МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ МАТЕМАТИКИ, ЧЕРЧЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ С АРХЕОЛОГИЕЙ Т.И. Кузнецова

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ МАТЕМАТИКИ,
ЧЕРЧЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ С АРХЕОЛОГИЕЙ
Т.И. Кузнецова
Центр международного образования МГУ
имени М.В. Ломоносова, г. Москва
Аннотация: выявляются и закрепляются межпредметные связи археологии с
математикой, черчением и информатикой - на примере исследования, восстановления форм и
расчета сосудов, найденных археологами Московского университета имени М.В.
Ломоносова в «Круглом кургане» в окрестностях станицы Нижне-Тиловской Ростовской
области и в могильнике Бельбек IV в Юго-Западном Крыму и датированных I в. н. э.
Ключевые слова: межпредметные связи, математика, черчение, информатика,
археология, археологические раскопки, сосуды, форма, объем, приближененные вычисления
Чистая математика не может развиваться, не отрицая себя как чистую
математику, она развивается на основе применений, в связи с содержанием,
к которому применяется математический метод
Киселева Н.А.
Математика и действительность
Продолжим исследовать сложные сосуды, найденные археологами из
МГУ при археологических раскопках (начало см. в [1]).
1. Усеченный конус и цилиндр. Рассмотрим чашу
рис. 1 из
краснолаковой керамики, найденную при раскопках могильника Бельбек IV
(см. [2, с. 259]). Она датирована II половиной I в. - I четвертью II в. н. э. и
является представителем многочисленного ряда чаш, очень распространенных
среди краснолаковой керамики различных центров производства. О них
авторы статьи на с. 241 пишут следующим образом: «Тулово чаш имеет
усеченно-коническую форму, стенки слабовогнуты, бортик – прямой или
слабовогнутый».
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Приложив край линейки к крайним точкам профиля тулова, а затем –
бортика, делаем вывод о том, что их «слабовогнутостью» мы можем
пренебречь. Поэтому можно считать, что чаша состоит из усеченного
конуса и цилиндра. Воспользовавшись результатами пп. 1 и 2 и методикой п. 4
[1], с легкостью составим формулу:
V = V1 + V2 ,
где V1 = Vусеч. кон.=
1
πh1(r 12 + r1 r2 + r 22 ) и V2 =Vцил.= π r 22 h2, (1)
3
Для нашего конкретного примера с помощью линейки рис. 3 (см. также п.
1 [1]) получаем:
r1 = 2,3 см, r2 = 5,0 см, h1 = 4,3 см, h2 = 1,2 см,
(2)
откуда видно, что все исходные данные заданы с точностью до одного
десятичного знака и до двух значащих цифр.
Программа для вычисления объема этой чаши имеет вид:
ПРОГРАММА 1
10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛ.-КОН. СОСУДА
20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2 И H1, H2»
30 INPUT R1, R2, H1, H2
40 PRINT «V=»; 3.14  ( H1  (R1^2 + R1  R2 + R2^2)/3 +R2^2  H2); «куб. см»
50 END
Запустив программу и введя значения (2) исходных данных, получаем
V = 282.2829 куб. см
Округлив это значение до двух значащих цифр, получаем окончательный
ответ:
V ≈ 280 см3.
Предлагаем читателю провести вычисления вручную по формуле (1), а
затем сравнить вновь полученный результат с полученным на компьютере. То
же можно рекомендовать сделать при решении последующих задач.
2. Усеченный шар и цилиндр. Рассмотрим сероглиняный лепной сосуд
– флягу рис. 2, найденную в «Круглом кургане» (см. [3, с. 210]). Она датируется
серединой I в. н. э. Авторы статьи на с. 188 так описывают этот сосуд:
«высокое прямое горло, резко переходящее в шаровидное тулово с плоским
дном». Очень точное описание! Действительно, проверка на приближение
криволинейной части профиля фляги к окружности, проведенная по методике
п. 3 [1], подтверждает это: «разброс» центров соответствующей окружности невелик.
Воспользовавшись результатами п. 1 [1], формулой для вычисления
объема шарового слоя
Vшар. сл.=
1
1
πh 13 + πh1(r 12 + r 22 )
6
2
и методикой п. 4 [1], составим формулу для вычисления объема фляги:
V = Vшар.сл.+ Vцил. =
1
1
πh 13 + πh1(r 12 + r 22 ) + πr 22 h2.
6
2
(3)
Для нашего конкретного примера измерения линейкой п. 1 дают:
r1 = 2,7 см, r2 = 2,2 см, h1 = 7,0 см, h2 = 2,6 см.
Программа 2 для вычисления объема рассматриваемой фляги отличается
от предыдущей программы 1 только строкой 40 (и, конечно, строкой 10, так
как при этом изменяется название сосуда):
ПРОГРАММА 2 (ПРОГРАММА 1+)
10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ШАР.-ЦИЛ. СОСУДА
40 PRINT «V=»; 3.14  (H1^3/6 + H1  (R1^2 + R2^2)/2 + R2^2  H2); «куб. см»
С помощью компьютера получаем:
V = 352.3258 куб. см
Округлив это значение до двух значащих цифр, получаем окончательный
ответ:
V ≈ 350 см2.
3. Шар и конус. Рассмотрим бронзовый котел рис. 4а, найденный в
курганном могильнике Первомайский Х, расположенном на территории ВолгоДонского междуречья (см. [4, с. 174]). Он датирован I в. н. э. и относится к типу
VI варианту 1 подварианту А по классификации С.В. Демиденко (см. с. 177).
Об этой классификации С.В. Демиденко написал статью [5] – в ней о котлах
отмеченного типа на с. 125 читаем: «котлы, имеющие полусферическое тулово
с сужающимися к устью стенками на воронковидном поддоне».
Из рис. 4а видно, что котел помят и форма нарушена. Попытаемся
восстановить ее. Так как его левая часть и поддон сохранились лучше, возьмем
их за основу – ясно, что котел можно представить составленным из шарового
сегмента (нижняя часть) и усеченного конуса (верхняя часть), что
соответствует вышеприведенному описанию С.В. Демиденко [5].
Начнем восстановление формы котла с нижней части (см. рис. 4б):
соединим точки соединения поддона с котлом и таким образом получим
хорду окружности АВ, которая первоначально была, естественно,
горизонтальной, а теперь наклонена. Чтобы восстановить линию высоты (ось
вращения) котла, делим хорду АВ пополам и через ее середину N восставляем
перпендикуляр, который и является линией высоты. Из крайней левой верхней
точки опускаем перпендикуляр на линию высоты и получаем таким образом
верхний радиус CD котла. Стыковка шара и конуса осуществляется, как нам
кажется, естественным образом по «горизонтальной» линии орнамента EF (EF
 ND). Радиус шаровидной части строим аналогично п. 3 [1].
а
б
в
Рис. 4
Изготовив соответствующую линейку (см. рис. 4в), измеряем ею радиус
шаровидной части |АО| = r, ее высоту |NF| = h, радиусы усеченно-конической
части |CD| = r1, |EF| = r2 и ее высоту |DF| = h1. Воспользовавшись результатами
пп. 1 и 3 [1], запишем формулу для вычисления объема рассматриваемого котла:
V = Vшар. сегм. + Vусеч. кон. =
1
1
πh(h2 + 3r2) + πh1(r 12 + r1 r2 + r 22 ).
6
3
(4)
Для нашего конкретного примера измерения с помощью изготовленной
линейки (см. рис. 4б) дают:
r = 19,0 см, h = 17,0 см, r1 = 18,3 см, r2 = 17,4 см, h1 = 9,0 см.
Составим соответствующую программу:
ПРОГРАММА 3
10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ШАР.-КОН. СОСУДА
20 PRINT «ВВЕДИТЕ R, H, R1, R2, H1»
30 INPUT R, H, R1, R2, H1
40 PRINT «V=»; 3.142  (H  (H^2 + 3  R^2) + 2  H1  (R1^2 + R1  R2 + R2^2))/6; «куб.см»
50 END
Подставив значения (5 исходных данных в Программу 3, получаем:
V = 21223.21 куб. см
(5)
Записав это значение в стандартном виде и затем округлив его первый
множитель до десятых долей единицы (так как именно такова наименьшая
точность у исходных данных, а именно, у h1) или просто округлив до двух
значащих цифр, получаем окончательный ответ:
V ≈ 2,122321  104 см3 ≈ 2,1  104 см3 = 21000 см3 = 21 дм3 = 21 л.
Однако отметим, что проведенное округление достаточно грубое,
поскольку менее точное значение (h1) используется только при вычислении
объема усеченного конуса и не используется при вычислении объема
шарового сегмента. Чтобы уточнить вычисления, поступим аналогично п. 4 [1],
заменив в Программе 3 строку 40 на две новые строки:
40 PRINT «V1=»; 3.142  H  (H^2 + 3  R^2)/6; «куб. см»,
45 PRINT «V2=»; 3.142  H1  (R1^2 + R1  R2 + R2^2))/3; «куб.см»
В результате после запуска нового варианта программы получаем:
V1 = 12214 куб. см
V2 = 9011.915 куб. см
Округлив первое значение до трех, а второе - до двух значащих цифр,
приходим к следующему (верные цифры подчеркнуты):
V1 ≈ 122 00 см3 ; V2 ≈ 90 00 см3.
Заметим, что оба числа получились с одинаковой абсолютной точностью
- до сотен, поэтому их сумму мы должны взять с той же самой точностью – до
сотен. Таким образом приходим к результату, более точному, чем полученный
ранее:
V ≈ V1 + V2 = 122 00 см3 + 90 00 см3 = 212 00 см3 = 21,2 л.
4. Три усеченных конуса. Рассмотрим сосуд рис. 5а, найденный
археологами в могильнике на берегу Цимлянского водохранилища в 80-х годах
XX в. и датированный I в. н. э. (см. [4, с. 183]). Авторы статьи называют его
«биконическим сосудом со сглаженным ребром» (с. 172), что говорит о том,
что они считают, что этот сосуд состоит из двух конусов, однако наша
«склонность к математической точности» не позволяет нам согласиться с такой
формулировкой – из рис. 5в видно, что на самом деле данный сосуд состоит из
трех усеченных конусов.
Для нашего примера в [4] на с. 172 уже даны некоторые размеры: высота
кувшина – 13 см, диаметр венчика (горла) – 16 см, диаметр дна – 8,3 см. Все
размеры, как и раньше, приводятся измеренными по наружной стороне сосуда,
т. е. отличаются от нужных нам для вычисления фактического, т. е.
внутреннего, объема на толщину стенки сосуда. Сконструировав
соответствующую линейку (см. рис. 5б) и измерив ею внутреннюю высоту
(h1+h2+h3=12,5 см) и внутренний радиус горла (r4=7,5 см), делаем вывод, что
толщина сосуда равна 0,5 см. Далее получаем:
h3=2,0 см; h2=2,5 см; h1=8,0 см; r3=7,0 см; r2=7,7 см.
(6)
Сложнее получается с измерением внутреннего радиуса дна – из-за того,
что соединение боковой стенки сосуда с дном на рисунке изображено нечетко.
Чтобы определиться с этим вопросом, можно, переведя рисунок на кальку,
«прочистить» интересующее нас место стыковки стенки сосуда с дном, как это
было сделано на рис. 5в, и измерить получившийся после этого радиус дна – у
нас он получился приблизительно равным 4 см.
Однако
вспомним, что мы – достаточно хорошо «подкованные»
геометры,
поэтому, воспользовавшись данными и уже полученными
размерами, а также геометрическими свойствами получившихся фигур,
составляем следующую геометрическую задачу (рис. 5г).
а
б
в
г
Рис. 5
Геометрическая задача.
AA2CD и АА1OE – прямоугольники, |AA2| = 8,5 см, |A2C| = 8,3 см;
|AB| = 4,15 см,
OE  AB, OF  BC, |OE| = |OF| = 0,5 см.
Вычислить длину отрезка A1O.
Р е ш е н и е. Из свойства равенства противоположных сторон
прямоугольника следует, что |AA2| = |CD| = 8,5 см и |AD| = |A2C| = 8,3 см,
откуда |BD| = |AD| - |AB| = (8,3 – 4,15) см = 4,15 см. Величину α угла CBD
определяем из прямоугольного треугольника BCD:
α = arctg
8,5
.
4,15
Углы EOF и CBD равны как углы с взаимно перпендикулярными
сторонами, следовательно, величина угла EOF равна α. Треугольники OEB и
OFB равны как прямоугольные по гипотенузе и катету, поэтому углы EOB
и FOB равны. А так как в сумме они составляют угол EOF, то величина
каждого из них равна α/2. Из прямоугольного треугольника OEB получаем:
|EB| = |OE| tg(α/2).
Ясно, что A1O = AE (как противоположные стороны прямоугольника
AA1OE), поэтому
|A1O| = |AB| - |EB| = 4,15 – 0,5 tg[(arctg
8,5
)/2].
4,15
Чтобы вычислить числовое значение этого выражения, воспользуемся
компьютером (в режиме диалога):
PRINT «R1=»; 4.15 - .5  TAN(ATN (8.5/4.15)/2); «см»
На экране дисплея высвечивается:
R1 = 3.837707 см
Округлив это значение до десятых долей, окончательно получаем: r1 ≈
≈3,84 см.
Таким образом, теперь мы имеем числовые значения всех необходимых
элементов. Воспользовавшись формулой из п. 2 [1] три раза, вычисляем
искомый объем. При составлении программы можно использовать
подпрограмму или функцию пользователя, а для введения исходных данных
можно обратиться к операторам DATA и READ (см. [6, пп. 4.4, 4.8, 4.9, 5.2.3,
5.2.7, 5.2.8]). Приведем два варианта программы:
ПРОГРАММА 4.1
10 REM BЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА УСЕЧ.-КОН. СОСУДА – 1
20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2, R3, R4, H1, H2, H3»
30 INPUT R1, R2, R3, R4, H1, H2, H3
40 H=H1 : X=R1 : Y=R2 : GOSUB 80 : V=W
50 H=H2 : X=R3 : GOSUB 80 : V=V+W
60 H=H3 : Y=R4 : GOSUB 80 : V=V+W
70 PRINT «V=»; V; «куб. см» : GOTO 110
80 REM ПОДПРОГРАММА
90 W=3.14  H  (X^2+X  Y+Y^2)/3
100 RETURN
110 END
ПРОГРАММА 4.2
10 REM BЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА УСЕЧ.-КОН. СОСУДА – 2
20 DEF FNW(H,X,Y)=3.14  H  (X^2+X  Y+Y^2)/3
30 DATA H1, R1, R2, H2, R2, R3, H3, R3, R4
40 READ H,X,Y : W1=FNW(H,X,Y)
50 READ H,X,Y : W2=FNW(H,X,Y)
60 READ H,X,Y : W3=FNW(H,X,Y)
70 V=W1+W2+W3
80 PRINT «V=»; V; «куб. см»
90 END
Второй вариант программы короче первого, но при пользовании им
необходимо учесть особенности операторов DATA и READ – из строки 30
видно, что числовые значения радиусов r2 и r3 повторяются; кроме того, при
решении конкретной задачи эта строка набирается заново, так как для
работы этих операторов вместо буквенных обозначений H1, …, R4 мы должны
задать конкретные числа.
В первой программе частичные объемы суммируются последовательно.
Это дает возможность, если интересно, проследить «накопление» объема, т. е.,
например, узнать, какой объем жидкости поместится в рассматриваемом
сосуде, если наполнить его не доверху, а только по горло (здесь мы имеем в
виду уровень радиуса r3) – для этого достаточно в конце строки 50 добавить оператор
PRINT «V0=»; V; «куб.см»;
и это обеспечит вывод двух объемов – частичного (по горло) и полного (по
устье). Вторая программа не дает такой возможности с такой же очевидностью,
однако при желании ее легко перестроить, организовав постепенное
суммирование объема аналогично тому, как это делается в первой
программе или, например, добавив в строку 50 оператор
PRINT «V0=»; W1+W2; «куб.см»
Запустив первую программу и введя затем необходимые значения (6) исходных
данных:
? 3.84, 7.7, 7, 7.5, 8, 2.5, 2
или вторую программу, предварительно конкретизировав в ней строку 30:
30 DATA 8, 3.84, 7.7, 2.5, 7.7, 7, 2, 7, 7.5
на экране дисплея получаем:
V = 1622.128 куб. см
Записав это значение в стандартном виде и затем округлив его первый
множитель до десятых долей единицы (так как все исходные данные получены
именно с такой точностью) или сразу, просто округлив его до двух значащих
цифр, получаем окончательный ответ:
V ≈ 1,622128 ∙ 103 см3 ≈ 1,6 ∙ 103 см3 = 1600 см3 = 1,6 дм3 = 1,6 л.
Если мы хотим, кроме того, иметь значение частичного объема сосуда (по
горлышко), то, добавив в программу соответствующий оператор (см. выше), на
экране получим:
V0 =1291.905 куб. см
После округления запишем:
V0 ≈ 1,3 ∙ 103 см3 = 1,3 дм3 = 1,3 л.
В заключение отметим, что в настоящей работе все время говорится о
приближении рассматриваемых сосудов «элементарными» формами, т.е. это не
что иное, как полноценное исследование, посвященное, говоря языком высшей
математики, аппроксимации, т. е. замене одних математических объектов
другими, в том или ином смысле близкими исходным (см. [7, с. 76]). В этом
смысле эта работа в полной мере демонстрирует достоинства аппроксимации, а
именно, позволяет исследовать числовые характеристики (объем) и
качественные свойства (формы) объекта, сводя задачу к изучению более
простых или более удобных объектов, которые мы назвали элементарными –
цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, шарового сегмента, короче, таких
объектов, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых
уже известны учащимся или достаточно легко выводятся из изученных ранее
положений.
Литература
Кузнецова Т.И. Межпредметные связи математики, черчения и информатики с
историей. – В кн.: Проблемы учебного процесса в инновационных школах: Сб. науч. тр.
/ Под ред. О.В. Кузьмина. – Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008, вып. 13, с. 82 – 92.
2. Журавлев Д.В. Краснолаковая керамика группы Eastern sigillata B из могильника
Бельбек IV в Юго-Западном Крыму. – В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное
издание / Отв. ред. С.В. Демиденко, Д.В. Журавлев. – М.: ГИМ – МГУ им. М.В.
Ломоносова, 1997, с.227 – 260.
3. Демиденко С.В., Журавлев Д.В., Трейстер М.Ю. «Круглый курган» из раскопок В.Г.
Тизенгаузена. - В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное издание / Отв. ред. С.В.
Демиденко, Д.В. Журавлев. – М.: ГИМ – МГУ им. М.В. Ломоносова, 1997, с. 186 – 215.
4. Демиденко Ю.В., Мамонтов В.И. Курганный могильник Первомайский Х. - В кн.:
Древности Евразии: Сб. статей. Научное издание / Отв. ред. С.В. Демиденко, Д.В.
Журавлев. – М.: ГИМ – МГУ им. М.В. Ломоносова, 1997, с. 169 – 185.
5. Демиденко С.В. Типология литых котлов савромато-сарматского времени с территории
Нижнего Поволжья, Подонья и Северного Кавказа. - В кн.: Древности Евразии: Сб.
статей. Научное издание / Отв. ред. С.В. Демиденко, Д.В. Журавлев. – М.: ГИМ – МГУ
им. М.В. Ломоносова, 1997, с. 120 – 159.
6. Брычков Е.Ю., Кузнецова Т.И. Введение в информатику: Учебное пособие для
студентов-иностранцев высших учебных заведений / Под общ. ред. Т.И. Кузнецовой. –
М.: УРСС, 1997. – 208 с.
7. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И.
Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П.
Юшкевич. – М.: Сов. энциклопедия, 1988. – 847 с.
1.