V. Формулы сокращенного умножения (п. 31 – 38) Базовые знания и умения: - знать все формулы сокращенного умножения; - уметь применять формулы сокращенного умножения при преобразовании целых выражений; - уметь применять различные способы для разложения многочлена на множители. Теоретический материал. 1. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения: (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения: (a - b)² = a² – 2ab + b² 3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы: a² – b² = (a – b)(a + b) 4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) 5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) Примеры решения заданий. 1. Преобразовать в многочлен: а) ; б) ; в) ( a + 7 ) ( a – 7 ); г) ( 8m + 3y ) ( 3y – 8m ); д) ; е) . Решение: а) = - 2·х·4 + = – 8х + 16; б) = + 2·5m·5n + = 25 + 50mn + 25 ; в) ( a + 7 ) ( a – 7 ) = = – 49; г) ( 8m + 3y ) ( 3y – 8m ) = = 9 - 64 ; д) = - 2· ·2x + = -4 x+4 ; е) = +2· · + = 4 + 20 + 25 . 2. Разложить на множители: а) – 100; б) 9 - 64 ; в) + 10a + 25 ; г) 7 – 28 ; д) – 3 + 48ху - 192 ; е) 64 - . Решение: + а) – 100 = ( х – 10 ) ( х + 10 ); б) 9 - 64 = ( 3х – 8у ) ( 3х + 8у ); в) + 10a + 25 = + 2 · a ·5 + = ; г) 7 – 28 = 7· ( – 4 ) = 7( х – 2 ) ( х + 2 ) ; д) – 3 + 48ху - 192 = -3·( – 16ху + 64 ) = -3 ; е) 64 - = - = ( 4у – х ) ( 16 + 4ху + ). 3. Упростить выражение: а) –(а–2)(а+2); б) ( 2mn – 1 ) ( 2mn + 1 ) ( 4 + 1 ) ( 16 + 1 ); в) ( – 3 ) ( + 3 ) . Решение: а) –(а–2)(а+2)= + 12а + 36 – ( –4)= + 12а + 36 – 12а + 40; б) ( 2mn – 1 ) ( 2mn + 1 ) ( 4 + 1 ) ( 16 +1)=(4 –1)(4 ( 16 + 1 ) = ( 16 - 1 ) ( 16 + 1 ) = 256 – 1; в) ( – 3 ) ( + 3 ) = – 9 – ( – 8 + 16 ) = – 9 – + 8 = 8 – 25. 4. Решить уравнение: а) 3х ( 5 + 12х ) – ( 6х – 1 ) ( 6х + 1 ) = 2,5х; б) ( х – 2 ) ( х + 2 ) = 3 – 2х ( х + 5 ); в) – 81 = 0; г) 25 + 36 = 0. Решение: а) 3х ( 5 + 12х ) – ( 6х – 1 ) ( 6х + 1 ) = 2,5х; 15х + 36 – ( 36 – 1 ) = 2,5х; 15х + 36 – 36 + 1 = 2,5х; 15х + 1 = 2,5х; 15х – 2,5х = -1; 12,5х = -1; х = - 1: 12,5; х = - 0,08. Ответ: - 0,08. б) ( х – 2 ) ( х + 2 ) = 3 – 2х ( х + 5 ); – 4 = 3 ( + 8х + 16 ) - 2 – 10х; – 4 = 3 + 24х + 48 - 2 – 10х; - 3 - 24х + 2 + 10х = 48 + 4; - 14х = 52; х = 52 : ( - 14 ); х=-3 +4= +1) - 16 = Ответ: - 3 . в) – 81 = 0; ( х – 9 ) ( х + 9 ) = 0; х – 9 = 0 или х + 9 = 0 ; х=9 х = - 9. Ответ: - 9; 9. г) 25 + 36 = 0; 25 = - 36; =- . Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому данное уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет. Решите самостоятельно. Задания обязательного уровня. 1. Преобразовать в многочлен: а) ; б) $ в) ( 5 – а ) ( 5 + а ); г) ( 7х + 10у ) ( 10у – 7х ); д) ; е) ( -9 z)( + 9 z ). 2. Разложить на множители: а) 100 - 9 ; б) 16 - 25 ; в) 4 + 20а3b + 25 ; г) 49 у - ; д) – 6 + 12mn - 6 $ е) -8 . 3. Упростить выражение: – ( х – 4 ) ( х + 4 ) + ( х – 3 ) ( х + 7 ). Задания повышенного уровня. 4.Упростить выражение: ( 1 – а ) ( 1 + а ) ( 1 + ) – ( а + 3 ) ( - 3а + 9 ). 5. Решить уравнение: 4 – 27 = ( 4у + 9 ) ( 4у - 9 ) + 2 ( 5у + 2 ) ( 2у – 7 ) . 6. Разложить на множители: а) а + b + - ; б) 9 – 6аb + – 16; в) - -х +х; г) b - а – ас + аb + bc – c . 7. Доказать, что выражение – 14х + 51 принимает положительные значения при всех значениях х .