АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
Рассмотрены и утверждены на заседании
кафедры математических и естественнонаучных дисциплин
,
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Зав. кафедрой___________/ М.В. Кузнецова /
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО
ДИСЦИПЛИНЕ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Задание множеств. Упорядоченность. Равенство множеств ОК-10, ПК-5
Объединение. Пересечение. Симметрическая разность. Дополнение ПК-2
Декартово произведение. Отношения. ПК-2, ПК-5
Отношения эквивалентности. ОК-1, ОК-10
Функции ОК-1, ОК-10
Мощности и кардинальные числа множеств. ОК-1, ОК-10
Виды графов. Подграфы. ОК-10, ПК-5
Смежность, инцидентность. Степени вершин. ПК-2, ПК-5
Матрицы ассоциированные с графами. ОК-10, ПК-5
Маршруты, цепи и циклы. ПК-2, ПК-5
Расстояние между вершинами. Диаметр и радиус графа. ПК-2, ПК-5
Операции над графами. Дополнение графа. ОК-10, ПК-5
Раскраска графа ОК-10, ПК-5
Связность в неориентированных графах и орграфах. ОК-10, ПК-5
Нахождение компонент связности ОК-10, ПК-5
Обходы графов ОК-10, ПК-5
Графы и бинарные отношения ОК-1, ОК-10
Нахождение кратчайших маршрутов ОК-1, ОК-10
Свободные деревья ОК-10, ПК-2
Ориентированные деревья ОК-10, ПК-5
Упорядоченные деревья ОК-10, ПК-2
Бинарные деревья ОК-10
Деревья сортировки ОК-10, ПК-5
Циклы (фундаментальные циклы) ОК-1, ПК-5
Коциклы ОК-10, ПК-5
Булевы функции. Способы задания. ОК-10, ПК-5
Булевы функции одной и двух переменных и их свойства. ОК-10, ПК-5
Формулы булевой алгебры. Основные законы булевой алгебры. ПК-2
2
29. Эквивалентность формул. Принцип двойственности ПК-2
30. Совершенные дизъюктивные (СДНФ) и совершенные конъюктивные
нормальные формы (СКНФ). ПК-2
31. Переход от СДНФ к СКНФ и наоборот. ПК-5
32. Геометрическое представление булевых функций ПК-5
33. Полином Жегалкина. Определение функционально полной системы
элементарных булевых функций. ПК-5
34. Важнейшие замкнутые классы. Теорема о функциональной полноте.
35. Алгебраические структуры; ОК-10, ПК-5
36. Решетки. Ограниченные решетки. Решетки с дополнением. Частичный
порядок в решетке. ПК-5
37. Матроиды. Максимальные независимые подмножества. Базисы. Ранг. ПК-5
II. Практические вопросы
1. Определить общезначимость, выполнимость и число моделей полученных
формул.ПК-5
2. Задать и выполнить операции на графе. ОК-10, ПК-2, ПК-5
3. Определить вершинную и реберную связность графов. ОК-10, ПК-2, ПК-5
4. Упорядочить дерево. ОК-10, ПК-2, ПК-5
5. Определить количество циклов (коциклов) в дереве. ОК-10, ПК-2, ПК-5
6. Преобразовать функцию в КНФ. ОК-10, ПК-2, ПК-5
7. Преобразовать функцию в СКНФ. ОК-10, ПК-2, ПК-5
8. Преобразовать функцию в ДНФ. ОК-10, ПК-2, ПК-5
9. Преобразовать функцию в СДНФ. ОК-10, ПК-2, ПК-5
10. Минимизировать функцию с помощью карт Карно. ОК-10, ПК-2, ПК-5
11. Построить полином Жегалкина для заданной функции. ОК-10, ПК-2, ПК-5
Образцы заданий для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины, а также для контроля самостоятельной работы
обучающегося
1. Перечислите элементы следующего множества В ={x | x  Z и 6х2 + х – 1 = 0}(ОК15, ОК-17, ОК-18).
2. Запишите булеан Р(А) множества А = {0,-1, -2, -3}(ОК-15).
3. Задайте с помощью характеристического свойства множество А = {2, 5, 8, 11, …}(
ОК-18).
4. Для заданного множества A  U составить характеристический вектор:
U={1,2,3,…,20}, A={x| 5|(x+3) }(ОК-15, ОК-17, ОК-18).
5. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду с
помощью основных законов алгебры множеств: ( A  B)  ( B \ A)  ( A \ B)  B  A
(ОК-15, ОК-17).
6. Доказать тождество (тремя способами): ( А  В )  А  В (ОК-15,).
7. Доказать тождество: ( А  В)  С  ( А  С )  ( В  С ) (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
8. Составьте
матрицу
данного
бинарного
отношения:
2
2
2
  1,2,3...,7 , ( x, y )    x  y (ОК-15, ОК-18).
Бинарное отношение между множествами А = {1, 2, 3, 4} и В = {а, b, c, d} задано
1 0 0 1  матрицей. Выпишите элементы этого отношения и постройте его

 изображение (ОК-15, ОК-17).
1 1 1 0 
0 1 0 1 


 0 0 1 0
3




9. Дано бинарное отношение   ( x, y ) x, y  N , y x , найдите D , E , ,  1,    ,  1  
(ОК-15, ОК-17).
10. Является ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным,
транзитивным?   Z 2 ; ( x, y)    ( x2  y)  2 (ОК-15).
11. Бинарное отношение между множествами А = {1, 2, 3, 4} и В = {а, b, 1 0 0 1 


c, d} задано матрицей. Выпишите элементы этого отношения и  0 1 1 0 
постройте его изображение. Проверьте, является ли это отношение  0 1 1 1 
рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным? 1 0 1 1 
Найдите его области определения и значений (ОК-15, ОК-17).
12. Является ли данная функция инъективной? Сюръективной? Биективной? Почему?
Постройте ее график. f: R→R, f(x)=lnx-1(ОК-15).
13. В = {1, 2, 3, 4},   В 2 . Изобразите  графически. Проверьте с помощью матрицы
является ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным,
транзитивным?   (1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (3,2), (3,4), (4,4)(ОК-15, ОК-17,
ОК-18).
14. Построить следующие бинарные отношения (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
А) рефлексивное, симметричное , не транзитивное;
б) не рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное;
в) рефлексивное, не симметричное, транзитивное.
16.Доказать, что отношение {(a, b) | (a – b) – рациональное число} является
отношением эквивалентности на множестве натуральных чисел(ОК-18).
17.К каким типам (эквивалентности; строгого, нестрогого, линейного порядка)
относятся данные отношения (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
1)
отношение равносильности на множестве формул;
2)
отношения ≤ и < на множестве векторов длины n с
компонентами из N, определяемые следующим образом:
а) (a1, …, an) ≤ (b1, …, bn), если a1 < b1, … , an < bn;
б) (a1, …, an) < (b1, …, bn), если (a1, …, an) ≤ (b1, …, bn) и хотя бы для одной
координаты i выполняется ai < bi;
3) отношение предшествования слов упорядоченного конечного алфавита.
18.Проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна следующие разбиения множества
U(ОК-15).
1) А, А
 
2) А  В, А  В, А  В, А  В
3) А \ B, A  B, B \ A.
19.Построить диаграмму Хассе для отношения  на булеане Р(А), где А={1, 2, 3}(
ОК-17, ОК-18).
20.Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых состоит из трех согласных и двух
гласных, можно образовать из букв слова уравнение? (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
21.Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир? 2)
Сколько среди них таких, которые не содержат буквы р? 3) Сколько таких, которые
начинаются с буквы с и оканчиваются буквой р? (ОК-15).
22.Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв слова
перестановка? Сколько из них начинается с буквы п и оканчивается буквой а? (ОК15).
23.Сколько сигналов можно подать пятью различными флажками, поднимая их в
любом количестве и в произвольном порядке? (ОК-17, ОК-18).
4
24.Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых.
Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15
рядовых? (ОК-15).
25.Найти число всех подмножеств множества Х, если Х содержит k элементов. (ОК-15,).
26.Сколькими способами можно выбрать 2 стандартные и 1 нестандартную детали из
40 деталей, среди которых имеются 10 нестандартных? (ОК-17, ОК-18).
27.Сколько существует различных трехзначных чисел? (ОК-15).
28.По n ящикам случайно распределяются n шаров. Считая, что ящики и шары
различимы, найти вероятности следующего события: два ящика пустых = А2 (ОК-15,
ОК-17, ОК-18).
29.Саша Иванов - средний студент и обычно дает правильные ответы лишь на
половину экзаменационных билетов. На очередном экзамене Саша на билет ответил и
получил положительную оценку. Какие события можно считать случайными: а) Саше
попался «хороший» билет – событие А; (ОК-15).
б) Саша ответил на билет – событие В; в) Саша сдал экзамен – событие С.
30.Саша и Маша разыгрывают билет на концерт. Какие из следующих событий можно
считать случайными? а) Только Саша выиграл билет – событие А; б) Только Маша
выиграла билет – событие В; в) Саша или Маша выиграли билет – событие С; г) Оба
выиграли билет – событие D. (ОК-17, ОК-18).
31.Рассмотрим работу столовой, в плане обслуживания клиентов. Моменты прихода
посетителей (событие А), время, затрачиваемое клиентами на обед (событие В) –
можно ли считать случайными событиями; а процесс обслуживания клиентов –
случайным процессом? (ОК-15).
32.В урне из n шаров - k красных и (n - k) черных. Наудачу извлекаем без возвращения
r шаров. Какова вероятность того, что в выборке из r шаров s шаров – красных? (ОК15, ОК-17, ОК-18).
33.Вычислить вероятность того, что для наудачу взятого значения
х    ),
значение y  0,5  sin 2 x существует. (ОК-15).
34.Два друга договорились встретиться между 12 и 13 часами. Пришедший первым
ждет второго в течении 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность, что встреча
произойдет, если каждый наудачу выбирает время своего прихода в промежутке от12
до 13 часов. (ОК-17, ОК-18).
35.Применяя формулу полной вероятности, вычислить вероятность того, что при
подбрасывании симметричного кубика выпадет четная грань. (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
36.Разложите в сумму выражение (3у+2)4 (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
37.Разложить в ряд (а + в + с)3(ОК-15).
38.Сколько положительных целых чисел от 70 до 950 делится ровно на одно из чисел:
1) 7, 11 или 13 2) 3, 5 или 17.
39.Найти кратчайший путь, построить кратчайшее остовное дерево для следующих
2
7
графов(ОК-15, ОК-17, ОК-18).
.
4
4
1
2
2
3
1
3
6
4
5
9
2
1
3
5
3
5
3
6
8
3
5
2
3
1
4
2
3
8
4
5
1
6
7
7
3
4
6
2 5
5
1
3
6
6
3
8
7
7
40.По заданной матрице смежности построить изображение графа(ОК-15, ОК-17, ОК-18).
0 1 1 1 1
1 1 0 1 0
0 1 1 0 1






1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
: AG   1 1 0 2 0  AG   0 1 1 2 0  AG   1 1 0 1 0 






1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1
 3 0 0 0 1
1 0 0 0 0






41.По заданной матрице инцидентности построить изображение графа: (ОК-15).
 1 1 1 1 0 0 
 1 1 1 1 0 0




0
1 0 0 0 1
 1 0 0 0 1 0
BG   0 1
0 0  1  1 BG   0 1
0 0 1 0




0 0 1
 0 0 1 0 0 1 
0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 



42.Построить таблицу истинности, СДНФ, СКНФ, полином Жегалкина для следующих
булевых функций, заданных формулами (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
1) ( x  y )  x  z  ( x  y ),
2) x ( z ( y  x  z )),
3) ( x  y  z )  ( x  y )  ( x  z ) ,
4) ( x  y )  ( x  z )  y ,
5) xy  ( y  xz ) ,
6) (( x1  x2 x3 )  ( x2 x4  x3 )  x1 x4 )  x1 ,
7) (( x1  x2 )  x3 )  x1 ,
8) (( x3  x2 )  x1 )  ( x2  x1 ) x3 x1  x3 ,
9) ( x1  ( x1  x2 ))  x3 ,
10) ( x  y )  xz  ( y  z ) ,
11) ( x  y  z )  t  x yz ,
12) ( x  y  z )  t  x yz ,
13)
14)
15)
16)
( x  y)  ( x  z ) ,
xy  xz  yt  zt ,
( x  y)  (( x  y)  ( x  yz )) ,
( x  y  ( yz  1))  ( y  x) ,
6
17) ( x1  x2 )  ( x2  x1 )  x3 ,
18) (( x  y )  z )  ( x  yz ) ,
19) (( x  y )  ( x  y ))  (( x  y )  ( x  y ))  z ,
20) ( x  y )  xz  ( y  z ) ,
21) ( x  y  z )  t  x yz ,
22) ( x  y)  ( x  z ) ,
23) ( x  y  z )  t  x yz ,
24) ( x1  x2 )  ( x2  x1 )  x3 ,
25) (x1  x2 )  x3  x2 .
43.Проверить на полноту следующие системы булевых функций (ОК-15, ОК-17, ОК18).
1) x  y, x  y  z ,
2) x  y, (1100001100111100),
3) 0, xy  xz  yz, xy  z,
4) (1011), (1111110011000000),
5) xy, x  yz,
6) 0,1, x( y  z)  x ( y  z),
7) (01101001), (10001101), (00011100),
8) (0010), (1010110111110011).


44.Используя метод Квайна и карты Карно, найти МДНФ И МКНФ формул(ОК-15, ОК17, ОК-18).
1) x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3
2) x y z  x y z  x yz  xy z  xyz
3) x y z  x y z  xy z  xyz
45.Являются ли схемы данного алфавитного кодирования префиксными? Взаимно
однозначными? (ОК-17, ОК-18).
1) (a  0, b  10, c  011, d  1011, e  1111)
2) (a  0, b  10, c  20)
3) (a  01, b  021, c  12, d  0102, e  10112)
46.Построить префиксное алфавитное кодирование с минимальной избыточностью для
алфавита a, b, c, d  со следующими распределениями вероятностей появления букв(ОК17, ОК-18).
:
1) р0 = ½, р1 = ¼, р3 = р4 = ⅛;
2) р0 = 0,4, р1 = 0,25, р3 = 0,2, р4 = 0,15;
3) р0 = 0,1, р1 = 0,45, р3 = 0,22, р4 = 0,23.
47.Минимизировать конечный автомат (ОК-15, ОК-17, ОК-18).
7
8
Тесты
Тест №1
1. Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?
а) будет собственным подмножеством;
б) будет несобственным подмножеством;
в) не будет никаким подмножеством.
2. Что есть множество А\В, если А - множество всех книг в библиотеке института по
различным отделам науки и искусства, а В - множество всех книг во всех библиотеках
России?
а) множество математических книг в России без математических книг в института;
б) множество книг в библиотеке института по искусству и науке, кроме математических.
в) другое множество (укажите какое)
3. Совпадают ли дистрибутивные законы Булевой алгебры и алгебры действительных
чисел.
а) оба совпадают;
б) оба не совпадают;
в) один совпадает, другой – нет (какой именно).
4. Вытекает ли из равенства А\В=С что А=В∪С?
а) да;
б) нет;
в) вообще нет, но в частном случае да. (В каком случае?)
5. Есть ли законы для дополнений в алгебре действительных чисел?
а) да (укажите их);
б) нет;
в) некоторых нет, а некоторые есть (укажите их).
6. Справедливы ли законы идемпотентности Булевой алгебры в алгебре действительных
чисел? (Ответ обоснуйте.)
а) справедливы;
б) несправедливы;
в) один справедлив, другой нет.
7. Обладают ли свойством двойственности формулы поглощения?
а) да;
б) нет;
в) одна обладает, другая нет (какая именно).
9
8. Можно ли поставить в соответствие единицу или ноль соответственно универсальному
и пустому множеству, исходя из свойств операций? Если да, то, о каких операциях идёт
речь.
а) можно;
б) единицу - можно, ноль - нет;
в) ноль - можно, единицу - нет.
9. Обладают ли формулы склеивания свойством двойственности
а) нет;
б) да;
в) одна обладает, другая нет (какая именно).
10. Будет ли каждое из множеств A, В, С, D подмножеством другого (т.е. можно ли из них
составить цепочку вложенности из этих множеств), если A - множество действительных
чисел, B - множество рациональных чисел, С - множество целых чисел, D - множество
натуральных чисел.
а) да;
б) нет;
в) лишь некоторые из множеств являются подмножествами перечисленных множеств.
(Какие именно.)
Тест №2
1. Задано отображение f множества Х в Y. X={x1, x2, x3, x4} Y={y1, y2, y3}: f(x1)=y1,
f(x2)= y2, f(x3)= y2, f(x4)= y3, Будет ли это отображение f
а) сюръективно;
б) инъективно;
в) биективно.
2. Можно ли в любом бесконечном множестве выделить счетное подмножество?
а) нельзя;
б) можно;
в) можно, но не всегда (когда именно).
3. Выделим в бесконечном множестве М счетное подмножество А⊂М. В каком
отношении находятся мощности множеств М \ А и М?
а) мощность М \ А < мощности М;
б) мощность М < мощности М \ А;
в) мощность М = мощности М \ А.
4. Отношение "быть старше": "х старше у" является
10
а) рефлексивным;
б) симметричным;
в) асимметричным.
5. Отношение "х - победитель у" является
а) антирефлексивным;
б) симметричным;
в) транзитивным.
6. Каково максимально возможное число классов, на которое можно разбить сумму трех
пересекающихся множеств, не прибегая к произвольному делению отдельных областей на
диаграммах Эйлера-Венна?
а) 3;
б) 5;
в) 7.
7. Если отношение A на множестве М рефлексивно, симметрично и транзитивно, можно
ли разбить множество М на классы?
а) да;
б) нет;
в) можно, но не всегда (когда именно).
8. Пусть на множестве М задано отношение A: "х знаком с у". Почему нельзя разбить
множество М на классы?
а) отношение A не рефлексивно;
б) отношение A не симметрично;
в) отношение A не транзитивно.
9. Почему множество действительных чисел и множество натуральных чисел не являются
подобными?
а) множество натуральных чисел неупорядочено;
б) множество действительных чисел неупорядочено;
в) нет биективного соответствия между множествами.
10. Почему множество М точек отрезка [0, 1] не является вполне упорядоченным
множеством?
а) М не упорядочено;
б) не все подмножества М содержат первый элемент;
в) ни одно из подмножеств М не содержат первый элемент.
11
Тест №3
1. Следующее высказывание может быть интерпретировано как сложное высказывание:
"Неверно, что первым пришел Петр или Павел". Каковы составляющие его элементарные
высказывания?
а) А: "Неверно, что первым пришел Петр"
В: "Неверно, что первым пришел Павел";
б) А: "Первым пришел Петр"
В: "Неверно, что первым пришел Павел";
в) А: "Первым пришел Петр"
В: "Первым пришел Павел".
2. Какой из формул может быть записано высказывание предыдущего вопроса?
а) ;
б) ;
в) .
3. Будет ли высказывание S=(А→В)∧(В→С)→(А→С):
а) тождественно истинным;
б) тождественно ложным;
в) переменным.
4. Каково значение Х, определяемое уравнением =B ?
а) Х =В;
б) В;
в) В \ А.
5. Чему равносильна конъюнкция контроппозиции и ее конверсии?
а) импликации;
б) конверсии импликации;
в) двойной импликации.
6. В высказывании S: "Треугольники равны только тогда, когда равны их стороны".
Равенство углов в треугольнике является:
а) необходимым условием;
б) достаточным условием;
в) необходимым и достаточным условием.
7. Какая из функций соответствует формуле (см. табл.). S = x1 → x2 ∧ x3 ?
x1 0 0 0 0 1 1 1 1
x2 0 0 1 1 0 0 1 1
12
x3 0 1 0 1 0 1 0 1
f1; 1 1 0 1 1 0 1 1
f2 0 0 0 1 0 0 0 1
а) f1;
б) f2;
в) ни f1, ни f2 (тогда напишите таблицу для правильного результата)
8. Какая из переменных х1, х2, х3 является фиктивной в формуле f, где f задана условием
f(0,0,1)=f(0,0,0)? На остальных наборах значений переменных f принимает значение
истинно.
а) х1;
б) х2;
в) х3.
9. Какие из переменных х1, х2 в функции f15 (табл. 3.11) являются фиктивными?
а) х1 - существенная переменная;
б) х2 - существенная переменная;
в) обе переменные х1 и х2 - фиктивные.
10. Какие из пар связок образуют полную систему связок?
а) (∨, );
б) (∨, →);
в) (∧, →).
Тест №4
1. Даны два высказывания S1: " Если треугольники равны, то равны их стороны", S2:
"Стороны треугольников равны тогда и только тогда, когда равны треугольники".
Существует ли отношение следствия между S1 и S2?
а) из S1 следует S2;
б) из S2 следует S1;
в) ни одно из высказываний не следует из другого.
2. Если между высказываниями S1 и S2 существует отношение следствия, являются ли эти
высказывания совместимыми?
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
3. Если из высказывания S1 следует S2 и, наоборот, из S2 следует S1, являются ли
высказывания S1 и S2 эквивалентными?
13
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
4. Если высказывания эквивалентны, существует ли между ними отношения следствия?
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
5. Могут ли быть при правильном рассуждении все посылки истинными, если заключение
ложно?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
6. Существует ли СКНФ у тождественно истинной формулы алгебры высказываний?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
7. Существует ли СДНФ у невыполнимой формулы?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
8. Каково множество истинности у невыполнимой формулы?
а) "U" - универсальное;
б) "V" - пустое;
в) некоторое множество A, не являющееся ни пустым, ни универсальным.
9. Сколько единиц имеет полная элементарная конъюнкция?
а) ни одной;
б) одну;
в) несколько.
10. Сколько нулей имеет полная элементарная дизъюнкция?
а) один;
б) ни одного;
в) несколько.
Тест №5
1. Сколько слагаемых содержит СДНФ, построенная по функции f(x1, x2, x3) заданной
14
так, что на всех наборах значений переменных x1, x2, x3 она принимает значение 1?
а) 2;
б) 4;
в) 8.
2. Сколько сомножителей содержит СКНФ, построенная по функции f(1,1,1) = f(1,0,1) = 0?
а) 2;
б) 4;
в) 8.
3. Можно ли для функции f(x1, x2, x3) заданной так, что на всех наборах значений
переменных x1, x2, x3 она принимает значение 0, построить какую-либо совершенную
нормальную форму?
а) можно СДНФ;
б) можно СКНФ;
в) нельзя построить ни одной совершенной нормальной формы.
4. Можно ли некоторое высказывание записать в виде релейно-контактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) иногда можно, иногда нет.
5. Могут ли две релейно-контактные схемы, соответствующие одной и той же функции
проводимости, иметь различное число реле?
а) да;
б) нет; если функция проводимости особенная (какая именно)
в) никогда не могут.
6. Имеем формулу , выводимую из формул 1, 2, … n, т.е. 1, 2, … n  .
Являются ли выводимыми формулы 1, 2, … n?
а) да;
б) нет;
в) некоторые из них выводимы, некоторые нет (какие именно).
7. Если формула  выводима из аксиом исчисления высказываний, какой она является как
формула алгебры высказываний?
а)  является тождественно истинной;
б)  является тождественно ложной;
в)  - переменное высказывание.
15
8. Является ли противоречивым некоторое исчисление (формальная аксиомати¬ческая
система), если оно имеет некоторую содержательную интерпретацию?
а) противоречиво;
б) непротиворечиво;
в) может быть и тот, и другой вариант.
9. Формула  есть тождественно истинная формула алгебры высказываний. Будет ли 
выводима из аксиом как формула исчисления высказываний?
а)  выводима;
б)  не выводима;
в) может быть и тот, и другой вариант.
10. Можно ли какую-либо аксиому исчисления высказываний вывести из остальных
аксиом?
а) некоторую аксиому можно, некоторую нельзя (приведите примеры);
б) все можно;
в) все нельзя.
Тест №6
1. Сколько несобственных подмножеств имеет конечное множество, состоящее из n
элементов?
а) 1 (что это за множество?);
б) 2 (что это за множества?);
в) n.
2. Сколько собственных подмножеств имеет конечное множество Х={х1, х2, … хn}?
а) n-1;
б) nn=n2;
в) 2n-2.
3. В каком порядке нужно производить операции, преобразовывая формулу ?
а) ;
б) ;
в) .
4. Пусть n(A∪B) - мощность множества, являющегося объединением конечных множеств
А и В, m1= n(A∪B), если множества пересекаются, т.е. А∩В≠0 и m2=n(A∪B), если
A∩B=0. Равны ли мощности m1 и m2?
а) m1 = m2;
16
б) m1 > m2;
в) m1 < m2.
5. Мощность какого множества больше Х или Y, если Х - исходное конечное множество,
Y - множество подмножеств множества Х?
а) мощность Х больше мощности Y;
б) мощность Х меньше мощности Y;
в) мощность Х равно мощности Y.
6. Существует ли среди бесконечных множеств множества наименьшей и наибольшей
мощности?
а) существуют множества как наибольшей, так и наименьшей мощности;
б) существует множество наибольшей, а наименьшей мощности нет;
в) существует множество наименьшей, а наибольшей мощности нет.
7. Является ли сюръективное отображение инъективным?
а) сюръективное отображение всегда инъективно;
б) сюръективное отображение - неинъективно;
в) сюръективное отображение может быть инъективным, но может и не быть им
(приведите примеры).
8. Всегда ли биективное отображение сюръективно?
а) всегда;
б) никогда;
в) может быть сюръективным, но может и не быть им (приведите примеры).
9. Когда сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств является
конечным множеством?
а) в случае конечного числа суммы счетных множеств;
б) в случае счетного числа суммы конечных множеств;
в) в случае конечного числа суммы конечных множеств.
10. Если к некоторому бесконечному множеству М прибавить счетное множество A, будет
ли отличаться мощность полученного множества М∪А от мощности множества М?
а) мощность множества М равна мощности множества М∪А;
б) мощность множества М меньше мощности множества М∪А;
в) мощность множества М больше мощности множества М∪А.
11. Может ли конечное множество A содержать собственное подмножество,
эквивалентное всему множеству A ?
а) всегда содержит;
17
б) никогда не содержит;
в) иногда содержит, иногда нет (приведите примеры).
12. Отсутствием какого из свойств отношений отличаются отношение толерантности от
отношения эквивалентности?
а) рефлексивности;
б) симметрии;
в) транзитивности.
13. Какие из высказываний S1, S2, S3, состоящих из двух элементарных A и B,
равносильны? S1:“Если A, то не B”. S2:“А или не B”. S3:”Неверно, что A и B”.
а) S1=S2;
б) S1=S3;
в) S2=S3.
14. Что означает высказывание “А только, если B”?
а) А достаточно для B;
б) А необходимо для B;
в) А необходимо и достаточно для В.
15. Чему равносильна конъюнкция импликации и её конверсии (ответ поясните)?
а) контроппозиции;
б) конверсии контроппозиции;
в) двойной импликации.
16. Какая формула соответствует функции f(х1, х2): f(1,1)=1?
а) x1→х2;
б) х1∨х2;
в) х1∧х2.
17. Какие из переменных функций f(х1, х2) являются существенными, если f(х1, х2):
f(1,i)=0
а) x1;
б) х2;
в) обе переменные фиктивны.
18. С помощью какой связки можно записать любую формулу алгебры высказываний?
а) с помощью дизъюнкции;
б) с помощью конъюнкции;
в) с помощью штриха Шеффера.
19. Если множество истинности высказывания A есть подмножество множества
18
истинности высказывания B, существует ли отношения следствия между A и B?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
20. Если высказывания A и B несовместимы, что можно утверждать о множествах
истинности этих высказываний?
а) множество истинности A есть подмножество множества истинности высказывания B;
б) множества истинности A и B совпадают;
в) множество истинности A и B не пересекаются.
21. Если высказывания A и B несовместимы, существует ли между ними отношение
следствия?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
22. Если при проверке правильности рассуждения получен результат PQ  0, где P конъюнкция посылок, Q - заключение. Означает ли это, что рассуждение правильно?
а) да;
б) нет;
в) может быть правильным в одних случаях и неправильным в других (в каких именно).
23. Каково максимальное число слагаемых СДНФ для формулы S(х1, ... хn)  1?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
24. Каково максимальное число сомножителей СКНФ невыполнимой формулы S(х1, ... хn)
?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
25. Если СДНФ формулы S(х1, х2, х3) содержит 3 слагаемых, сколько сомножителей
содержит ее СКНФ?
а) 3;
б) 4;
в) 5.
26. Соответствуют ли различные релейно-контактные схемы одному и тому же
19
высказыванию?
а) всегда;
б) никогда;
в) могут соответствовать, могут не соответствовать (когда могут, а когда нет).
27. Могут ли равносильные высказывания быть записаны в виде некоторой релейноконтактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) могут, но не всегда (когда могут, а когда нет).
28. Если исчисление противоречиво, имеет ли оно некоторую содержательную
интерпретацию?
а) имеет;
б) не имеет;
в) имеет, но не всегда (когда имеет, а когда нет).
29. Если исчисление является полным, можно ли какую-либо, не выводимую в этом
исчислении формулу добавить к аксиомам так, чтобы исчисление осталось
непротиворечивым?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
30. Если система аксиом некоторого исчисления независима, можно ли какие-либо
аксиомы вывести из других?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
Тест №7
1. Сколько несобственных подмножеств имеет конечное множество, состоящее из n
элементов?
а) 1 (что это за множество?);
б) 2 (что это за множества?);
в) n.
2. Сколько собственных подмножеств имеет конечное множество Х={х1, х2, … хn}?
20
а) n-1;
б) nn=n2;
в) 2n-2.
3. В каком порядке нужно производить операции, преобразовывая формулу ?
а) ;
б) ;
в) .
4. Пусть n(A∪B) - мощность множества, являющегося объединением конечных множеств
А и В, m1= n(A∪B), если множества пересекаются, т.е. А∩В≠0 и m2=n(A∪B), если
A∩B=0. Равны ли мощности m1 и m2?
а) m1 = m2;
б) m1 > m2;
в) m1 < m2.
5. Мощность какого множества больше Х или Y, если Х - исходное конечное множество,
Y - множество подмножеств множества Х?
а) мощность Х больше мощности Y;
б) мощность Х меньше мощности Y;
в) мощность Х равно мощности Y.
6. Существует ли среди бесконечных множеств множества наименьшей и наибольшей
мощности?
а) существуют множества как наибольшей, так и наименьшей мощности;
б) существует множество наибольшей, а наименьшей мощности нет;
в) существует множество наименьшей, а наибольшей мощности нет.
7. Является ли сюръективное отображение инъективным?
а) сюръективное отображение всегда инъективно;
б) сюръективное отображение - неинъективно;
в) сюръективное отображение может быть инъективным, но может и не быть им
(приведите примеры).
8. Всегда ли биективное отображение сюръективно?
а) всегда;
б) никогда;
в) может быть сюръективным, но может и не быть им (приведите примеры).
9. Когда сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств является
конечным множеством?
21
а) в случае конечного числа суммы счетных множеств;
б) в случае счетного числа суммы конечных множеств;
в) в случае конечного числа суммы конечных множеств.
10. Если к некоторому бесконечному множеству М прибавить счетное множество A, будет
ли отличаться мощность полученного множества М∪А от мощности множества М?
а) мощность множества М равна мощности множества М∪А;
б) мощность множества М меньше мощности множества М∪А;
в) мощность множества М больше мощности множества М∪А.
11. Может ли конечное множество A содержать собственное подмножество,
эквивалентное всему множеству A ?
а) всегда содержит;
б) никогда не содержит;
в) иногда содержит, иногда нет (приведите примеры).
12. Отсутствием какого из свойств отношений отличаются отношение толерантности от
отношения эквивалентности?
а) рефлексивности;
б) симметрии;
в) транзитивности.
13. Какие из высказываний S1, S2, S3, состоящих из двух элементарных A и B,
равносильны? S1:“Если A, то не B”. S2:“А или не B”. S3:”Неверно, что A и B”.
а) S1=S2;
б) S1=S3;
в) S2=S3.
14. Что означает высказывание “А только, если B”?
а) А достаточно для B;
б) А необходимо для B;
в) А необходимо и достаточно для В.
15. Чему равносильна конъюнкция импликации и её конверсии (ответ поясните)?
а) контроппозиции;
б) конверсии контроппозиции;
в) двойной импликации.
16. Какая формула соответствует функции f(х1, х2): f(1,1)=1?
а) x1→х2;
б) х1∨х2;
22
в) х1∧х2.
17. Какие из переменных функций f(х1, х2) являются существенными, если f(х1, х2):
f(1,i)=0
а) x1;
б) х2;
в) обе переменные фиктивны.
18. С помощью какой связки можно записать любую формулу алгебры высказываний?
а) с помощью дизъюнкции;
б) с помощью конъюнкции;
в) с помощью штриха Шеффера.
19. Если множество истинности высказывания A есть подмножество множества
истинности высказывания B, существует ли отношения следствия между A и B?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
20. Если высказывания A и B несовместимы, что можно утверждать о множествах
истинности этих высказываний?
а) множество истинности A есть подмножество множества истинности высказывания B;
б) множества истинности A и B совпадают;
в) множество истинности A и B не пересекаются.
21. Если высказывания A и B несовместимы, существует ли между ними отношение
следствия?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
22. Если при проверке правильности рассуждения получен результат PQ  0, где P конъюнкция посылок, Q - заключение. Означает ли это, что рассуждение правильно?
а) да;
б) нет;
в) может быть правильным в одних случаях и неправильным в других (в каких именно).
23. Каково максимальное число слагаемых СДНФ для формулы S(х1, ... хn)  1?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
23
24. Каково максимальное число сомножителей СКНФ невыполнимой формулы S(х1, ... хn)
а) n;
б) n2;
в) 2n .
25. Если СДНФ формулы S(х1, х2, х3) содержит 3 слагаемых, сколько сомножителей
содержит ее СКНФ?
а) 3;
б) 4;
в) 5.
26. Соответствуют ли различные релейно-контактные схемы одному и тому же
высказыванию?
а) всегда;
б) никогда;
в) могут соответствовать, могут не соответствовать (когда могут, а когда нет).
27. Могут ли равносильные высказывания быть записаны в виде некоторой релейноконтактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) могут, но не всегда (когда могут, а когда нет).
28. Если исчисление противоречиво, имеет ли оно некоторую содержательную
интерпретацию?
а) имеет;
б) не имеет;
в) имеет, но не всегда (когда имеет, а когда нет).
29. Если исчисление является полным, можно ли какую-либо, не выводимую в этом
исчислении формулу добавить к аксиомам так, чтобы исчисление осталось
непротиворечивым?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
30. Если система аксиом некоторого исчисления независима, можно ли какие-либо
аксиомы вывести из других?
а) можно;
б) нельзя;
24
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
Тест №8
25
26
27
28
Тест №9
29
30
31
Тест №10
32
33
34
Тест №11
35
36
37
Тест №12
38
39
Тест №13
1.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0 1 0 0 0 1 0 1


1 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1


1 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1 0


Найти радиус r(G) графа.
2.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0
1
0
0
0
1
 10



0
1
1
0

1

0
1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1
Найти диаметр d(G) графа.
3.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
40
0
1
1

0
0
0
0
0

1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0


0

0
1
1

0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Найти радиус r(G) графа.
4.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0
1
1

0
0
0
0
0

1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0


0

0
1
1

0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Найти диаметр d(G) графа.
5.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных деревьев с 6 вершинами?
6.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных связных графов с 5 вершинами и 4 ребрами?
7.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных связных графов с 5 вершинами и 5 ребрами?
8.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является необходимым для того, чтобы связный
граф с n вершинами был планарным ( m – число ребер):
a. m  3n  6
b. m  3n  6
c. m = 8 при n = 6
d. m < 19 при n = 8
e. m  3n
9.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является достаточным для того, чтобы граф с n
вершинами был планарным ( m – число ребер):
a. m  3n  6
b. граф не содержит подграфа, гомеоморфного графу K 33 , и подграфа,
гомеоморфного графу K 5
c. m = n – 1, и граф связный
41
d. граф не содержит подграфа, изоморфного графу K 33
e. m = 5 при n = 7
10.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является достаточным для того, чтобы граф с n
вершинами не был планарным ( m - число ребер):
a. граф содержит подграф, изоморфный графу K 5
b. m = 10 при n = 20
c. граф содержит подграф, гомеоморфный графу K 6
d. m  3n
e. m = 10 при n = 5
11.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является деревом. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения)
a. число ребер m = n - 1
b. граф связный
c. граф не содержит циклов
d. граф планарный
e. граф не эйлеров
f. есть вершина степени 1
g. есть вершина степени больше 1
12.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является несвязным. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения.)
a. число компонент связности всегда равно 2
b. число компонент связности может быть равно 2
c. степень каждой вершины не превосходит n - 2
d. число компонент связности больше 1
e. граф не может быть двудольным
f. граф планарный
g. граф не может быть деревом
13.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является двудольным. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения.)
a. в нем нет циклов четной длины
b. в нем могут быть циклы четной длины
c. в нем все циклы имеют четную длину
d. граф связный
e. степень каждой вершины не превосходит n - 2
f. граф содержит цикл, если каждая доля содержит не менее двух вершин
g. граф планарный
42
14.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
15.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
16.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
17.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
18.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
43
19.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
20.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
21.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
22.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
23.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
44
24.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
25.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
26.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (2 2 1 1 4 4 3 3)
b. P(t) = (1 2 1 2 3 4 3 4)
c. P(t) = (1 1 4 2 2 4 3 3) (+10 баллов)
27.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (1 2 3 4 5 6 6 7)
b. P(t) = (1 2 3 4 5 5 6 7)
c. P(t) = (1 2 3 4 5 6 7 7)
45
28.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (1 1 1 2 2 2 3 3)
b. P(t) = (3 3 1 1 1 2 2 2)
c. P(t) = (1 2 3 1 2 3 1 2 )
29.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  0111 , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
линейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
30.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  0110  , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
линейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
31.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  1011 , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
нелинейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
32.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  x  y  z определить, является ли она:
a. линейной
b. монотонной
c. самодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
33.
Тип - дистрибутивный вопрос.
46
Для функции f  xy  z  1 определить, является ли она:
a. линейной
b. немонотонной
c. самодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
34.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  xy  xz определить, является ли она:
a. линейной
b. монотонной
c. несамодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
35.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {f, g, h} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
36.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {F, G, H} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
37.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {f, g, h} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
38.
Тип - альтернативный вопрос.
47
Верно ли, что:
T0 S  T1
a. да
b. нет
39.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
T0T1 L  S
a. да
b. нет
40.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
MS  T0
a. да
b. нет
48