АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
Рассмотрены и утверждены на заседании
кафедры математических и естественнонаучных дисциплин,
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Зав. кафедрой___________/ Т.Ю.Ходаковская /
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
I.
Теоретические вопросы
1. Задание множеств. Упорядоченность. Равенство множеств ОК-10
2. Объединение. Пересечение. Симметрическая разность. Дополнение ПК-2
3. Декартово произведение. Отношения. ПК-2
4. Отношения эквивалентности. ОК-1, ОК-10
5. Функции ОК-1, ОК-10
6. Мощности и кардинальные числа множеств. ОК-1, ОК-10
7. Виды графов. Подграфы. ОК-10, ПК-5
8. Смежность, инцидентность. Степени вершин. ПК-2
9. Матрицы ассоциированные с графами. ОК-10
10. Маршруты, цепи и циклы. ПК-2
11. Расстояние между вершинами. Диаметр и радиус графа. ПК-2
12. Операции над графами. Дополнение графа. ОК-10
13. Раскраска графа ОК-10
14. Связность в неориентированных графах и орграфах. ОК-10
15. Нахождение компонент связности ОК-10
16. Обходы графов ОК-10
17. Графы и бинарные отношения ОК-1, ОК-10
18. Нахождение кратчайших маршрутов ОК-1, ОК-10
19. Свободные деревья ОК-10, ПК-2
20. Ориентированные деревья ОК-10
21. Упорядоченные деревья ОК-10, ПК-2
22. Бинарные деревья ОК-10
23. Деревья сортировки ОК-10
24. Циклы (фундаментальные циклы) ОК-1
25. Коциклы ОК-10
26. Булевы функции. Способы задания. ОК-10
27. Булевы функции одной и двух переменных и их свойства. ОК-10
28. Формулы булевой алгебры. Основные законы булевой алгебры. ПК-2
29. Эквивалентность формул. Принцип двойственности ПК-2
30. Совершенные дизъюктивные (СДНФ) и совершенные конъюктивные
нормальные формы (СКНФ). ПК-2
31. Переход от СДНФ к СКНФ и наоборот. ПК-2
32. Геометрическое представление булевых функций ПК-2
33. Полином Жегалкина. Определение функционально полной системы
элементарных булевых функций. ПК-2
34. Важнейшие замкнутые классы. Теорема о функциональной полноте.
35. Алгебраические структуры; ОК-10
36. Решетки. Ограниченные решетки. Решетки с дополнением. Частичный
порядок в решетке. ПК-2
37. Матроиды. Максимальные независимые подмножества. Базисы. Ранг. ПК-2
II. Практические вопросы
1. Определить общезначимость, выполнимость и число моделей полученных
формул.ПК-2
2. Задать и выполнить операции на графе. ОК-10, ПК-2
3. Определить вершинную и реберную связность графов. ОК-10, ПК-2
4. Упорядочить дерево. ОК-10, ПК-2
5. Определить количество циклов (коциклов) в дереве. ОК-10, ПК-2
6. Преобразовать функцию в КНФ. ОК-10, ПК-2
7. Преобразовать функцию в СКНФ. ОК-10, ПК-2
8. Преобразовать функцию в ДНФ. ОК-10, ПК-2
9. Преобразовать функцию в СДНФ. ОК-10, ПК-2
10. Минимизировать функцию с помощью карт Карно. ОК-10, ПК-2
11. Построить полином Жегалкина для заданной функции. ОК-10, ПК-2
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий социально-гуманитарных дисциплин
__________________ С.Ю. Завалишина
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ ДЛЯ
ДИСЦИПЛИНЫ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
1. Перечислите элементы следующего множества В ={x | x  Z и 6х2 + х – 1 = 0}(ОК15, ОК-17, ОК-18).
2. Запишите булеан Р(А) множества А = {0,-1, -2, -3}(ОК-15).
3. Задайте с помощью характеристического свойства множество А = {2, 5, 8, 11, …}(
ОК-18).
4. Для заданного множества A  U составить характеристический вектор:
U={1,2,3,…,20}, A={x| 5|(x+3) }(ОК-15, ОК-17, ОК-18).
5. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду с
помощью основных законов алгебры множеств: ( A  B)  ( B \ A)  ( A \ B)  B  A
(ОК-15, ОК-17).
6. Доказать тождество (тремя способами): ( А  В )  А  В (ОК-15,).
7. Доказать тождество: ( А  В)  С  ( А  С )  ( В  С ) (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
8. Составьте
матрицу
данного
бинарного
отношения:
2
2
2
  1,2,3...,7 , ( x, y )    x  y (ОК-15, ОК-18).
Бинарное отношение между множествами А = {1, 2, 3, 4} и В = {а, b, c, d} задано
1 0 0 1  матрицей. Выпишите элементы этого отношения и постройте его

 изображение (ОК-15, ОК-17).
1 1 1 0 
9. Дано бинарное отношение   ( x, y ) x, y  N , y x , найдите
0 1 0 1 


 0 0 1 0  D , E , ,  1,    ,  1   (ОК-15, ОК-17).


10. Является ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным,
транзитивным?   Z 2 ; ( x, y)    ( x2  y)  2 (ОК-15).
11. Бинарное отношение между множествами А = {1, 2, 3, 4} и В = {а, b, 1 0 0 1 


c, d} задано матрицей. Выпишите элементы этого отношения и  0 1 1 0 
постройте его изображение. Проверьте, является ли это отношение  0 1 1 1 


рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным? 1 0 1 1 
Найдите его области определения и значений (ОК-15, ОК-17).
12. Является ли данная функция инъективной? Сюръективной? Биективной? Почему?
Постройте ее график. f: R→R, f(x)=lnx-1(ОК-15).
13. В = {1, 2, 3, 4},   В 2 . Изобразите  графически. Проверьте с помощью матрицы
является ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным,
транзитивным?   (1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (3,2), (3,4), (4,4)(ОК-15, ОК-17,
ОК-18).
14. Построить следующие бинарные отношения (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
А) рефлексивное, симметричное , не транзитивное;
б) не рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное;
в) рефлексивное, не симметричное, транзитивное.
16.Доказать, что отношение {(a, b) | (a – b) – рациональное число} является
отношением эквивалентности на множестве натуральных чисел(ОК-18).
17.К каким типам (эквивалентности; строгого, нестрогого, линейного порядка)
относятся данные отношения (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
1)
отношение равносильности на множестве формул;


2)
отношения ≤ и < на множестве векторов длины n с
компонентами из N, определяемые следующим образом:
а) (a1, …, an) ≤ (b1, …, bn), если a1 < b1, … , an < bn;
б) (a1, …, an) < (b1, …, bn), если (a1, …, an) ≤ (b1, …, bn) и хотя бы для одной
координаты i выполняется ai < bi;
3) отношение предшествования слов упорядоченного конечного алфавита.
18.Проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна следующие разбиения множества
U(ОК-15).
1) А, А
 
2) А  В, А  В, А  В, А  В
3) А \ B, A  B, B \ A.
19.Построить диаграмму Хассе для отношения  на булеане Р(А), где А={1, 2, 3}(
ОК-17, ОК-18).
20.Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых состоит из трех согласных и двух
гласных, можно образовать из букв слова уравнение? (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
21.Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир? 2)
Сколько среди них таких, которые не содержат буквы р? 3) Сколько таких, которые
начинаются с буквы с и оканчиваются буквой р? (ОК-15).
22.Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв слова
перестановка? Сколько из них начинается с буквы п и оканчивается буквой а? (ОК15).
23.Сколько сигналов можно подать пятью различными флажками, поднимая их в
любом количестве и в произвольном порядке? (ОК-17, ОК-18).
24.Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых.
Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15
рядовых? (ОК-15).
25.Найти число всех подмножеств множества Х, если Х содержит k элементов. (ОК-15,).
26.Сколькими способами можно выбрать 2 стандартные и 1 нестандартную детали из
40 деталей, среди которых имеются 10 нестандартных? (ОК-17, ОК-18).
27.Сколько существует различных трехзначных чисел? (ОК-15).
28.По n ящикам случайно распределяются n шаров. Считая, что ящики и шары
различимы, найти вероятности следующего события: два ящика пустых = А2 (ОК-15,
ОК-17, ОК-18).
29.Саша Иванов - средний студент и обычно дает правильные ответы лишь на
половину экзаменационных билетов. На очередном экзамене Саша на билет ответил и
получил положительную оценку. Какие события можно считать случайными: а) Саше
попался «хороший» билет – событие А; (ОК-15).
б) Саша ответил на билет – событие В; в) Саша сдал экзамен – событие С.
30.Саша и Маша разыгрывают билет на концерт. Какие из следующих событий можно
считать случайными? а) Только Саша выиграл билет – событие А; б) Только Маша
выиграла билет – событие В; в) Саша или Маша выиграли билет – событие С; г) Оба
выиграли билет – событие D. (ОК-17, ОК-18).
31.Рассмотрим работу столовой, в плане обслуживания клиентов. Моменты прихода
посетителей (событие А), время, затрачиваемое клиентами на обед (событие В) –
можно ли считать случайными событиями; а процесс обслуживания клиентов –
случайным процессом? (ОК-15).
32.В урне из n шаров - k красных и (n - k) черных. Наудачу извлекаем без возвращения
r шаров. Какова вероятность того, что в выборке из r шаров s шаров – красных? (ОК15, ОК-17, ОК-18).
33.Вычислить вероятность того, что для наудачу взятого значения
х    ),
значение y  0,5  sin x существует. (ОК-15).
34.Два друга договорились встретиться между 12 и 13 часами. Пришедший первым
ждет второго в течении 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность, что встреча
произойдет, если каждый наудачу выбирает время своего прихода в промежутке от12
до 13 часов. (ОК-17, ОК-18).
35.Применяя формулу полной вероятности, вычислить вероятность того, что при
подбрасывании симметричного кубика выпадет четная грань. (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
36.Разложите в сумму выражение (3у+2)4 (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
37.Разложить в ряд (а + в + с)3(ОК-15).
38.Сколько положительных целых чисел от 70 до 950 делится ровно на одно из чисел:
1) 7, 11 или 13 2) 3, 5 или 17.
39.Найти кратчайший путь, построить кратчайшее остовное дерево для следующих
2
7
графов(ОК-15, ОК-17, ОК-18).
.
4
2
4
1
2
2
3
1
3
6
4
5
9
2
1
3
5
3
5
3
6
5
2
4
5
1
3
1
8
3
2
3
4
4
8
1
6
7
7
3
3
6
6
6
3
2 5 6
4
8
1
8
7
7
3
1
4
4
3
5
5
2
40.По заданной матрице смежности построить изображение графа(ОК-15, ОК-17, ОК-18).
0 1 1 1 1
1 1 0 1 0
0 1 1 0 1






1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
: AG   1 1 0 2 0  AG   0 1 1 2 0  AG   1 1 0 1 0 






1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1
3 0 0 0 1
1 0 0 0 0






41.По заданной матрице инцидентности построить изображение графа: (ОК-15).
 1 1 1

1 0 0
BG   0 1
0

 0 0 1
0 0 0

1 0 0

0 1
0
0  1  1

0 0 1
0 0 0 
 1 1 1 1 0

1 0 0 0 1
BG   0 1
0 0 1

0 0
0 0 1
0 0 0 1
0

0

0
0

1
0 
42.Построить таблицу истинности, СДНФ, СКНФ, полином Жегалкина для следующих
булевых функций, заданных формулами (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
1) ( x  y )  x  z  ( x  y ),
2) x ( z ( y  x  z )),
3) ( x  y  z )  ( x  y )  ( x  z ) ,
4) ( x  y )  ( x  z )  y ,
5) xy  ( y  xz ) ,
6) (( x1  x2 x3 )  ( x2 x4  x3 )  x1 x4 )  x1 ,
7) (( x1  x2 )  x3 )  x1 ,
8) (( x3  x2 )  x1 )  ( x2  x1 ) x3 x1  x3 ,
9) ( x1  ( x1  x2 ))  x3 ,
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
( x  y )  xz  ( y  z ) ,
( x  y  z )  t  x yz ,
( x  y  z )  t  x yz ,
( x  y)  ( x  z ) ,
xy  xz  yt  zt ,
( x  y)  (( x  y)  ( x  yz )) ,
( x  y  ( yz  1))  ( y  x) ,
( x1  x2 )  ( x2  x1 )  x3 ,
(( x  y )  z )  ( x  yz ) ,
(( x  y )  ( x  y ))  (( x  y )  ( x  y ))  z ,
( x  y )  xz  ( y  z ) ,
( x  y  z )  t  x yz ,
( x  y)  ( x  z ) ,
( x  y  z )  t  x yz ,
( x1  x2 )  ( x2  x1 )  x3 ,
25) (x1  x2 )  x3  x2 .
43.Проверить на полноту следующие системы булевых функций (ОК-15, ОК-17, ОК18).
1) x  y, x  y  z ,
2) x  y, (1100001100111100),
3) 0, xy  xz  yz, xy  z,
4) (1011), (1111110011000000),
5) xy, x  yz,
6) 0,1, x( y  z)  x ( y  z),
7) (01101001), (10001101), (00011100),


8)
(0010), (1010110111110011).
44.Используя метод Квайна и карты Карно, найти МДНФ И МКНФ формул(ОК-15, ОК17, ОК-18).
1) x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3
2) x y z  x y z  x yz  xy z  xyz
3) x y z  x y z  xy z  xyz
45.Являются ли схемы данного алфавитного кодирования префиксными? Взаимно
однозначными? (ОК-17, ОК-18).
1) (a  0, b  10, c  011, d  1011, e  1111)
2) (a  0, b  10, c  20)
3) (a  01, b  021, c  12, d  0102, e  10112)
46.Построить префиксное алфавитное кодирование с минимальной избыточностью для
алфавита a, b, c, d  со следующими распределениями вероятностей появления букв(ОК17, ОК-18).
:
1) р0 = ½, р1 = ¼, р3 = р4 = ⅛;
2) р0 = 0,4, р1 = 0,25, р3 = 0,2, р4 = 0,15;
3) р0 = 0,1, р1 = 0,45, р3 = 0,22, р4 = 0,23.
47.Минимизировать конечный автомат (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
6.3 Тесты
Тест №1
1. Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?
а) будет собственным подмножеством;
б) будет несобственным подмножеством;
в) не будет никаким подмножеством.
2. Что есть множество А\В, если А - множество всех книг в библиотеке института по
различным отделам науки и искусства, а В - множество всех книг во всех библиотеках
России?
а) множество математических книг в России без математических книг в института;
б) множество книг в библиотеке института по искусству и науке, кроме математических.
в) другое множество (укажите какое)
3. Совпадают ли дистрибутивные законы Булевой алгебры и алгебры действительных
чисел.
а) оба совпадают;
б) оба не совпадают;
в) один совпадает, другой – нет (какой именно).
4. Вытекает ли из равенства А\В=С что А=В∪С?
а) да;
б) нет;
в) вообще нет, но в частном случае да. (В каком случае?)
5. Есть ли законы для дополнений в алгебре действительных чисел?
а) да (укажите их);
б) нет;
в) некоторых нет, а некоторые есть (укажите их).
6. Справедливы ли законы идемпотентности Булевой алгебры в алгебре действительных
чисел? (Ответ обоснуйте.)
а) справедливы;
б) несправедливы;
в) один справедлив, другой нет.
7. Обладают ли свойством двойственности формулы поглощения?
а) да;
б) нет;
в) одна обладает, другая нет (какая именно).
8. Можно ли поставить в соответствие единицу или ноль соответственно универсальному
и пустому множеству, исходя из свойств операций? Если да, то, о каких операциях идёт
речь.
а) можно;
б) единицу - можно, ноль - нет;
в) ноль - можно, единицу - нет.
9. Обладают ли формулы склеивания свойством двойственности
а) нет;
б) да;
в) одна обладает, другая нет (какая именно).
10. Будет ли каждое из множеств A, В, С, D подмножеством другого (т.е. можно ли из них
составить цепочку вложенности из этих множеств), если A - множество действительных
чисел, B - множество рациональных чисел, С - множество целых чисел, D - множество
натуральных чисел.
а) да;
б) нет;
в) лишь некоторые из множеств являются подмножествами перечисленных множеств.
(Какие именно.)
Тест №2
1. Задано отображение f множества Х в Y. X={x1, x2, x3, x4} Y={y1, y2, y3}: f(x1)=y1,
f(x2)= y2, f(x3)= y2, f(x4)= y3, Будет ли это отображение f
а) сюръективно;
б) инъективно;
в) биективно.
2. Можно ли в любом бесконечном множестве выделить счетное подмножество?
а) нельзя;
б) можно;
в) можно, но не всегда (когда именно).
3. Выделим в бесконечном множестве М счетное подмножество А⊂М. В каком
отношении находятся мощности множеств М \ А и М?
а) мощность М \ А < мощности М;
б) мощность М < мощности М \ А;
в) мощность М = мощности М \ А.
4. Отношение "быть старше": "х старше у" является
а) рефлексивным;
б) симметричным;
в) асимметричным.
5. Отношение "х - победитель у" является
а) антирефлексивным;
б) симметричным;
в) транзитивным.
6. Каково максимально возможное число классов, на которое можно разбить сумму трех
пересекающихся множеств, не прибегая к произвольному делению отдельных областей на
диаграммах Эйлера-Венна?
а) 3;
б) 5;
в) 7.
7. Если отношение A на множестве М рефлексивно, симметрично и транзитивно, можно
ли разбить множество М на классы?
а) да;
б) нет;
в) можно, но не всегда (когда именно).
8. Пусть на множестве М задано отношение A: "х знаком с у". Почему нельзя разбить
множество М на классы?
а) отношение A не рефлексивно;
б) отношение A не симметрично;
в) отношение A не транзитивно.
9. Почему множество действительных чисел и множество натуральных чисел не являются
подобными?
а) множество натуральных чисел неупорядочено;
б) множество действительных чисел неупорядочено;
в) нет биективного соответствия между множествами.
10. Почему множество М точек отрезка [0, 1] не является вполне упорядоченным
множеством?
а) М не упорядочено;
б) не все подмножества М содержат первый элемент;
в) ни одно из подмножеств М не содержат первый элемент.
Тест №3
1. Следующее высказывание может быть интерпретировано как сложное высказывание:
"Неверно, что первым пришел Петр или Павел". Каковы составляющие его элементарные
высказывания?
а) А: "Неверно, что первым пришел Петр"
В: "Неверно, что первым пришел Павел";
б) А: "Первым пришел Петр"
В: "Неверно, что первым пришел Павел";
в) А: "Первым пришел Петр"
В: "Первым пришел Павел".
2. Какой из формул может быть записано высказывание предыдущего вопроса?
а) ;
б) ;
в) .
3. Будет ли высказывание S=(А→В)∧(В→С)→(А→С):
а) тождественно истинным;
б) тождественно ложным;
в) переменным.
4. Каково значение Х, определяемое уравнением =B ?
а) Х =В;
б) В;
в) В \ А.
5. Чему равносильна конъюнкция контроппозиции и ее конверсии?
а) импликации;
б) конверсии импликации;
в) двойной импликации.
6. В высказывании S: "Треугольники равны только тогда, когда равны их стороны".
Равенство углов в треугольнике является:
а) необходимым условием;
б) достаточным условием;
в) необходимым и достаточным условием.
7. Какая из функций соответствует формуле (см. табл.). S = x1 → x2 ∧ x3 ?
x1 0 0 0 0 1 1 1 1
x2 0 0 1 1 0 0 1 1
x3 0 1 0 1 0 1 0 1
f1; 1 1 0 1 1 0 1 1
f2 0 0 0 1 0 0 0 1
а) f1;
б) f2;
в) ни f1, ни f2 (тогда напишите таблицу для правильного результата)
8. Какая из переменных х1, х2, х3 является фиктивной в формуле f, где f задана условием
f(0,0,1)=f(0,0,0)? На остальных наборах значений переменных f принимает значение
истинно.
а) х1;
б) х2;
в) х3.
9. Какие из переменных х1, х2 в функции f15 (табл. 3.11) являются фиктивными?
а) х1 - существенная переменная;
б) х2 - существенная переменная;
в) обе переменные х1 и х2 - фиктивные.
10. Какие из пар связок образуют полную систему связок?
а) (∨, );
б) (∨, →);
в) (∧, →).
Тест №4
1. Даны два высказывания S1: " Если треугольники равны, то равны их стороны", S2:
"Стороны треугольников равны тогда и только тогда, когда равны треугольники".
Существует ли отношение следствия между S1 и S2?
а) из S1 следует S2;
б) из S2 следует S1;
в) ни одно из высказываний не следует из другого.
2. Если между высказываниями S1 и S2 существует отношение следствия, являются ли эти
высказывания совместимыми?
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
3. Если из высказывания S1 следует S2 и, наоборот, из S2 следует S1, являются ли
высказывания S1 и S2 эквивалентными?
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
4. Если высказывания эквивалентны, существует ли между ними отношения следствия?
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
5. Могут ли быть при правильном рассуждении все посылки истинными, если заключение
ложно?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
6. Существует ли СКНФ у тождественно истинной формулы алгебры высказываний?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
7. Существует ли СДНФ у невыполнимой формулы?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
8. Каково множество истинности у невыполнимой формулы?
а) "U" - универсальное;
б) "V" - пустое;
в) некоторое множество A, не являющееся ни пустым, ни универсальным.
9. Сколько единиц имеет полная элементарная конъюнкция?
а) ни одной;
б) одну;
в) несколько.
10. Сколько нулей имеет полная элементарная дизъюнкция?
а) один;
б) ни одного;
в) несколько.
Тест №5
1. Сколько слагаемых содержит СДНФ, построенная по функции f(x1, x2, x3) заданной
так, что на всех наборах значений переменных x1, x2, x3 она принимает значение 1?
а) 2;
б) 4;
в) 8.
2. Сколько сомножителей содержит СКНФ, построенная по функции f(1,1,1) = f(1,0,1) = 0?
а) 2;
б) 4;
в) 8.
3. Можно ли для функции f(x1, x2, x3) заданной так, что на всех наборах значений
переменных x1, x2, x3 она принимает значение 0, построить какую-либо совершенную
нормальную форму?
а) можно СДНФ;
б) можно СКНФ;
в) нельзя построить ни одной совершенной нормальной формы.
4. Можно ли некоторое высказывание записать в виде релейно-контактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) иногда можно, иногда нет.
5. Могут ли две релейно-контактные схемы, соответствующие одной и той же функции
проводимости, иметь различное число реле?
а) да;
б) нет; если функция проводимости особенная (какая именно)
в) никогда не могут.
6. Имеем формулу , выводимую из формул 1, 2, … n, т.е. 1, 2, … n  .
Являются ли выводимыми формулы 1, 2, … n?
а) да;
б) нет;
в) некоторые из них выводимы, некоторые нет (какие именно).
7. Если формула  выводима из аксиом исчисления высказываний, какой она является как
формула алгебры высказываний?
а)  является тождественно истинной;
б)  является тождественно ложной;
в)  - переменное высказывание.
8. Является ли противоречивым некоторое исчисление (формальная аксиомати¬ческая
система), если оно имеет некоторую содержательную интерпретацию?
а) противоречиво;
б) непротиворечиво;
в) может быть и тот, и другой вариант.
9. Формула  есть тождественно истинная формула алгебры высказываний. Будет ли 
выводима из аксиом как формула исчисления высказываний?
а)  выводима;
б)  не выводима;
в) может быть и тот, и другой вариант.
10. Можно ли какую-либо аксиому исчисления высказываний вывести из остальных
аксиом?
а) некоторую аксиому можно, некоторую нельзя (приведите примеры);
б) все можно;
в) все нельзя.
Тест №6
1. Сколько несобственных подмножеств имеет конечное множество, состоящее из n
элементов?
а) 1 (что это за множество?);
б) 2 (что это за множества?);
в) n.
2. Сколько собственных подмножеств имеет конечное множество Х={х1, х2, … хn}?
а) n-1;
б) nn=n2;
в) 2n-2.
3. В каком порядке нужно производить операции, преобразовывая формулу ?
а) ;
б) ;
в) .
4. Пусть n(A∪B) - мощность множества, являющегося объединением конечных множеств
А и В, m1= n(A∪B), если множества пересекаются, т.е. А∩В≠0 и m2=n(A∪B), если
A∩B=0. Равны ли мощности m1 и m2?
а) m1 = m2;
б) m1 > m2;
в) m1 < m2.
5. Мощность какого множества больше Х или Y, если Х - исходное конечное множество,
Y - множество подмножеств множества Х?
а) мощность Х больше мощности Y;
б) мощность Х меньше мощности Y;
в) мощность Х равно мощности Y.
6. Существует ли среди бесконечных множеств множества наименьшей и наибольшей
мощности?
а) существуют множества как наибольшей, так и наименьшей мощности;
б) существует множество наибольшей, а наименьшей мощности нет;
в) существует множество наименьшей, а наибольшей мощности нет.
7. Является ли сюръективное отображение инъективным?
а) сюръективное отображение всегда инъективно;
б) сюръективное отображение - неинъективно;
в) сюръективное отображение может быть инъективным, но может и не быть им
(приведите примеры).
8. Всегда ли биективное отображение сюръективно?
а) всегда;
б) никогда;
в) может быть сюръективным, но может и не быть им (приведите примеры).
9. Когда сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств является
конечным множеством?
а) в случае конечного числа суммы счетных множеств;
б) в случае счетного числа суммы конечных множеств;
в) в случае конечного числа суммы конечных множеств.
10. Если к некоторому бесконечному множеству М прибавить счетное множество A, будет
ли отличаться мощность полученного множества М∪А от мощности множества М?
а) мощность множества М равна мощности множества М∪А;
б) мощность множества М меньше мощности множества М∪А;
в) мощность множества М больше мощности множества М∪А.
11. Может ли конечное множество A содержать собственное подмножество,
эквивалентное всему множеству A ?
а) всегда содержит;
б) никогда не содержит;
в) иногда содержит, иногда нет (приведите примеры).
12. Отсутствием какого из свойств отношений отличаются отношение толерантности от
отношения эквивалентности?
а) рефлексивности;
б) симметрии;
в) транзитивности.
13. Какие из высказываний S1, S2, S3, состоящих из двух элементарных A и B,
равносильны? S1:“Если A, то не B”. S2:“А или не B”. S3:”Неверно, что A и B”.
а) S1=S2;
б) S1=S3;
в) S2=S3.
14. Что означает высказывание “А только, если B”?
а) А достаточно для B;
б) А необходимо для B;
в) А необходимо и достаточно для В.
15. Чему равносильна конъюнкция импликации и её конверсии (ответ поясните)?
а) контроппозиции;
б) конверсии контроппозиции;
в) двойной импликации.
16. Какая формула соответствует функции f(х1, х2): f(1,1)=1?
а) x1→х2;
б) х1∨х2;
в) х1∧х2.
17. Какие из переменных функций f(х1, х2) являются существенными, если f(х1, х2):
f(1,i)=0
а) x1;
б) х2;
в) обе переменные фиктивны.
18. С помощью какой связки можно записать любую формулу алгебры высказываний?
а) с помощью дизъюнкции;
б) с помощью конъюнкции;
в) с помощью штриха Шеффера.
19. Если множество истинности высказывания A есть подмножество множества
истинности высказывания B, существует ли отношения следствия между A и B?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
20. Если высказывания A и B несовместимы, что можно утверждать о множествах
истинности этих высказываний?
а) множество истинности A есть подмножество множества истинности высказывания B;
б) множества истинности A и B совпадают;
в) множество истинности A и B не пересекаются.
21. Если высказывания A и B несовместимы, существует ли между ними отношение
следствия?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
22. Если при проверке правильности рассуждения получен результат PQ  0, где P конъюнкция посылок, Q - заключение. Означает ли это, что рассуждение правильно?
а) да;
б) нет;
в) может быть правильным в одних случаях и неправильным в других (в каких именно).
23. Каково максимальное число слагаемых СДНФ для формулы S(х1, ... хn)  1?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
24. Каково максимальное число сомножителей СКНФ невыполнимой формулы S(х1, ... хn)
?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
25. Если СДНФ формулы S(х1, х2, х3) содержит 3 слагаемых, сколько сомножителей
содержит ее СКНФ?
а) 3;
б) 4;
в) 5.
26. Соответствуют ли различные релейно-контактные схемы одному и тому же
высказыванию?
а) всегда;
б) никогда;
в) могут соответствовать, могут не соответствовать (когда могут, а когда нет).
27. Могут ли равносильные высказывания быть записаны в виде некоторой релейноконтактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) могут, но не всегда (когда могут, а когда нет).
28. Если исчисление противоречиво, имеет ли оно некоторую содержательную
интерпретацию?
а) имеет;
б) не имеет;
в) имеет, но не всегда (когда имеет, а когда нет).
29. Если исчисление является полным, можно ли какую-либо, не выводимую в этом
исчислении формулу добавить к аксиомам так, чтобы исчисление осталось
непротиворечивым?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
30. Если система аксиом некоторого исчисления независима, можно ли какие-либо
аксиомы вывести из других?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
Тест №7
1. Сколько несобственных подмножеств имеет конечное множество, состоящее из n
элементов?
а) 1 (что это за множество?);
б) 2 (что это за множества?);
в) n.
2. Сколько собственных подмножеств имеет конечное множество Х={х1, х2, … хn}?
а) n-1;
б) nn=n2;
в) 2n-2.
3. В каком порядке нужно производить операции, преобразовывая формулу ?
а) ;
б) ;
в) .
4. Пусть n(A∪B) - мощность множества, являющегося объединением конечных множеств
А и В, m1= n(A∪B), если множества пересекаются, т.е. А∩В≠0 и m2=n(A∪B), если
A∩B=0. Равны ли мощности m1 и m2?
а) m1 = m2;
б) m1 > m2;
в) m1 < m2.
5. Мощность какого множества больше Х или Y, если Х - исходное конечное множество,
Y - множество подмножеств множества Х?
а) мощность Х больше мощности Y;
б) мощность Х меньше мощности Y;
в) мощность Х равно мощности Y.
6. Существует ли среди бесконечных множеств множества наименьшей и наибольшей
мощности?
а) существуют множества как наибольшей, так и наименьшей мощности;
б) существует множество наибольшей, а наименьшей мощности нет;
в) существует множество наименьшей, а наибольшей мощности нет.
7. Является ли сюръективное отображение инъективным?
а) сюръективное отображение всегда инъективно;
б) сюръективное отображение - неинъективно;
в) сюръективное отображение может быть инъективным, но может и не быть им
(приведите примеры).
8. Всегда ли биективное отображение сюръективно?
а) всегда;
б) никогда;
в) может быть сюръективным, но может и не быть им (приведите примеры).
9. Когда сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств является
конечным множеством?
а) в случае конечного числа суммы счетных множеств;
б) в случае счетного числа суммы конечных множеств;
в) в случае конечного числа суммы конечных множеств.
10. Если к некоторому бесконечному множеству М прибавить счетное множество A, будет
ли отличаться мощность полученного множества М∪А от мощности множества М?
а) мощность множества М равна мощности множества М∪А;
б) мощность множества М меньше мощности множества М∪А;
в) мощность множества М больше мощности множества М∪А.
11. Может ли конечное множество A содержать собственное подмножество,
эквивалентное всему множеству A ?
а) всегда содержит;
б) никогда не содержит;
в) иногда содержит, иногда нет (приведите примеры).
12. Отсутствием какого из свойств отношений отличаются отношение толерантности от
отношения эквивалентности?
а) рефлексивности;
б) симметрии;
в) транзитивности.
13. Какие из высказываний S1, S2, S3, состоящих из двух элементарных A и B,
равносильны? S1:“Если A, то не B”. S2:“А или не B”. S3:”Неверно, что A и B”.
а) S1=S2;
б) S1=S3;
в) S2=S3.
14. Что означает высказывание “А только, если B”?
а) А достаточно для B;
б) А необходимо для B;
в) А необходимо и достаточно для В.
15. Чему равносильна конъюнкция импликации и её конверсии (ответ поясните)?
а) контроппозиции;
б) конверсии контроппозиции;
в) двойной импликации.
16. Какая формула соответствует функции f(х1, х2): f(1,1)=1?
а) x1→х2;
б) х1∨х2;
в) х1∧х2.
17. Какие из переменных функций f(х1, х2) являются существенными, если f(х1, х2):
f(1,i)=0
а) x1;
б) х2;
в) обе переменные фиктивны.
18. С помощью какой связки можно записать любую формулу алгебры высказываний?
а) с помощью дизъюнкции;
б) с помощью конъюнкции;
в) с помощью штриха Шеффера.
19. Если множество истинности высказывания A есть подмножество множества
истинности высказывания B, существует ли отношения следствия между A и B?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
20. Если высказывания A и B несовместимы, что можно утверждать о множествах
истинности этих высказываний?
а) множество истинности A есть подмножество множества истинности высказывания B;
б) множества истинности A и B совпадают;
в) множество истинности A и B не пересекаются.
21. Если высказывания A и B несовместимы, существует ли между ними отношение
следствия?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
22. Если при проверке правильности рассуждения получен результат PQ  0, где P конъюнкция посылок, Q - заключение. Означает ли это, что рассуждение правильно?
а) да;
б) нет;
в) может быть правильным в одних случаях и неправильным в других (в каких именно).
23. Каково максимальное число слагаемых СДНФ для формулы S(х1, ... хn)  1?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
24. Каково максимальное число сомножителей СКНФ невыполнимой формулы S(х1, ... хn)
а) n;
б) n2;
в) 2n .
25. Если СДНФ формулы S(х1, х2, х3) содержит 3 слагаемых, сколько сомножителей
содержит ее СКНФ?
а) 3;
б) 4;
в) 5.
26. Соответствуют ли различные релейно-контактные схемы одному и тому же
высказыванию?
а) всегда;
б) никогда;
в) могут соответствовать, могут не соответствовать (когда могут, а когда нет).
27. Могут ли равносильные высказывания быть записаны в виде некоторой релейноконтактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) могут, но не всегда (когда могут, а когда нет).
28. Если исчисление противоречиво, имеет ли оно некоторую содержательную
интерпретацию?
а) имеет;
б) не имеет;
в) имеет, но не всегда (когда имеет, а когда нет).
29. Если исчисление является полным, можно ли какую-либо, не выводимую в этом
исчислении формулу добавить к аксиомам так, чтобы исчисление осталось
непротиворечивым?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
30. Если система аксиом некоторого исчисления независима, можно ли какие-либо
аксиомы вывести из других?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
Тест №8
Тест №9
Тест №10
Тест №11
Тест №12
Тест №13
1.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0 1 0 0 0 1 0 1


1 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1


1 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1 0


Найти радиус r(G) графа.
2.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0
1
0
0
0
1
 10



0
1
1
0

1

0
1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1
Найти диаметр d(G) графа.
3.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0
1
1

0
0
0
0
0

1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0

0

0

0
1
1

0
Найти радиус r(G) графа.
4.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0
1
1

0
0
0
0
0

1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0

0

0

0
1
1

0
Найти диаметр d(G) графа.
5.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных деревьев с 6 вершинами?
6.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных связных графов с 5 вершинами и 4 ребрами?
7.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных связных графов с 5 вершинами и 5 ребрами?
8.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является необходимым для того, чтобы связный
граф с n вершинами был планарным ( m – число ребер):
a. m  3n  6
b. m  3n  6
c. m = 8 при n = 6
d. m < 19 при n = 8
e. m  3n
9.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является достаточным для того, чтобы граф с n
вершинами был планарным ( m – число ребер):
a. m  3n  6
b. граф не содержит подграфа, гомеоморфного графу K 33 , и подграфа,
гомеоморфного графу K 5
c. m = n – 1, и граф связный
d. граф не содержит подграфа, изоморфного графу K 33
e. m = 5 при n = 7
10.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является достаточным для того, чтобы граф с n
вершинами не был планарным ( m - число ребер):
a. граф содержит подграф, изоморфный графу K 5
b. m = 10 при n = 20
c. граф содержит подграф, гомеоморфный графу K 6
d. m  3n
e. m = 10 при n = 5
11.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является деревом. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения)
a. число ребер m = n - 1
b. граф связный
c. граф не содержит циклов
d. граф планарный
e. граф не эйлеров
f. есть вершина степени 1
g. есть вершина степени больше 1
12.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является несвязным. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения.)
a. число компонент связности всегда равно 2
b. число компонент связности может быть равно 2
c. степень каждой вершины не превосходит n - 2
d. число компонент связности больше 1
e. граф не может быть двудольным
f. граф планарный
g. граф не может быть деревом
13.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является двудольным. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения.)
a. в нем нет циклов четной длины
b. в нем могут быть циклы четной длины
c. в нем все циклы имеют четную длину
d. граф связный
e. степень каждой вершины не превосходит n - 2
f. граф содержит цикл, если каждая доля содержит не менее двух вершин
g. граф планарный
14.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
15.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
16.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
17.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
18.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
19.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
20.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
21.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
22.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
23.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
24.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
25.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
26.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (2 2 1 1 4 4 3 3)
b. P(t) = (1 2 1 2 3 4 3 4)
c. P(t) = (1 1 4 2 2 4 3 3) (+10 баллов)
27.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (1 2 3 4 5 6 6 7)
b. P(t) = (1 2 3 4 5 5 6 7)
c. P(t) = (1 2 3 4 5 6 7 7)
28.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (1 1 1 2 2 2 3 3)
b. P(t) = (3 3 1 1 1 2 2 2)
c. P(t) = (1 2 3 1 2 3 1 2 )
29.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  0111 , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
линейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
30.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  0110  , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
линейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
31.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  1011 , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
нелинейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
32.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  x  y  z определить, является ли она:
a. линейной
b. монотонной
c. самодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
33.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  xy  z  1 определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
линейной
немонотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
34.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  xy  xz определить, является ли она:
a. линейной
b. монотонной
c. несамодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
35.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {f, g, h} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
36.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {F, G, H} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
37.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {f, g, h} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
38.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
T0 S  T1
a. да
b. нет
39.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
T0T1 L  S
a. да
b. нет
40.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
MS  T0
a. да
b. нет
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ТЕМЫ УЧЕБНЫХ ПРОЕКТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИСКРЕТНАЯ
МАТЕМАТИКА
1. Упорядочивание множества: квадратичная выборка, метод Шелла
2. Представление
множеств
в
программах:
битовые
шкалы,
упорядоченные списки, алгоритм построения бинарного кода Грея,
генерация булеана
3. Вполне упорядоченные множества
4. Производящие функции: метод неопределенных коэффициентов, числа
Фибоначчи, числа Каталана
5. Аксиоматическое определение энтропии
6. Методы сортировки строковых типов данных
7. Алгоритм Прима поиска кратчайшего остова. Алгоритм ФордаБеллмана поиска кратчайшего пути в графе
8. Основные равносильности алгебры логики. Тождественно-истинные
формулы. Проблема разрешимости алгебры логики
9. Простейшие эквивалентности формул. Релейно-контактные схемы
10. Критерий полноты системы БФ. Примеры полных систем
11. Метод Квайна-Маккласки поиска простых импликант
12. Элементарные функции k-значной логики
13. Самокорректирующиеся коды Хэмминга
14. Методы принятия решения. Коллективный выбор решения
15. Асимптотика
16. Эйлеровы графы.
17. Гамильтоновы графы.
18. Связность графа.
19. Циклы в графах.
20. Плоские графы.
21. Деревья.
22. Свойства эйлеровых графов.
23. Свойства гамильтоновых графов.
24. Раскраски графов.
25. Ориентированные графы.
26. Паросочетания.
27. Теория трансверсалей.
28. Потоки в сетях.
29. Производящие функции в теории графов.
30. Теорема Пойа и перечисление графов.
31. Графы на двумерных поверхностях.
32. Решетки.
33. Булевы алгебры.
34. Минимальные формы булевых многочленов.
35. Приложения булевых алгебр к переключательным схемам.
36. Конечные группы и их графы.
37. Модулярные и дистрибутивные решетки.
38. Полугруппы преобразований.
39. Полугруппы в биологии.
40. Циклы в графах.