A → B

Введение в математическую
логику
Лекция 14
1
Модальные логики
Язык:
В индуктивное определение формулы
логики высказываний добавляется еще
одна возможность:
• если A — формула, то □ A — тоже
формула (читается «необходимо A»).
Символ ◊ вводится как сокращение для
¬□¬, то есть
◊ A — это ¬□¬A («возможно A»).
2
Содержательная интерпретация
Возможные содержательные интерпретации
выражения □ A:
• Необходимо A
• Всегда A
• Должно быть A
• Известно, что A
• Считается, что A
• Утверждение A доказуемо (в данной теории)
• После завершения программы выполнено A
Другие модальности:
• желательно, вероятно, запрещено, хорошо,
удобно… Вероятностные логики, нечеткие
логики, квантовые логики
3
Семантика. Сол Крипке (1958)
• Шкалой Крипке
называется пара
F = <S;R>, где S —
произвольное непустое
множество ”миров”,
R⊆S×S—
произвольное
отношение
”достижимости” (одного
«мира» из другого).
4
Модальная логика. Истинность
Ф — упорядоченный алфавит логических переменных,
V — бесконечная последовательность подмножеств
множества S.
Отношение F,s,V ⊨ A: ”формула A выполнена
в мире s (s ∈ S) шкалы F на последовательности V ”.
Индуктивное определение. Все случаи – как в логике
высказываний, кроме:
• F,s,V ⊨ p для переменных p определяется как s ∊ V(p)
(V(p) – это множество миров, в которых p истинна).
• F,s,V ⊨ □ A определяется как F,t,V ⊨ A для всех t
таких, что R(s, t) (во всех достижимых мирах).
Формула A истинна в шкале F (F ⊨ A), если она истинна в
любом мире этой шкалы на любой последовательности
5
Модальная логика. Исчисление
Замечание (о семантике):
F⊨A ⇒ F⊨□A и
F ⊨ □(A→B) → (□ A → □ B)
для любых F; A; B.
Исчисление K (Крипке):
• система аксиом, в которую входят все частные случаи
тавтологий исчисления высказываний и все формулы:
□(A → B) → (□ A → □ B),
• правила вывода:
A ; A → B (modus ponens),
B
A (необходимость).
□A
Подстановка формул вместо переменных
6
Истинность формул, выводимых в K
• любая формула, выводимая в K,
истинна в любой шкале Крипке.
• Индукция по определению
выводимости (построению
вывода).
7
Выводимость в K истинных формул
Д. Каноническая шкала MK = (SK;RK).
• Элементы SK – непротиворечивые
максимальные (т.е. содержащие для любой
формулы или ее саму, или ее отрицание, и
замкнутые относительно правил вывода)
множества формул.
• RK(s;t) ⇔ {A | □ A ∈ s} ⊆ t.
Возьмем в качестве VK(p) = {s | p∈s}.
Замечание. Любое непротиворечивое множество
формул можно как-то расширить до
непротиворечивого максимального (перебирая в
подряд все формулы и замыкая по выводимости).
8
Утверждение 1.
Для любого мира s ∊ SK и формулы A
□ A ∊ s ⇔ (A ∊ t для всех t , для которых RK(s; t)).
Доказательство. (⇒)
Пусть □ A∈s. Из RK(s;t) по определению
RK(s; t) ⇔ {A | □ A ∈ s} ⊆ t
получаем, что A∈t .
9
Утверждение 1. Для любого мира s ∊ SK и формулы A
□ A ∊ s ⇔ (A ∊ t для всех t , для которых RK(s; t)).
Доказательство. (⇐)
U = {B | □B ∊ s}. Тогда U ⋃ {¬A} противоречиво.
• Иначе расширим U ⋃ {¬A} до максимального t ,
U ⊆ t, t достижимо из s. Значит A ∊ t. Противоречие.
• В U есть B0,…,Bn , для которых K ⊢ ¬(B0 ∧ … ∧ Bn ∧ ¬A),
в логике высказываний K ⊢ B0 ∧ … ∧ Bn → A,
K ⊢ B0 → (B1 → (…(Bn → A)…).
K ⊢ □(B0 → (B1 → (…(Bn → A)…) (необходимость).
Используя аксиому □ (A → B) → (□ A → □ B) и (MP),
получаем K ⊢ (□B0 → (□B1 → (…(□Bn → □A)…).
• Поскольку □B0, □B1,…, □Bn ∊ s и s замкнуто относительно
выводимости, то □ A ∊ s.
10
Утверждение 2. Для любого мира s ∊ SK и формулы A
MK, s, VK ⊨ A ⇔ A ∊ s .
Д. Индукция по построению формулы.
Для атомных формул – определение V K.
Истинность p ⇔ s ∊ V K(p) = {s | p ∊ s} ⇔ p ∊ s.
Для связок логики высказываний получается с
использованием максимальности s и замкнутости s
относительно выводимости:
• Истинность ¬A эквивалентна не-истинности A,
эквивалентна не-принадлежности A к s,
эквивалентна принадлежности ¬A к s.
• Истинность импликации означает ложность посылки или
истинность заключения…
Для необходимости – Утверждение 1.
11
Утверждение 3. MK ⊨ A ⇔ K ⊢ A
(MK – определяющая шкала)
Д. Пусть A – истинна. Если A не выводима, то
множество {¬A } – непротиворечиво, и его можно
расширить до некоторого s, не содержащего A.
Противоречие с Утверждением 2.
Теорема полноты для K. Формула A
выводима в логике K тогда и только
тогда, когда она истинна в любой
шкале Крипке.
Полнота исчисления предикатов.
12
Примеры других аксиом и классов шкал
• K является минимальной логикой, определяемой классом шкал
Крипке.
• Логика «предсказуемого завтра»: SL = K ⋃ {□ A ≡ ◊ A}.
• Условие на шкалы: ∀s ∃!tR(s; t).
• Определяющая шкала: (N;R); R(s;t) ⇔ t = s + 1.
• Логика универсальной модальности (”всегда”, ”всюду”):
• S5 = K ⋃ {□ A → A; □ A → □ □ A; ◊ □ A → A}.
• Условие на шкалы: отношение достижимости рефлексивно,
транзитивно и симметрично.
• Определяющая шкала: (N;R); R = N × N.
• Логика «неопределенного завтра»: D = K ⋃ {□ A → ◊ A}.
• Условие на шкалы: ∀s ∃t R(s; t).
• Определяющая шкала: (N;R), где N — слова в алфавите N; R(s; t) ⇔
|t| = |s| + 1 и t — продолжение s.
13
Неожиданный экзамен
• В субботу преподаватель объявил, что на
следующей неделе будет экзамен, но
накануне экзамена студенты не будут
знать, когда он будет.
• Вывод: «Экзамена не будет».
• Экзамен состоялся в среду.
14
Идея немонотонной логики
• Дополнительная информация может
уменьшать множество доказуемых
утверждений.
• Оплата клетки для птицы.
• Логика простейших объяснений.
• Логика незнания.
• Логика веры.
15
Спасибо!
16