СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Задачи и упражнения 11

Белорусский Государственный Университет, Минск
Физический факультет
SS 2011/2012
Я.М. Шнир
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Задачи и упражнения 11
1. Система состоящая из 𝑁 тождественных бозонов со спином 0 и массой 𝑚 находится
в ящике объемом 𝑉 = 𝐿3 при температуре 𝑇 > 0.
(i) Запишите общее выражение для числа частиц 𝑛, имеющих энергию в интервале
значений между 𝜀 и 𝜀+𝑑𝜀 как функцию массы частицы, ее энергии, температуры,
химического потенциала, объема и всех прочих относящихся к делу параметров.
(ii) Покажите, что в пределе очень большого расстояния между частицами 𝑑 >>
𝜆, где 𝜆 - тепловая длина волны де Бройля, это распределение согласуется с
классическим распределением Больцмана.
(iii) Определите в первом порядке различие между средней энергией системы
𝑁 тождественных бозонов со спином 0 при 𝑑 >> 𝜆 и средней энергией системы
различимых бесспиновых частиц. В обоих случаях частицы массы 𝑚 находятся
в объеме 𝑉 = 𝐿3 .
2. Рассмотрим квантовомеханический газ невзаимодействующих частиц массы 𝑚
со спином 0 свободно двигающихся в объеме V.
(i) Найти внутреннюю энергию газа и его теплоемкость при низких температурах.
Поясните, почему при низких температурах химический потенциал газа можно
положить равным нулю.
(ii) Решите аналогичную задачу для фотонного газа (𝑚 = 0). Покажите, что его
энергия пропорциональна 𝑇 4 .
3. (i) Определить одночастичную матрицу плотности в координатном представлении.
(ii) Рассмотрим величину
𝜌(⃗𝑟) =
1 ∑
⃗
⟨𝑁𝑘 ⟩𝑒𝑖𝑘⋅⃗𝑟
𝑉
⃗𝑘
где ⟨𝑁𝑘 ⟩ - усредненное по ансамблю при конечной температуре число частиц
находящихся в состоянии с импульсом ⃗𝑘. Проанализируйте поведение этой величины
при ⃗𝑟 → ∞ при переходе температуры через критическую температуру конденсации
Бозе-Эйнштейна 𝑇𝐶 .
4. Проанализируйте, возможна ли бозе-эйнштейновская конденсация в двумерной
и одномерной системе?
Решения
1. (i) Напомним что элемент объема фазового пространства определен как
∫
∫
∫
∫
𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝𝑦 𝑑𝑝𝑧
4𝜋𝑝2 𝑑𝑝
𝑑𝑤 = 𝑔𝑑⃗𝑟𝑑⃗𝑝 = 𝑔 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
=
𝑉
(2𝜋ℏ)3
(2𝜋ℏ)3
и для нерелятивистских бозонов
𝜀=
𝑝2
;
2𝑚
то есть
𝑑𝜀 =
𝑝𝑑𝑝
;
𝑚
𝑝=
√
2𝑚𝜀
√
(2𝑚)3/2 𝜀𝑑𝜀
𝑑𝑤 = 2𝜋𝑉
ℎ3
Следовательно, число частиц имеющих энергию в интервале значений между 𝜀
и 𝜀 + 𝑑𝜀 определяется как
√
2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2
𝜀𝑑𝜀
𝑛(𝜀) =
⋅ 𝛽(𝜀−𝜇)
3
ℎ
𝑒
−1
(ii) В приближении разреженного бозонного газа выполняется условие exp(−𝛽𝜇) ≫
1 и распределение Бозе-Эйнштейна переходит в распределение Больцмана. Поскольку
при этом
2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2
𝑁=
ℎ3
∫∞
√
(
𝜀𝑑𝜀𝑒
−𝛽𝜀 𝛽𝜇
𝑒
=𝑉
2𝜋𝑚𝑘𝐵 𝑇 𝛽𝜇
𝑒
ℎ2
)3/2
0
то есть
−𝛽𝜇
𝑒
𝑉
=
=
𝑁 𝜆3
( )3
𝑑
𝜆
ℎ
где 𝜆 = √2𝜋𝑚𝑘
- тепловая длина волны де Бройля и 𝑑 = (𝑉 /𝑁 )1/3 . Следовательно,
𝐵𝑇
приближение exp(−𝛽𝜇) ≫ 1 эквивалентно условию 𝐷 ≫ 𝜆.
(iii) В первом порядке разложения экспоненты можно записать
1
𝑒𝛽(𝜀−𝜇) − 1
[
]
≈ 𝑒−𝛽(𝜀−𝜇) 1 + 𝑒−𝛽(𝜀−𝜇)
Тогда средняя энергия системы есть
⎡∞
⎤
(
)
∫∞
3
3/2 ∫
√
√
3
𝜆
2𝜋𝑉 (2𝑚) ⎣
𝛽𝜇 −𝛽𝜀
2𝛽𝜇 −2𝛽𝜀
𝜀 𝜀𝑒 𝑒 𝑑𝜀 + 𝜀 𝜀𝑒 𝑒
𝑑𝜀⎦ = 𝑁 𝑘𝐵 𝑇 1 + √
𝐸=
ℎ3
2
4 2𝑑3
0
0
2. (i) Распределение Бозе-Эйнштейна
1
𝑒𝛽(𝜀−𝜇)
−1
Поскольку число частиц не может быть отрицательным, должно выполняться
условие 𝜇 ≤ 0. Число частиц в интервале энергии между 𝜀 и 𝜀 + 𝑑𝜀 определяется
как
√
2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2
𝜀𝑑𝜀
𝑁 (𝜀) =
⋅ 𝛽(𝜀−𝜇)
3
ℎ
𝑒
−1
С уменьшением температуры химический потенциал газа возрастает пока не
становится равным нулю, тогда
√
2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2
𝜀𝑑𝜀
𝑁 (𝜀) ≈
⋅
ℎ3
𝑒𝛽𝜀 − 1
Бозе-Эйнштейновская конденсация происходит при дальнейшем уменьшении температуры,
при этом химпотенциал продолжает оставаться равным нулю, однако число
частиц находящихся не в основном состоянии, продолжает уменьшаться. Энергия
системы и ее теплоемкость равны (𝑥 = 𝛽𝜀)
2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2
𝐸=
ℎ3
∫∞
2𝜋𝑉 (2𝑚)3/2
𝜀 √
𝜀𝑑𝜀
=
(𝑘𝐵 𝑇 )3/2
𝑒𝛽𝜀 − 1
ℎ3
0
∫∞
𝑥3/2
𝑑𝑥
𝑒𝑥 − 1
0
Вычислим интеграл этого типа
∫∞
𝐼𝑛 =
𝑥𝑛 𝑑𝑥
𝑓 −1 𝑒𝑥 − 1
0
где мы определили фугитивность (активность) 𝑓 = 𝑒𝛽𝜇 , 0 ≤ 𝐹 ≤ 1. Воспользуемся
1
далее известной формулой прогрессии 1+𝑥+𝑥2 +⋅ ⋅ ⋅ = 1−𝑥
; (𝑥 < 1) и, поскольку
1
1
−𝑥
= 𝑓 𝑒 1−𝑓 𝑒−𝑥 , запишем интеграл в виде бесконечного ряда:
𝑓 −1 𝑒𝑥 −1
∫∞
𝑥𝑛 𝑑𝑥
𝐼𝑛 =
0
∞
∑
𝑓 𝑘 𝑒−𝑘𝑥
𝑘=1
∫∞
∞
∑
𝑓𝑘
=
(𝑘𝑥)𝑛 𝑒−𝑘𝑥 𝑑(𝑘𝑥)
𝑛+1
𝑘
𝑘=1
0
Возникающий при этом интеграл одинаков для каждого члена рада и связан с
∫∞
гамма-функцией Γ(𝑛 + 1) = 𝑡𝑛 𝑒−𝑡 𝑑𝑡. Далее, при нулевом значении химического
0
потенциала 𝜇 = 0 оставшийся ряд сводится к 𝜁-функции Римана:
𝐼1/2
𝑘 −(𝑛+1) =
𝑘=1
𝜁(𝑛 + 1) и окончательно
√
3 3
𝜋
= Γ( )𝜁( ) =
⋅ 2.613
2 2
2
∞
∑
𝐼3/2
√
5 5
3 𝜋
= Γ( )𝜁( ) =
⋅ 1.3415
2 2
4
Таким образом,
3𝑉 𝑘𝐵 𝑇
𝐸=√
𝐼3/2 (𝑓 )
𝜋 𝜆3
Теплоемкость бозонного газа равна
𝐶𝑉 =
15𝑉 𝑘𝐵
3𝑉 𝑘𝐵 𝑇 ∂𝐼3/2 ∂𝑓
∂𝐸
= √ 3 𝐼3/2 (𝑓 ) + √
∂𝑇
2 𝜋𝜆
𝜋 𝜆3 ∂𝑓 ∂𝑇
(ii) Для фотонного газа химический потенциал равен нулю при любой температуре
и энергия одного фотона равна 𝜀 = ℏ𝜔 = 𝑐ℏ𝑘. Следовательно, число фотонов с
импульсом в интервале между 𝑘 и 𝑘 + 𝛿𝑘 определяется соотношением
𝑔(𝑘)𝑑𝑘 = 2
𝑉
4𝜋𝑘 2 𝑑𝑘
(2𝜋)3
и элемент объема фазового пространства записывается как
𝜔 2 𝑑𝜔
𝑔(𝜀) = 𝑉 2 3
𝜋 𝑐
Тогда энергия фотонного газа есть
∫∞
𝐸=
𝜀𝑑𝜀
1
𝑔(𝜀) 𝛽𝜀
= 2 3
𝑒 −1
𝜋 𝑐
0
∫∞
ℏ𝜔 3
ℏ
𝑑𝜔 = 2 3
ℏ𝛽𝜔
𝑒
−1
𝜋 𝑐
(
𝑘𝐵 𝑇
ℏ
)4 ∫∞
𝑥3 𝑑𝑥
𝑒𝑥 − 1
0
0
Окончательно, вычислим возникающий здесь интеграл
∫∞
0
∞
∑
𝑥3 𝑑𝑥
1
𝜋4
=
𝐼
=
Γ(4)
=
Γ(4)𝜁(4)
=
6𝜁(4)
=
3
𝑒𝑥 − 1
𝑛4
15
𝑛=0
получим известный закон Стефана-Больцмана:
4
𝐸
𝜋 2 𝑘𝐵
= 𝜎𝑇 4 =
𝑇 4;
3
𝑉
15(ℏ𝑐)
𝜎=
4
𝜋 2 𝑘𝐵
15ℏ3 𝑐3
2
𝑝
3. (i) Гамильтониан частицы имеет вид 𝐻 = 2𝑚
, его собственные функции ∣𝐸⟩
образуют ортонорированный базис энергетического представления. Соответствующая
матрица плотности в координатном представлении тогда записывается как
∑
∑
∑
⟨r∣𝜌∣r′ ⟩ =
⟨r∣𝐸⟩⟨𝐸∣𝑒−𝛽𝐻 ∣𝐸 ′ ⟩⟨𝐸 ′ ∣r′ ⟩ =
Ψ𝐸 (r)𝑒−𝛽𝐸 𝛿𝐸𝐸 ′ Ψ∗𝐸 ′ (r′ ) =
Ψ𝐸 (r)𝑒−𝛽𝐸 Ψ∗𝐸 (r′ )
𝐸,𝐸 ′
𝐸,𝐸 ′
𝐸
а волновые функции в координатном представлении имеют вид
1
Ψ𝐸 (r) = √ 𝑒𝑖k⋅r−𝑖𝐸𝑡 ;
𝑉
𝐸=
ℏ2 𝑘 2
2𝑚
Таким образом
(
)
∫
1 ∑ 𝑖k⋅(r−r′ )−ℏ2 𝑘2 /2𝑚𝑘𝐵 𝑇
1
ℎ2 𝑘 2
3
′
𝑒
=
⟨r∣𝜌∣r ⟩ =
𝑑 k exp 𝑖k ⋅ (r − r ) −
𝑉 k
(2𝜋)3
8𝜋𝑚𝑘𝐵 𝑇
(
)3/2
(
)
𝑚𝑘𝐵 𝑇
2𝜋 2 𝑚𝑘𝐵 𝑇 (𝑟 − 𝑟′ )2
=
exp
−
2𝜋ℏ2
ℎ2
′
(ii) Число свободных бозонов находящихся в состоянии с импульсом ⃗𝑘 при температуре
𝑇 определяется распределением Бозе-Эйнштейна:
⟨𝑁𝑘 ⟩ =
(
exp
1
ℏ2 𝑘2
2𝑚𝑘𝐵 𝑇
−
𝜇
𝑘𝐵 𝑇
)
−1
Таким образом
1 ∑
𝑒𝑖k⋅r
(
𝜌(r) =
𝑉 k exp ℏ2 𝑘2 −
2𝑚𝑘𝐵 𝑇
2 1
=
(2𝜋)2 𝑟
1
)
=
𝜇
(2𝜋)3
−1
𝑘𝐵 𝑇
∫∞
𝑑𝑘 ⋅ 𝑘 sin(𝑘𝑟)
0
(
exp
∫
𝑑3 k
1
ℏ2 𝑘 2
2𝑚𝑘𝐵 𝑇
−
𝜇
𝑘𝐵 𝑇
(
exp
𝑒𝑖k⋅r
ℏ2 𝑘2
2𝑚𝑘𝐵 𝑇
−
𝜇
𝑘𝐵 𝑇
)
−1
)
−1
где мы воспользовались тем, что
∫
∫𝜋
∫
3
𝑖k⋅r
𝑑 k𝑒
= 2𝜋
𝑑𝑘 ⋅ 𝑘
2
∫
𝑑𝜃 sin 𝜃𝑒
𝑖𝑘𝑟 cos 𝜃
= −2𝜋
∫
𝑘
𝑑𝑘
𝑟
𝑑(𝑘𝑟 cos 𝜃)𝑒𝑖𝑘𝑟 cos 𝜃
0
−𝑖𝑘𝑟
= −2𝜋𝑖(𝑒
− 𝑒𝑖𝑘𝑟 ) = 4𝜋 sin(𝑘𝑟)
При 𝑇 = 𝑇𝐶 химический потенциал обращается в ноль, то есть
2 1
𝜌(r) =
(2𝜋)2 𝑟
∫∞
𝑑𝑘 ⋅ 𝑘 sin(𝑘𝑟)
0
(
exp
1
)
ℏ2 𝑘 2
2𝑚𝑘𝐵 𝑇𝐶
−1
При 𝑟 → ∞ можно выполнить приближенную оценку этого интеграла:
√
𝑟 2𝑚𝑘
∫ 𝐵 𝑇𝐶 /ℏ
𝜌(r) ≈
2 1
(2𝜋)2 𝑟3
⎛
2 1⎜
≈
⎝
(2𝜋)2 𝑟
𝑑𝑥 ⋅ 𝑥 sin 𝑥
0
√
𝑟 2𝑚𝑘
∫ 𝐵 𝑇𝐶 /ℏ
exp
⎞
(
1
ℏ2 𝑥2
2𝑚𝑘𝐵 𝑇𝐶 𝑟2
)
−1
4𝑚𝑘𝐵 𝑇𝐶
sin 𝑥 ⎟ 2𝑚𝑘𝐵 𝑇𝐶
≈
𝑑𝑥
⎠
2
𝑥
ℏ
(2𝜋)2 ℏ2 𝑟
0
∫∞
𝑑𝑥
0
sin 𝑥
𝑚𝑘𝐵 𝑇𝐶 1
≈
𝑥
2𝜋ℏ2 𝑟
4. Условием конденсации бозонов в основном состоянии является обращение в ноль
химического потенциала. Для газа бозонов в двумерном пространстве мы можем
записать выражение для среднего числа частиц
2𝜋𝑚𝑆
𝑁=
ℎ2
∫∞
0
2𝜋𝑚𝑆
=
𝛽(𝜀−𝜇)
𝑒
−1
ℎ2
𝑑𝜀
∫∞ Ã∑
∞
𝑘=1
0
)
𝑒
−𝑘𝛽(𝜀−𝜇)
∞
∑
1 𝑘𝛽𝜇
2𝜋𝑚𝑆
𝑘𝐵 𝑇
𝑒
𝑑𝜀 =
2
ℎ
𝑘
𝑘=1
∫
где 𝑆 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 - площадь двумерной поверхности (аналог объема 𝑉 ). Очевидно,
что это выражение расходится в пределе 𝜇 = 0 - конденсация невозможна.
Для одномерного газа аналогичное выражение для среднего числа часлиц имеет
вид
√
∫∞
2𝑚𝐿
𝑑𝜀
√ 𝛽(𝜀−𝜇)
𝑁=
2ℎ
𝜀(𝑒
− 1)
0
При 𝜇 = 0 этот интеграл расходится, то есть конденсация также невозможна.