Б1.В.ДВ.5_Специальные функции в задачах механики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ИНЖЕНЕРНАЯ ШКОЛА
«СОГЛАСОВАНО»
«УТВЕРЖДАЮ»
Руководитель ОП
«Прикладная механика»
Заведующая кафедрой
Механики и математического моделирования
(название кафедры)
Озерова Г.П
(подпись)
Бочарова А.А.
(Ф.И.О. рук. ОП)
«28»июня
(подпись)
2013г.
«28»
(Ф.И.О. зав. каф.)
июня
2013г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (РПУД)
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ
Направление подготовки: 151600.62 Прикладная механика
Профиль подготовки:
«Математическое и компьютерное моделирование механических систем и процессов»
Форма подготовки (очная)
Инженерная школа ДВФУ
Кафедра механики и математического моделирования
курс 3семестр 6
лекции 18 (час.)
практические занятия 54час.
лабораторные работы -час.
самостоятельная работа 72час.
всего часов аудиторной нагрузки 72час.
контрольные работы (0)
курсовая работа / курсовой проект - семестр
зачет -семестр
экзамен 6семестр
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования, утвержденного приказом Министерства
образования и науки РФ от 9 ноября 2009 № 541
Рабочая программа обсуждена на заседании
моделирования, протокол № 9 от «27» июня 2013 г.
кафедры
Заведующая кафедрой:к.ф.-м.н., доцент. Бочарова А.А.
Составитель: Бочарова А.А.
1
Механики
и
математического
Оборотная сторона титульного листа РПУД
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 20___ г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 20___ г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
2
АННОТАЦИЯ
Учебная дисциплина «Специальные функции в задачах механики»
предназначена для студентов 3 курса, обучающихся по направлению
151000.62
«Прикладная
компьютерное
механика»,
моделирование
профиль
механических
«Математическое
систем
и
и
процессов».
Дисциплина входит в базовую часть профессионального цикла. Дисциплина
«Специальные функции в задачах механики» логически и содержательно
связана с такими курсами как «Физика», «Уравнения математической
физики», «Вычислительная механика», «Теория упругости», «Численные
методы в механике».
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 144 часа.
Учебным
планом
предусмотрены
лекционные
занятия
(18
часов),
практические занятия (54 часов), самостоятельная работа студента (72 часов).
Дисциплина реализуется на 3 курсе в 6семестре.
Цель:выработать
аналитических
у
методах
студентов
решения
представление
задач
для
о
постановке
уравнений
в
и
частных
производных, применении специальных функций в задачах математической
физики, о возможностях вычислительных пакетов для аналитических и
численных решений задач для уравнений в частных производных.
Задачи:
1. Систематизация
основных
представлений
в
области
свойствспециальных функций, встречающихся при решениизадач для
уравнений в частных производных.
2. Освоение
студентами
основных
методов
решения
задач
математической физики, приводящих к уравнению специальных функций.
3. Выработка
современными
у
студентов
навыков
вычислительными
самостоятельной
пакетами
преобразований и численных расчетов.
3
для
работы
с
аналитических
4. Формирование у студентов мотивации к самообразованию за счет
активизации с помощью систем компьютерной математики самостоятельной
познавательной деятельности.
В результате изучения дисциплины бакалавр должен знать:
- глубоко и прочно основные темы курса;
-последовательно, грамотно и без логических пробелов излагать
программный материал;
- формулировать и доказывать наиболее важные для овладения курсом
утверждения;
- решать типовые задачи, не затрудняясь при видоизменении условий
задачи;
уметь:
- применять полученные знания в области специальных функций для
освоения аналитических методов решения задач для уравнений в частных
производных;
- правильно применять
соответствующий физико-математический
аппарат для решения задач для уравнений в частных производных в
технических приложениях;
-
использовать
и
квалифицированно
применять
программное
обеспечение и математические пакеты для решения задач математической
физики,
владеть:
- навыками применения аналитических методов решения задач
математической физикикрешению профессиональных задач;
-навыками использования специальных функций, встречающихся при
решении задач для уравнений в частных производных;
- навыками работы с вычислительными пакетами, как средством
позволяющим
существенно
облегчить
вычислительные расчеты;
4
рутинные
аналитические
и
а также обладать следующими общекультурными и профессиональными
компетенциями:
ОК-16: быть готовым к профессиональному росту, самостоятельно
пополнять свои знания, совершенствовать умения и навыки, самостоятельно
приобретать и применять новые знания, развивать компетенции;
ПК-1:
быть
способным
выявлять
сущность
научно-технических
проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и привлекать
для их решения соответствующий физико-математический аппарат;
ПК-8: участвовать в проектировании машин и конструкций с целью
обеспечения их прочности, устойчивости, долговечности и безопасности,
обеспечения надежности и износостойкости узлов и деталей машин;
ПК-11:
участвовать
во
внедрении
технологических
процессов
наукоемкого производства, контроля качества материалов, процессов
повышения надежности и износостойкости элементов и узлов машин и
установок, механических систем различного назначения.
I. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
МОДУЛЬ 1.Цилиндрические функции(10 час).
Раздел I.
Тема 1. Уравнение специальных функций.(2 час.).
Общая схема метода разделения переменных для уравнения колебаний
неоднородной струны. Уравнение специальных функций, свойства решений
уравнения специальных функций, ортогональность собственных функций
задачи Штурма-Лиувилля. Частные случаи уравнения специальных функций.
Тема 2. Решение уравнения Бесселя (2 час.).
Решение уравнения Бесселя в виде обобщенного степенного ряда,
получение рекуррентной формулы для коэффициентов ряда. Гамма-функция,
свойства гамма-функции. Свойства функции Бесселя, область сходимости.
Тема 3.Цилиндрические функции (2 часа).
Функция Бесселя отрицательного порядка,функция Неймана. Вывод
5
рекуррентных
формул
для
производных
функции
Бесселя.
Пример
вычисления интеграла от функции Бесселя. Ортогональность системы
функций Бесселя. Обобщенные ряды Фурье, ряды Дени.Комплексно
сопряжённые решения уравнения Бесселя, функции Ханкеля, асимптотика
функций Ханкеля.
Раздел II. Задачи, приводящие к уравнению Бесселя (4 часа).
Тема 1. Свободные колебания круглой мембраны.
Решение задачи о свободных колебаниях круглой мембраны при
произвольных начальных условиях. Задача об остывании бесконечного
кругового цилиндра. Применение вычислительного пакета MAPLE к
аналитическим вычислениям со специальными функциями, построение
графиков решения задач.
Тема 2. Модифицированные цилиндрические функции (2 часа).
Функции Бесселя мнимого аргумента. Уравнение модифицированных
функций
Бесселя,
линейно
независимые
решения.
Асимптотика
модифицированных функций на бесконечности.
МОДУЛЬ 2. Сферические функции(8час).
Раздел I. Задачи, приводящие к уравнению сферических функций.
Тема 1. Полиномы Лежандра(2 час.).
Производящая функция для полиномов Лежандра. Свойства полиномов,
рекуррентные формулы. Вывод уравнения Лежандра. Ортогональность
полиномов Лежандра. Присоединенные полиномы Лежандра.
Тема 2. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах(2
час.).Сферические функции. Задача Дирихле для сферы. Собственные
колебания сферы. Свойства сферических функций.
Раздел II.Колебания и волна в пространстве .
Тема 1. Плоские волны (2 час.).Задача Коши для бесконечнойструны,
метод Даламбера. Волны в пространстве, задача Коши, сферические волны.
Тема 2. Уравнение Гельмгольца(2 час.).
6
Гармонические
колебания,
вывод
уравнения
Гельмгольца.
Фундаментальные решения уравнения Гельмгольца на плоскости и в
пространстве. Звуковое поле шара, звуковое поле цилиндра с постоянной
плотностью источников.
II.
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
КУРСА
Практические занятия (54час.)
Занятие 1. Уравнение Лапласа, Пуассона(4 час.)
1. Оператор Лапласа в цилиндрических исферических координатах,
фундаментальные решения на плоскости и в пространстве.
2. Собственные функции оператора Лапласа для прямоугольника,
параллелепипеда, кругового сектора.
Занятие 2. Задача Дирихле для круга(4 час.)
1. Постановка задачи Дирихле, метод разделения переменных, вывод
формулы Пуассона, пример применения формулы Пуассона.
2. Задача Дирихле для кольца.
Занятие 3. Гармонические функции (4 час.)
1. Гармонические функции, функция Грина, теория потенциала.
Интегральное представление решений.
2. Свойства гармонических функций , принцип максимума.
3. Метод функций Грина для решения задач Дирихле и Неймана.
Функция Грина для полуплоскости, полупространства.
Занятие 4. Цилиндрические функциив задачах для уравнения
колебаний(4 час.)
1. Свободные колебания круглой мембраны. Вычисление интегралов,
содержащих
функции
Бесселя
в
аналитическом
виде
с
рекуррентных формул.
2. Задачи с граничными условиями второго и третьего рода.
7
помощью
Занятие 5. Цилиндрические функции в задачах для уравнения
теплопроводности (4 час.)
1. Задача
об
остывании
бесконечного
кругового
цилиндра
с
граничными условиями первого, второго и третьего рода.
2. Задача теплопроводности для цилиндра конечной длины.
Занятие 6. Модифицированные функции в задачах для уравнения
теплопроводности (4 час.)
1. Задачи, приводящие к уравнению модифицированных функций
Бесселя.
2. Задача
о
теплопроводности
цилиндра
конечной
длины.
Стационарное распределение температур в бесконечной пластине с
цилиндрической выемкой.
3. Решение задачи с помощью вычислительной системы MAPLE.
Занятие 7. Модифицированные цилиндрические функции (4 час.)
1. Фундаментальные
решения
уравнения
Гельмгольца
с
положительным и отрицательным коэффициентом для плоскости.
2. Звуковое поле шара, звуковое поле цилиндра с постоянной
плотностью источников.
Занятие 8. Сферические функции (4 час.)
1. Ортогонализация системы степенных функций методом ГрамаШмидта.
2. Построение системы ортонормированных полиномов Лежандра.
3. Разложение кубического полинома в ряд по полиномам
Лежандра.Разложение функций в ряд по полиномам Лежандра с помощью
вычислительной системы MAPLE.
Занятие 9. Сферические функции (4 час.)
1. Решение
уравнения
Лапласа,
Гельмгольца
в
сферических
координатах.
2. Собственные
колебания
сферы.
присоединенных полиномов Лежандра.
8
Ортогональность
системы
3. Сферические
функции,
сферические
гармоники.
Определение
коэффициентов обобщенных рядов Фурье.
Занятие
10.
Решение
задач
механики
с
использованием
специальных функций(4 час.)
1. Свободные продольные колебания цилиндрического стержня со
свободными концами.
2. Крутильные колебания однородного цилиндрического стержня.
3. Продольные колебания стержня при внезапном прекращении
действия растягивающей силы.
4. Малые радиальные колебания однородного газа, заключённого в
трубке.
Занятие
11.
Решение
задач
механики
с
использованием
программного комплекса MAPLE (4 час.)
1. Распределение
тепла
в
однородном
шаре
с
источником
расположенном в центре.
2. Остывание
однородного
стержня
с
теплоизолированной
поверхностью.
3. Распределение температуры в неограниченной пластине.
Занятие
12.
Решение
задач
механики
с
использованием
программного комплекса MAPLE (4 час.)
1. Распространение тепла в однородном кольце с малым поперечным
сечением.
2. Радиальное
распространение
тепла
в
бесконечном
круговом
цилиндре.
3. Распределение температуры в неограниченной цилиндрической
трубке.
4. Распределение
температуры
в
полуограниченном
стержне
с
теплоизоляцией боковой поверхности.
Занятие
13.
Решение
задач
механики
программного комплекса MAPLE (4 час.)
9
с
использованием
1. Распределение
потенциала
электростатического
поля
внутри
прямоугольника.
2. Стационарное
распределение
температуры
в
проводнике
поперечного сечения.
3. Распределение потенциала электростатического поля внутри полого
цилиндра.
4. Распределение
температуры
внутри
цилиндра
с
нулевой
температурой на боковой поверхности.
Занятие 14. Итоговое занятие(2 час.)
1. Проведение контрольной работы
2. Защита индивидуальных заданий для самостоятельной работы
3. Презентация результатов вычислений.
III.
КОНТРОЛЬ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛЕЙ КУРСА
В качестве промежуточного контроля успеваемости используется
тестирование по модулю «Свойства специальных функций».
Вопросы к экзамену
1. Фундаментальные решения уравнения Лапласа на плоскости и
пространстве.
2. Вывод формул Грина. Свойства гармонических функций.
3. Интегральное представление решений.
4. Функция Грина для задач Дирихле и Неймана.
5. Задача Дирихле для круга,
6. Задача Дирихле для прямоугольника.
7. Распространение волн в пространстве. Сферические волны.
8. Задачи, приводящие к уравнению Гельмгольца.
9. Фундаментальные решения уравнения Гельмгольца в пространстве.
10. Решение уравнения Бесселя.
11. Свойства цилиндрических функций Бесселя, Неймана.
12. Комплексно сопряженные решения уравнения Бесселя
10
13. Задача о свободных колебаниях круглой мембраны.
14. Модифицированные функции Бесселя.
15. Фундаментальные решения уравнения Гельмгольца на плоскости.
16. Задачи о звуковом поле шара и цилиндра с постоянной плотностью
источников.
17. Полиномы Лежандра, уравнение Лежандра.
18. Полиномы Чебышева-Лагерра, Чебышева-Эрмита.
19. Решение задачи Дирихле для сферы.
20. Задача о собственных колебаниях сферы.
IV. ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ РАБОТ И РЕФЕРАТОВ
Курсовые работы и рефераты не предусмотрены учебным планом
V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
1. Бочарова А. А. Математическая физика. – УМК – 148 с. Вл-к. изд-во
ДВГТУ – 2008 г.
http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:385006&theme=FEFU
2. Михлин С. Г. Курс математической физики. 575 с. Спб: Лань – 2008
г. http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:1120&theme=FEFU
3. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач
в среде Maple. 538 с. Спб:Питер – 2004 г.
http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:7962&theme=FEFU
4. Емельянов В. М. Уравнения математической физики. Практикум. 213
с. Спб: Лань – 2008.
http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:275948&theme=FEFU
5. Попов И.Ю. Лекции по математической физике. - СПб.:
СПбГИТМО(ТУ), 2004. - 104 с.http://window.edu.ru/resource/433/24433
6. Алексеев Г.В. Классические методы математической физики:
Учебное пособие. Часть 1. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2005. 224 с. http://window.edu.ru/resource/008/63008
11
Дополнительная литература
1. В. П. Глушко А. В. Глушко. Курс уравнений математической физики
с использованием пакета Mathematica. Уч. пособие. - Спб: Лань, 2010. - 319
с.
2. Л. К. Мартинсон, Ю. И. Малов. Математика в техническом
университете. Выпуск XII. Дифференциальные уравнения математической
физики. - М:Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. - 368 с.
3. А. Д. Полянин. Линейные уравнения математической физики.
Справочник. М:ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 576 с.
4. ТихоновА.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
М., 2002 – 724 с.
5. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач
в среде Maple. - Спб:Питер, 2004. - 538 с.
6. А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения
нелинейных
уравнений
математической
физики
и
механики.
М:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с.
7. Даишев Р.А., Никитин Б.С. Уравнения математической физики.
Сборник
задач.
-
Казань:
Каз.
http://window.edu.ru/resource/340/78340
12
гос.
ун-т,
2005.
-
76
с.