учебного проекта студентов данных специальностей:
титульный лист (1 слайд);
теоретическая часть, раскрывающая суть темы (8-13 слайдов);
заключение, в котором излагаются собственные выводы и предложения
автора (1 слайд).
Защита проекта происходит в форме краткого доклада на занятии и ответов на вопросы
преподавателя и студентов по данному докладу. Критериями оценки учебных проектов
являются оформление, содержание (концептуальность, логичность и конструктивность
работы) и форма подачи (доклад, ответы на вопросы).
10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
В процессе лекционных и семинарских занятий используется следующее про
граммное обеспечение:
- программы, обеспечивающие доступ в сеть Интернет (например, «Google chrome»);
66
- программы, демонстрации видео материалов (например, проигрыватель « Windows
Media Player»);
- программы для демонстрации и создания презентаций (например, «Microsoft
PowerPoint»).
11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
1. Компьютерный класс, оснащенный современной техникой (PENTIUM 3,
PENTIUM 4, INTEL CORE 2)
2. LCD – проектор EPSON EMP-X3;
3. Ноутбук ASUS A6RP;
4. Экран для проектора ЭКСКЛЮЗИВ MW 213*213.
67