Преобразование степенных функций в Системе mn

Преобразование степенных функций в Системе mn параметров
Автор Фильчев Э.Г.
Россия. 188760 Приозерск, Ленинградской обл. Привокзальная 5 кв. 60
Преобразование степенных функций в Системе mn параметров
В Системе mn параметров значения X,Y,Z можно записать в виде формул
X = n2 + 2mn
Y =2m2 + 2mn
(1)
Z = n2 + 2mn + 2m2
Рассмотрим функцию y=x2 + bx +c
(2).
В зависимости от выбранных значений
формулы для х могут иметь восемь
вариантов
представлений.
Вариант1
2
x = n + 2mn
(3)
2
2
2
→ y = (n + 2mn) + b(n + 2mn) + c = n4 + 4mn3 + (2mn)2 + bn2 + b▪2mn +c = 0
→ y = (n4 + bn2 + c ) + 2n2▪(2mn) + (2mn)2 + b▪ (2mn) = 0 (2)
Здесь первое слагаемое имеет вид исходной
функции, если
считать, что x = n2 . Допустим, что x = n2, тогда
вместо первого слагаемого получим
(n4 + bn2 + c ) = 0 → (2mn)2 + (2n2 + b)(2mn) = 0. → (2mn)1 = 0. Ранее было принято
x = n2
→
(2mn) + (2x +b) = 0.
(4)
Запишем уравнение (4) относительно x
→ x=
− (2𝑚𝑛+𝑏)
2
(5)
Обратим внимание на то, что для исходного уравнения имеем y'= (2x+b), y''= 2
где y' - первая производная по x от исходной
функции,
y''- соответственно 2-ая производная,
y′
тогда
→
x = - y′′
( 3 )
Подставим значение x в исходное уравнение
(1) и приравняем нулю
− (2𝑚𝑛+𝑏)
(2𝑚𝑛+𝑏)
→ [
]2 - b▪ 2
+ c= 0. → ( 2mn )2 + 2b▪( 2mn + b ) + b2 – 2b(2mn + b ) + 4c =
2
0
→ ( 2mn )2 + 2b▪ 2mn + 2 b2 + b2 – 2b▪ 2mn - 2 b2 + 4c = 0
→ ( 2mn )2 = b2 - 4c → ( 2mn ) = √(𝑏 2 − 4𝑐)
(4)
Если уравнение ( 1 ) решить обычным путем, то получим ( x1 – x2 ) = √(𝑏 2 − 4𝑐)
→ ( 2mn ) = ( x1 – x2 ) , где (x1, x2 ) – корни исходного уравнения.
На основании результатов проведенного
расчета можно сделать следующее
утверждение
“Для
квадратного уравнения вида
y=ax2 + bx +c справедливо равенство
( 2mn )2 = ( x1 – x2 )2 , где (2mn) - параметр системы, x1, x2 корни уравнения “ .
Утверждение 1
Рассмотрим функцию y = x3 + bx2 + cx + d ( 5 )
Пусть x = n2 + 2mn → y = ( n2 +2mn )3 + b( n2 +2mn )2 + c( n2 +2mn ) + d
Откуда, аналогично расчетам п.1,получим
(2mn)3+ (3x+b)(2mn)2 + ( 3x2 + 2bx + c )(2mn) = 0
→ (2mn)2+ (3x+b)(2mn) + ( 3x2 + 2bx + c )= 0 ( 8 )
Легко проверить, что вместо этого
уравнения можно записать
𝑌 ′′′
( 2mn )2 +
3!
𝑌 ′′
2!
( 2mn ) +
𝑌′
1!
( 2mn )0 = 0
Для функции y = x4 + bx3 + cx2 + dx + e
аналогично
получим
𝑌 ′′′′
4!
( 2mn )3 +
𝑌 ′′′
3!
( 2mn )2 +
𝑌 ′′
2!
( 2mn )1 +
𝑌′
1!
( 2mn )0 = 0
Из анализа полученных формул следует
Утверждение 2. Для функции вида y = axk +bxk-1+ … + N
справедливо уравнение
𝑌𝑘
𝑘!
( 2mn )k-1 +
𝑌 𝑘−1
2!
( 2mn )k-2 +…. +
𝑌′
1!
( 2mn )0 = 0
(
5 )
где - y(k) к-ая производная исходной функции,
- y(k-1) -ая производная,
- y (k-i) -ая производная,
- (2mn) -параметр системы m, n .
Здесь параметр (2mn )2 = ( xi – xi+1 )2 , ( 6 )
где xi, xi+1 -любая пара корней исходного
уравнения.
При этом число (2mn )2
равно числу сочетаний
из n элементов (n-число корней исходного
уравнения) по m .
𝑛!
𝐶𝑛𝑚 =
(7)
𝑚!(𝑛−𝑚)!
Уравнение ( 5 ) используется далее для нового метода решения кубического уравнения.
Пример 1
1 Пусть имеем уравнение x3 – 8x2 + 17x -10 = 0.
Покажем, что параметр (2mn)2
равен (xi - xi+1)2. Из исходного уравнения → y’ = 3x216x + 17 →y’’= 6x -16 → y’’’= 6
Тогда, на основании формулы ( 5 )
𝑌 ′′′
→
6
3!
3!
( 2mn )2 +
( 2mn )2 +
𝑌 ′′
2!
𝟔𝐱 −𝟏𝟔
2!
( 2mn ) +
( 2mn ) +
𝑌′
( 2mn )0 = 0
1!
(3x2 − 16x + 17 )
1!
( 2mn )0 = 0
( 2mn )2 + ( 3 x2 – 8 ) ( 2mn ) + 3x2 – 16x +17 = 0
( 8 )
В данном примере нам известно, что
исходное уравнение имеет три корня x1=1, x2=2,
x3=5
а) x=1, тогда из уравнения ( 8 ) → (2mn)2 – 5(2mn) + 4 =
𝟓
3
0 → (2mn)1,2 = 𝟐 ± 2
→(2mn)1= 4, (2mn)2 = 1
Заметим, что (2mn)1= x3 – x1 = 5 – 1 = 4, (2mn)2= x2 – x1 = 2 – 1 = 1,
b) x=2,тогда из уравнения ( 8 )
→ (2mn)2 – 2(2mn) - 3 = 0 → (2mn)1,2 = 1 ± 2 → (2mn)3= 3= x3 – x2
→ (2mn)4 = - 1= x1 – x2
с) x=5,тогда из уравнения ( 8 )
→ (2mn)2 + 7(2mn) + 12 = 0 → (2mn)5,6 =
� ( - 7 ± √�� � �� ) →(2mn)5= -3= x2 – x3
→ (2mn)6 = - 4 = x1 – x3
Из данного примера видно, что параметр (2mn)это разность любой пары из трех корней
исходного уравнения Cn.
𝒀𝒌
𝒀𝒌−𝟏
𝒀′
Выводы: 1.Уравнение 𝒌! ( 2mn )k-1 + 𝟐! ( 2mn )k-2 +…. + 𝟏! ( 2mn )0 = 0 всегда имеет
место для любой степенной функции.
2. Параметр ( 2mn ) равен разности любой пары корней исходного уравнения.
E-mail:[email protected]