Косинский Ю.И., «Функция распределения частиц по скоростям

Косинский Ю.И.
Функция распределения частиц по скоростям “объемного”
и ”поверхностного” газов
Распределения частиц
устанавливаются за счет соударений.
Вириальный принцип различает два вида соударений: удары о поверхность
вещества, которое ограничивает объем газа (при этом длина свободного
пробега частиц газа больше размеров сосуда, в котором находится газ) , и
соударений частиц между собой внутри объема (длина свободного пробега,
соответственно, намного меньше размеров сосуда). В количественном
отношении при при низких плотностях преобладает первый вид, при
высоких – второй, также возможны и промежуточные стадии. Каждый вид
соударений устанавливает свою функцию распределения частиц, названную
“ поверхностной” и “объемной”, соответственно.
Функцию распределения частиц по скоростям ”объемного” газа мы
нашли ранее (формула 116). Выпишем ее:
N   1   2   3  m 

 
N


  kT 
3
 mv 2
1 
 kT





 4
v 5 dv.
(129)
Для    функция (129) принимает вид:
3 m
  kT
 
2
dN  m

N  kT 
 5d
Единственно общим для двух форм существования
распределение по компонентам энергии (99).
N v 2
z
v2 
  1 
N
1 z 
   v 2z 

n  n 0 2
mv z2
Где E z 
,
2
Ez 
d

  1  2E z
1 
  kT
kT
,
2
 2



 2
d
v z2
2
vz
(130)
газа
является
,
(131)
Ez
,
kT
E z кон   E z .
Распределение газа для квадрата компоненты скорости можем записать в
таком виде:
N   1  mv z2

1
N
  kT




 2
d
mv z2
.
kT
(132)
Для перехода в распределении от квадрата компонент скорости к
распределению по квадрату модуля скорости воспользуемся формулой
перехода (93).
vкон

0
 df (v z2 ) 
2
2

 v d (v ) .
2
 d (v z )  v 2
(133)
В результате перехода получим распределение частиц “поверхностного” газа
по модулю скорости.
N   1   2  mv 2

1
N

  kT




 3
mv 2 mv 2
d
.
kT
kT
(134)
При    распределение примет вид:
2  m
m
  kT
2
dN

 2
 kT 
N
 3d
(135)
Определим вероятность того, что частица газа имеет скорость v .

 mv 2
2  exp  
 kT

0
 m  3
 v dv  1
 kT 

(135)
Найдем среднюю энергию, приходящуюся на одну частицу газа.


 mv 2
mv 2
E
f (v)dv  kT  exp  
 kT
2

0
0
 m  3 5
  v dv,
 kT 

x2 
mv 2
,
kT
(136)

E
kT
exp(  x 2 ) x 4 d ( x 2 )  kT.

2 0
Найдем давление, оказываемое “поверхностным”
занимаемого объема. При этом имеем.

 mv x2
m

exp
 kT
kT 0

газом

 mv z2 
m

d (v 2 )  1..
exp
 kT  z
kT 0


Вероятность того, что частица имеет скорость v x , v z , равна
m
4 
 kT 
2
m
4 
 kT 
2
 2
d (v x )  1,



m
на
стенки
(137)

 exp   kT (v x  v z ) v x v z dv x dv z 
2
2
0
 mv  3
v dv

kT


 exp  
0

2
2

Sin  Cos  d
0
1
2
2
(138)
 d .
0
Давление, оказываемое “поверхностным” газом, равно:


p
 2  mv z2 f (v z )dv
n0
0

 mv 2
p
 kT  exp  
 kT
n0

0
2

2
d  d
0
(139)
0

2
2
 m  3 4
  v d (v 2 )4 Cos 3  Sin  d d .

 2
 kT 

0
0

2
(140)
1
 Cos   Sin  d  4
3
0
p  nkT .
(141)
Две формы существования газа при равных условиях оказывают
одинаковое давление. “Поверхностный” газ имеет меньшую кинетическую
энергию, чем “объемный”.
 pov  kT ,
 ob  3 2 kT
(142)
Найдем распределение частиц ”поверхностного” газа по компоненте
скорости v x . Имеем переход в распределениях.

1 F (v )
f (v x )  
dv .
2v v
(143)
x

 mv 2
2  exp  
 kT

0
 m  2 3
  v dv 
 kT 

2


mv 2
 m  3

 8 
v
exp

2


2kT 
2kT

0

dv,


mv 2
 r2,
2kT
(144)

8  exp( 2r 2 )r 3 d r , F (r )  8 exp( 2r 2 )r 3 .
0
В результате преобразований получили распределение по компоненте
скорости.


f (v x )  4  exp( 2r )r d r   exp( 2r 2 )d (2r 2 )r.
2
2
vx
(145)
vx
Найдем вероятность того, что компонента скорости имеет любое значение.



0
0
vx
2  f (v x )d v x  8  dv x  exp( 2r 2 )r 2 d r 
(146)
Интегрируем по частям.

 v x  exp( 2r )r d
2
vx
2
r 0

8  v x exp( 2v x2 )v x2 dv x  1
(147)
0
Выразим функцию распределения (145) через интеграл ошибок (с помощью
интегрирования по частям).
 mv 2
x

1  ( x), x   x
f ( x)  exp(  x 2 ) 
2
4
 kT




1
2
.
(148)