парадокс де мере

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9.
ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ "ХИЩНИК_ЖЕРТВА".
1. Постановка задачи.
В данной модели рассматривается борьба за существование двух видов в
популяции – хищников и жертв.
2. Математическая модель.
Пусть N(t) – численность жертв, M(t) – численность хищников, β1 –
коэффициент исчезновения жертв, β2 – прирост числа хищников за счёт пищи
из жертв. Образуются два уравнения с двумя начальными условиями, и
возникает задача Коши:
 dN
 dt  ( 1  1 M )  N

 dM  (   N )  M
2
2
 dt

 N (0)  N 0
 M ( 0)  M
0

Исключим t из системы, поделив одно уравнение на другое:
dM ( 2   2 N ) M

dN
( 1  1 M ) N
Запишем наше уравнение в виде пропорции:
(1  1M ) N  dM  ( 2   2 N )M  dN
Разделим на произведение N*M:
1
dM
dN
 1 dM   2
  2 dN
M
N
Получили дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. После
интегрирования получим:
ln M 1  1 M  ln N  2   2 N  C
где C находится начальных условий.
3. Упрощающие предположения.
Численность жертв уменьшается с ростом числа хищников, а численность
хищников падает с уменьшением числа жертв. Математическая модель,
описывающая динамику численности двух видов, строится на следующих
упрощающих предположениях:
 Численности популяции жертв N и хищников M зависят только от
времени (не учитывающая пространственное распределение популяции
на занимаемой территории)
 В отсутствии взаимодействия численность видом видов изменяется по
модели Мальтуса (при этом число жертв увеличивается, а хищников
падает)
dN/dt=alfa*N;
dM/dt=-beta*M;
 Естественная смертность и рождаемость хищника считается не
существенными
 Эффект насыщения численности обоих популяций не учитывается
 Скорость роста численности жертвы уменьшается пропорционально
численности хищников, т.е. величине c*M, с>0, а темп роста хищников
увеличивается пропорционально численности жертвы, т.е. величине
d*N, d>0
Исходя из данных упрощающих предположений, можем записать
дифференциальные уравнения, описывающие математическую модель:
dN/dt=alfa*N-c*M,
dM/dt=-beta*M-d*N
4. Реализация в MATLAB.
Создадим M файл для расчета дифференциальных уравнений
function chislennost=hg(t,M)
chislennost=zeros(2,1);
a1=20; a2=15; b1=0.3; b2=0.2;
chislennost(1)=(a1-b1*M(2)).*M(1);
chislennost(2)=(-a2+b2*M(1)).*M(2);
В командной строке пропишем:
[t,y]=ode45(@hg,[0 3],[Nst,Mst]);
plot(y(:,1),y(:,2));
Полученный график показывает цикличность происходящих процессов, а
именно снижение численности жертв, за счет этого снижение численности
хищников, следствием чего является увеличение численности жертв и в
будущем увеличение численности хищников.
График очень сильно зависит от изначальных параметров. Но их очень
тяжело подобрать, потому что количество хищников и жертв очень быстро
снижается до считанных единиц и график становится не столь красивым.
Зависимость популяции от времени
В подобном графике не очень просто выделить изменение численности той
или иной популяции во времени, поэтому, для наглядности, построим их
отдельно:
plot(t,y(:,1),t,y(:,2));
Синим цветом идет изменение численности жертв, а зеленым
хищников, собственно присмотревшись в один из этих периодов можно
найти описанный выше круговорот.