План учебных занятий по дисциплине

Дисциплина:
yравнения математической физики
Осенний семестр
1. Классификация уравнений 2-го порядка c двумя
независимыми переменными
2. Приведение к каноническому виду в гиперболическом случае,
уравнение характеристик
3. Приведение к каноническому виду в эллиптическом и
параболическом случаях
4. Классификация уравнений с n независимыми переменными
5. Примеры
6. Вывод уравнения малых поперечных колебаний струны
7. Энергия малых колебаний струны
8. Вывод уравнения продольных колебаний стержня
9. Вывод уравнения колебаний мембраны
10. Граничные задачи для уравнения теплопроводности
11. Граничные задачи для эллиптических уравнений
12. Понятие о корректности задач математической физики,
пример Адамара
13. Понятие об обобщенных решениях
14. Волновое уравнение в пространстве
15. Задача Коши для неограниченной струны. Формула
Даламбера и ее физический смысл
16. Единственность решения граничных задач (энергия)
17. Метод Фурье для закрепленной струны и его обоснование
18. Общая схема метода Фурье
19. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций,
собственных чисел
20. Задача о свободных колебаниях прямоугольной мембраны
21. Задача о свободных колебаниях круглой мембраны
22. Функции Бесселя и их свойства
23. Решение неоднородных задач, общая схема
24. Вынужденные колебания струны и стержней
Весенний семестр
Граничные задачи для уравнения теплопроводности
1. Принцип максимума для уравнения теплопроводности и
его следствия
2. Распространение тепла в бесконечном стержне и в
пространстве
3. Распространение тепла в полубесконечном стержне
2
4. Распространение тепла в конечном стержне (включая
теплообмен)
Гармонические функции, их свойства
1. Определение гармонической функции. Фундаментальное
решение уравнения Лапласа
2. Формула Грина и интегральное представление функций из
класса С2
3. Свойство
нормальной
производной
гармонической
функции
4. Интегральное представление гармонических функций
5. Дифференцируемость гармонических функций
6. Теорема о среднем для гармонических функций
7. Лемма об устранимой особенности гармонических функций
8. Преобразование Кельвина и поведение гармонических
функций на бесконечности
Краевые задачи для уравнения Лапласа
1. Постановка внутренних и внешних краевых задач для
уравнения Лапласа
2. Теоремы единственности для задач Дирихле и Неймана
3. Функция Грина задачи Дирихле и ее свойства
4. Метод электростатических отображений и решение задачи
Дирихле для шара
5. Решение задачи Дирихле для круга
6. Решение задачи Дирихле для полуплоскости
Теория потенциала
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Определение различных видов потенциалов
Две теоремы об объемном потенциале
Теорема о плоском логарифмическом потенциале
Поверхности Ляпунова и их свойства
Теорема о существовании потенциала двойного слоя вне и
на поверхности
Интеграл Гаусса
Теорема о скачке потенциала двойного слоя
Теорема о непрерывности потенциала простого слоя, и о
скачке его нормальной производной
Теорема о непрерывности логарифмического потенциала,
теорема
о
скачке
нормальной
производной
логарифмического потенциала
3
10.
Сведение граничных задач Дирихле и Неймана к
интегральным уравнениям
Литература:
1. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов.
Дифференцивльные уравнения математической физики.
Физматгиз, М.-1962 (и другие издания).
2. И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными
производными. ГИТЛ, М.-1953 (и другие издания).
3. В. С. Владимиров. Уравнения математической физики.
Наука. М.-1988, 512 стр.
4. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Упражнения по
математической физике. Наука. М.-1966. 724 стр.
5. А. Д. Алексеев, Т. Н. Радченко, В. С. Рогожин, Э. Г. Хасабов,
Практикум по уравнениям математической физики. 1-й
обучающий модуль. Метод характеристик. Метод Фурье.
УПЛ РГУ, 1992.
6. А. Д. Алексеев, Т. Н. Радченко, В. С. Рогожин, Э. Г. Хасабов,
Практикум по уравнениям математической физики. 2-й
обучающий модуль. Метод характеристик. Метод Фурье.
УПЛ РГУ, 1992.
7. С. Н. Кудряшов. Уравнения математической физики.
(первый и второй обучающие модули, все разделы). УПЛ
РГУ, 1994.
8. С. Н. Кудряшов. Уравнения математической физики:
уравнения эллиптического типа (разделы 1,2). УПЛ РГУ,
1995.
9. С. Н. Кудряшов. Уравнения математической физики:
уравнения параболического типа (разделы 1,2). УПЛ РГУ,
1995.