Самостоятельная работа для студентов 1 курса по дисциплине «Математика» Тема: Определение радианной и градусной меры угла. Решение упражнений на преобразование тригонометрических выражений. Часть 1. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ: 1. Ответить на контрольные вопросы: а) Что такое угол в 1 радиан? б) Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла . в) Как зависят знаки sin , cos , tg , ctg от того, в какой координатной четверти расположена точка P ? Назовите эти знаки. 2. Изучить условие заданий для практической работы. Опорный чертеж На рисунке совмещены декартова система координат и окружность единичного радиуса. Окружность «эквивалентна» понятию координатной прямой (начало отсчета – точка пересечения окружности с положительной частью осиОх, положительное направление – против часовой стрелки, единичный отрезок выражен через число ). На окружности отмечены точки, полученные при повороте радиуса окружности, совпадающего с положительной частью оси Ox, на различные углы . Абсциссы этих точек cos , ординаты sin . Дополнительно проведены две касательные к окружности (линии тангенса и котангенса) ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ Вариант 1. 1. Выразите величину угла: а) в радианной мере: 18 0 , 250 0 ; б) в градусной мере: , . 15 3 2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения sin и cos , если равно . 3 3. Определите знак: sin 212 0 и ctg 4. Вычислите: а) 2 cos 7 . 9 3 1 tg sin ; б) 2 2 2 5 cos 3 2 . cos 8 sin 4 sin Вариант 2. 1. Выразите величину угла: а) в радианной мере: 360 0 ; 225 0 ; б) в градусной 3 мере: ; . 18 2 2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения sin и cos , если равно . 4 6 3. Определите знак: cos 3050 и tg . 5 4. Вычислите: а) 2 sin 6 3ctg 3 1 cos 2 ; 2 7 sin 3 2 . 5 1 tg ctg 4 4 tg8 ctg б) Вариант 3. 1. Выразите величину угла: а) в радианной мере: 10 0 ; 240 0 ; б) в градусной мере: ; 3 . 9 2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения 5 sin и cos , если равно . 2 3. Определите знак: cos 105 0 и ctg 4. Вычислите: а) sin 2 cos 11 . 9 cos 2 sin 1,5 ; б) cos 420 0 sin 720 0 tg 405 0 . Вариант 4. 1. Выразите величину угла: а) в радианной мере 60 0 , 1350 ; б) в градусной 11 мере , . 4 6 2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения sin и cos , если равно . 6 3. Определите знак: sin 324 0 и tg 9 . 4 4. Вычислите: а) tg 3 б) tg 4 tg 6 sin ; 2 sin 765 0 cos 1140 0 tg585 0 3ctg 240 0 Вариант 5. 1. Выразите величину угла: а) в радианной мере 165 0 , 300 0 ; 2 13 б) в градусной мере , . 3 6 2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения 13 sin и cos , если равно . 2 и tg 4 . 3. Определите знак: sin 217 4. Вычислите: а) sin 4 cos 2tg ; б) 0 6 3 4 13 7 21 cos 3 sin ctg tg . 2 4 2 Вариант 6. 1. Выразите величину угла: а) в радианной мере 315 0 , 405 0 ; 7 б) в градусной мере , . 20 3 2. Отметьте на единичной окружности точку Р . Покажите на чертеже значения 9 sin и cos , если равно . 4 5 3. Определите знак: cos и sin 1,2 . 6 4. Вычислите: а) 2 sin 3tg 5 cos 3 ; 2 4 4 11 5 5 б) cos 5 ctg sin 3ctg . 2 2 4 Часть 2. Преобразование тригонометрических выражений ТРЕНИРОВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ «Основные тригонометрические формулы» Вставьте пропущенные выражения: 1. Основное тригонометрическое тождество sin 2 ... ... выполняется при любых значениях . 2. Упростите выражения: а) 1 cos 2 ; б) 1 sin 1 sin . 3. Следствием из основного тригонометрического тождества является формула, выражающая sin через cos : sin ... . 4. Найдите значение тригонометрической функции cos , если известно, что 3 sin , 0 . 5 2 5. Тангенсом угла называется отношение ... угла к его...: tg ... . 6. Из определения тангенса и котангенса следует: tgctg ... . 7. Соотношение между тангенсом и косинусом одного и того же угла 1 tg 2 ... , когда cos ... . sin 8. Формула tg не имеет смысла при ... . cos sin 9. Преобразуйте выражения: а) tg cos ; б) ; в) sin 2 sin 2 cos 2 . tg 1 tg 4 cos 1 sin 10. Упростите: а) ; б) 2 . 1 sin cos tg ctg 2 ctg 11. Докажите тождество: cos 2 . tg ctg Формулы приведения 1. Знаки тригонометрических функций: Y y II I II I x 0 0 III IV III IV знаки синуса знаки тангенса x 2. Четность и нечетность тригонометрических функций: sin ...; cos ...; tg .... Вывод: четной функцией является .... 3. Найдите значения выражений: а) sin 30 0 ; б) cos ; в) tg . 3 4 3 , 2 могут 4. Тригонометрические функции углов вида , , 2 2 быть выражены через функции угла с помощью формул приведения: sin ... ; cos ... ; tg ... ; ctg ... ; 2 0 sin 180 ... ; sin 360 0 ... ; 3 sin ... ; 2 2 2 2 0 0 cos 180 ... ; tg 180 ... ; ctg 180 0 ... ; cos 360 0 ... ; tg 360 0 ... ; ctg 360 0 ... ; 3 3 tg ... ; ctg ... . 2 2 5. Вычислите: а) sin 2400 ; б) tg 300 0 ; в) sin tg ; 6 2 4 3 3 г) sin cos tg ; д) tg sin cos . 6 6 2 4 2 4 2 6 2 3 3 cos ... ; 2 Формулы двойного угла 1. sin 2 2.... 2tg 2. tg 2 . ... sin 2 ; sin б) sin cos 2 . 3. Упростите: а) 4. Вычислите: а) 2 sin 75 cos 75 ; 0 0 б) sin 15 cos15 ; 0 0 1 ctg 2 15 0 в) . 2ctg15 0 ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ Вариант 1 1. Дано: cos 0,6; 2 . Найдите: б) sin 2 ; а) sin ; Вариант 2 1. Упростите выражение Вариант 3 1. Дано: sin 0 ,8; а) cos ; 2 . 4 в) tg 2 sin cos . 3 3 3 3 cos sin sin cos 2 2 . Найдите: б) sin 2 ; . 4 в) tg Вариант 4 * 3 3 cos sin 3 cos sin 3 2 2 . 1. Упростите выражение 2 sin cos2